条件概率

条件概率学习目标•了解条件概率的定义•掌握条件概率的计算方法•会利用条件概率公式解决一些简单的实际问题•重点&难点•条件概率的概念的理解•灵活运用条件概率公式解决简单实际问题1.事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的和事件,记为(或);ABAB复习旧知：2.事件A与B都发生的事件叫做A与B的积事件,记为(或);ABAB3.互斥事件：事件A、B不能同时发生当A、B互斥时，(A)P(A)PPB（B）课题引入三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回地抽取一张，奖品是“周杰伦武汉演唱会门票一张”，那么问最后一名同学中奖的概率是否比前两位小？X,X,Y12112211212221,,,,,XXYYXXXYXYXXYXXXXYPB13解：设三张奖券为，其中Y表示中奖奖券且Ω为所有结果组成的全体，“最后一名同学中奖”为事件B，则所研究的样本空间B1221,XXYXXBY∴由古典概型概率公式，探究:如果已经知道第一名同学没有中奖，那么最后一名同学中奖的概率是多少？知道第一名同学的结果会影响最后一名同学中奖的概率吗？记和为事件AB和事件A包含的基本事件个数.分析：∵已知A发生导致可能出现的基本事件必然在事件A中，∴BA而在事件A发生的情况下，事件B发生事件A和B同时发生，即事件A∩B发生。而此时A∩B=B()21()42nABPnA()21()()63nBPBn可设”第一名同学没有中奖”为事件A12221112,,,XXYXYXXYXXXY1221,XXYXXBY112211212221,,,,,XXYYXXXYXYXXYXXXXY()nA()nAB211423B由古典概型概率公式，所求概率为已知A发生ABBAPBA引申：对于刚才的问题，回顾并思考：1.求概率时均用了什么概率公式？2.A的发生使得样本空间前后有何变化？3.A的发生使得事件B有何变化？4.既然前面计算,涉及事件A和AB，那么用事件A和AB的概率P(A)和P(AB)可以表P(B|A）吗？BA古典概型概率公式样本空间缩减())()(nABnPAB()()()PAAnn(()()()()/()()/)()nABnABPBAnAnPABnPAAnAB)()(nABPnAAB由事件B事件AB已知A发生(|)?PBA1.定义一般地，设A，B为两个事件，且，称)()(PABPPAAB()0PA为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.P(B|A）读作A发生的条件下B发生的概率，条件概率（conditionalprobability）P(B|A）相当于把A当做新的样本空间来计算AB发生的概率。BAA∩B()()()()nABPBPABAPAAnP(A|B）怎么读？怎么理解？怎么求解？.)AB(P)AB(P,AB)AB(P,AB)AB(P,.B,)AB(P,AB,)AB(PAA大比一般来说中样本点数中样本点数中样本点数中样本点数则用古典概率公式发生的概率计算中表示在缩小的样本空间而的概率发生计算中表示在样本空间3.概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系基本概念2.条件概率的性质：（1）有界性：01PBAPBCAPBAPCA（2）可加性：如果B和C是两个互斥事件，则3.条件概率的适用范围：有“时态词”做限定。例1：在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：（1）第一次抽取到理科题的概率；（2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.（1）从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为25()20nA1134()12nAAA根据分步乘法计数原理，()123()()205nAPAn例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：（1）第一次抽取到理科题的概率；（2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；232()6nABA（）()63()()2010nABPABn解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.例1：在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：（1）第一次抽取到理科题的概率；（2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；（3）在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率。法一：由（1）（2）可得，在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为2153103)()()(APABPABP法二：因为n(AB)=6，n(A)=12，所以21126)()()(AnABnABP练习.一盒子装有4只产品,其中有3只一等品,1只二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品”,事件B为“第二次取到的是一等品”,试求条件概率P(B|A).