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九年级年级数学学科相似三角形知识点1：相似形1．图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．2．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．3．形状相同的两个图形叫做相似的图形，即相似形．【总结】1．相似图形的大小不一定相同，如果两个相似图形的大小相同，则两个相似形全等，当两个多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值都是1；2．对于大小不同的两个相似图形，可以看作是大（小）的图形由小（大）的图形放大（缩小）得到．4．如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．【注意】1．理解相似多边形的定义，明确“对应”关系；2．多边形的相似，要求边数相同，形状相同（对应角相等，对应边的长度成比例）．知识点2：比例线段1．一般来说，两个数或两个同类的量a与b相除，叫做a与b的比，记作a：b（或ab），其中0b．a除以b所得的商叫做a与b的比值．如果a：b的比值等于k，那么=akb．2．两条线段的长度的比叫做两条线段的比．3．如果:ab:cd（或=acbd），那么就说abcd、、、成比例．其中a叫做第一比例项，b叫做第二比例项；c叫做第三比例项；d叫做第四比例项．4．在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．【注意】要注意比例线段的顺序性与单位要统一．5．如果比例的两个内项（或两个外项）相同，那么这个相同的项叫做比例中项．如:ab:bc（:ba:cb）时，b叫做a和c的比例中项．a、b、c满足：2bac．【注意】比例中项的应用一定要注意题目中的表述：比如题目中若出现“线段”或“单位”时，值为正值；否则，取正、负两个值．6．比例的基本性质：（1）如果=acbd，那么=adbc．（2）比例线段的比例式中，只要乘积形式不变，abcd、、、的位置可以灵活变化．若=acbd，则=abcd、bdac、cdab、badc、cadb、=dcba、=bdac．【思考】判断命题“如果=adbc，那么=acbd”是真命题还是假命题，为什么？7．合比性质：如果=acbd，那么++=abcdbd；如果=acbd，那么=abcdbd；如果=acbd，那么=++acbadc；如果=acbd，那么=acbadc．8．等比性质：如果==ackbd，那么+===+acackbdbd（+0bd）；如果====acembdfn，那么++++=====++++acemacemkbdfnbdfn（++++0bdfn）．【注意】等比性质的存在条件．9．如果点P把线段AB分割成AP和PB（APPB）两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么称这种分割为黄金分割．点P称为线段AB的黄金分割点．AP与AB的比值512称为黄金分割数，它的近似值为0.618．【注意】1．一般来说，一条线段的黄金分割点有两个；2．利用黄金分割时一定是：51==2短全边长边长边长．知识点3：三角形一边的平行线1．三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．2．三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．3．三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．4．三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三ABCBBCCAADDEDEElll边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．【总结】三角形一边平行线的定理可以理解为两个基本图形：“A”字形与“8”字形．【注意】在运用判定定理时一定要是两边上的比才能得平行。5．平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．【总结】平行线分线段成比例定理可以理解为基本图形：“井”字形．6．平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等．知识点4：三角形的重心1．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．2．三角形重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．知识点5：相似三角形的概念1．如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三条边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．两个三角形是相似三角形也可以表述为“两个三角形相似”、“一个三角形与另一个三角形相似”．2．对应相等的角的顶点是这两个相似三角形的对应顶点，以对应顶点为端点的边是这两个相似三角形的对应边．3．相似三角形的对应角相等，对应边成比例.两个相似三角形的对应边的比，叫做这个三角形的相似比（或相似系数）.【注意】lEDCBAlEDACBlEDACB两个三角形的相似比与表述这两个三角形相似的顺序有关．4．两三角形相似用相似符号“∽”来表示，读作“相似于”.例如，在△111ABC与△222ABC中，若12AA，12BB，12CC，111111222222ABACBCABACBC，则△111ABC与△222ABC相似，其中点1A与点2A、点1B与点2B、点1C与点2C分别是对应点，记作△111ABC∽△222ABC．