解.4;3,2,1,号为二等品为一等品将产品编号则试验的样本空间为号产品第号第二次分别取到第表示第一次以,),(j、i、ji{(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),,(4,1),(4,2),(4,3)},{(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)},A)},2,3(),1,3(),3,2(),1,2(),3,1(),2,1{(AB由条件概率的公式得()()()nABPBAnA129126.32练习3练习：甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲乙两地一年中雨天所占的比例分别为20％和18％，两地同时下雨的比例为12％，问：（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？解：设A={甲地为雨天}，B={乙地为雨天}，则P(A)=20%，P(B)=18%，P(AB)=12%，1()12%2()()18%3PABPABPB（）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是2()12%3()()20%5PABPBAPA（）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是练习：甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲乙两地一年中雨天所占的比例分别为20％和18％，两地同时下雨的比例为12％，问：（3）甲乙两市至少一市下雨的概率是多少？∵{甲乙两市至少一市下雨}=A∪B而P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=20%+18%-12%=26%∴甲乙两市至少一市下雨的概率为26%解：设A={甲地为雨天}，B={乙地为雨天}，则P(A)=20%，P(B)=18%，P(AB)=12%，例2一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0—9中任选一个。某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率。1121911(1)()()()101095PAPAPAA1121412(2)(|)(|)(|)5545PABPABPAAB2.如图所示的正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机的投掷一个点（每次都能投中），设投中最左侧3个小正方形的事件记为A，投中最上面3个小正方形或中间的1个小正方形的事件记为B，求P(A|B),P(B|A),解：∵，,1()9PAB1()3PA1()()19(|)449PABPABPB4()9PB1()19(|)13(3)PAPABPBA练习3.一个盒子中有６只白球、４只黑球，从中不放回地每次任取１只，连取２次，求(1)第一次取得白球的概率；(2)第一、第二次都取得白球的概率；(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．解设Ａ表示第一次取得白球,Ｂ表示第二次取得白球,则6()0.610PA（2）()PAB（3）()()()PABPAPBA（1）()()PAPBA650.33109460.27109例3.设100件产品中有70件一等品，25件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1件，求(1)取得一等品的概率；(2)已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．解设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则（1）因为100件产品中有70件一等品，70()0.7100PB（2）方法1：70()0.736895PBA方法2：()()()PABPBAPA因为95件合格品中有70件一等品，所以701000.736895100AB70955BAABB解设A表示“活到20岁”(即≥20)，B表示“活到25岁”(即≥25)则()0.7,()0.56PAPB所求概率为()()()0.8()()PABPBPBAPAPAAB0.560.75练习.某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率.例4:抛掷一颗骰子,观察出现的点数B={出现的点数是奇数}＝｛１，３，５｝A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝若已知出现的点数不超过3，求出现的点数是奇数的概率解：∵事件A发生的条件下，事件B的概率即Ｐ（B｜A）AB都发生，但样本空间缩小到只包含A的样本点()2(|)()3nABPBAnAB5A2134,61.掷两颗均匀骰子,问:⑴“第一颗掷出6点”的概率是多少？⑵“掷出点数之和不小于10”的概率又是多少?⑶“已知第一颗掷出6点，则掷出点数之和不小于10”的概率呢？111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566616263646566nBPBn61366解：设Ω为所有基本事件组成的全体，“第一颗掷出6点”为事件A，“掷出点数之和不小于10”为事件B,则“已知第一颗掷出6点，掷出点数之和不小于10”为事件AB(1)（2)（3）如何规范解答？nAPAn61366用几何图形怎么解释？A∩BA∩BBnABPBAn0312|62APABPBAP011|2练一练条件概率计算中注意的问题1、条件概率的判断：（1）当题目中出现“在……前提（条件）下”等字眼，一般为条件概率。（2）当已知事件的发生影响所求事件的概率，一般也认为是条件概率。2、相应事件的判断：首先用相应的字母A、B表示出相应的事件，然后分析清楚在哪个事件发生的条件下求哪个事件的概率。AB当时，P(AB)=P(A)1.条件概率的定义.2.条件概率的计算.公式:()()()PABPBAPA