【注意】用符号表示两个三角形相似时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“△”后的相应位置上.思考：用符号表示两个相似三角形相似时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“△”后的相应的位置上.所以ABC△∽DEF△就一定意味着点“A”与点“E”的对应关系么？若已知“△111ABC∽△222ABC”或“△111ABC相似于△222ABC”，除非题目中给出点的对应关系，否则不能够确定点1A与点2A、点1B与点2B、点1C与点2C分别是对应点．【总结】全等三角形是相似三角形的特例.当两个相似三角形的相似比1k时，这两个相似三角形就成为全等三角形.两个全等三角形一定是相似三角形；两个相似三角形不一定是全等三角形．知识点6：相似三角形的判定1．三角形相似的传递性：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似．2．相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．【总结】直线l截△ABC两边AB、AC两边所在的直线，截得的三角形ADE与原三角形△ABC相似.3．相似三角形判定定理1：如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两个三角形相似．相似三角形判定定理2：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．相似三角形判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．4．直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似.【记忆技巧】类比全等三角形的判定“AAS、ASA”、“SAS”、“SSS”、“HL”，相似的判定可以对照来理解记忆.【注意】通过相似的判定应明确：相似只是图形的放缩，与位置无关．两个三角形中，如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似．注意：因为三角形的高线可能不在三角形内部，所以高线不具备相关的判定推论．知识点7：相似三角形的性质1．当我们知道两个三角形是相似的，我们能得到什么结论呢？根据相似三角形的定理，我们可以直接得到相似三角形最基本的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．【思考】我们一般从哪些角度来讨论一个三角形？我们一般从角和边两方面出发来讨论三角形，当我们知道边角的对应关系之后，那么相关的对应高、对应中线、对应角平分线的比，分别与相似比有什么关系呢？【总结】我们由相似三角形的对应角相等，对应边成比例可以联想到它们对应的特殊线段及周长、面积，这样就形成了对于“对应特殊线段的比”、“周长比”、“面积比”分别与相似比之间的关系进行研究探索的三个问题.整个相似三角形性质的学习内容，就是围绕这些问题展开.【注意】“相似比”是揭示相似三角形本质特征与重要性质的一个基本概念，也是有关几何证明与计算中经常运用的一个数值．2.我们利用相似三角形的判定和相似三角形的基本性质可以得到：相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的和对应角平分线的比都等于相似比.三角形的周长是三边之和，面积可用一边及这边上的高来表示，可见两个相似三角形的周长比、面积比与相似比之间有直接关系：相似三角形性质定理2相似三角形的周长之比等于相似比.相似三角形性质定理3相似三角形的面积的比等于相似比的平方.知识点8：向量的有关概念1．规定了方向的线段叫做有向线段．有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，我们把前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向．【思考】我们知道线段PQ与线段QP是一样的，那么有向线段PQ与有向线段QP一样吗？如果不一样，那么它们有什么差别？2．既有大小、又有方向的量叫做向量．向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）．【思考】在数学中，时间和速度都是向量吗？3．向量的表示（1）向量可以用有向线段表示，有向线段的长度就表示向量的长度，有向线段的方向就表示向量的方向．如果有向线段AB表示一个向量，通常就直接说向量AB．这个向量的长度记作AB，它是一个数量；（2）向量还可以用一个小写的英文字母在上方加箭头表示，如a、b、c、……．向量a的长度记作a．【注意】（1）用有向线段表示向量时，通常与有向线段的位置无关，我们把有向线段的起点和终点称为它所表示的向量的起点和终点；（2）两条不同的有向线段分别表示的向量，我们就说是“两个向量”．知识点9：向量的线性运算1.方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量．2．方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量．向量a的相反向量用a表示．3．方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．【思考】向量AB与BA是什么关系？4．一般地，我们把长度为零的向量叫做零向量，记作0．规定0的方向可以是任意的（或者说不确定）；00．5．长度为1的向量叫做单位向量．设e为单位向量，则1e．全等三角形的性质相似三角形的性质全等三角形的对应角相等，对应边相等．全等三角形对应高、对应中线的和对应角平分线都相等全等三角形的周长相等.全等三角形的面积相等.相似三角形的对应角相等，对应边成比例．相似三角形对应高的比、对应中线的和对应角平分线的比都等于相似比.相似三角形的周长之比等于相似比.相似三角形的面积的比等于相似比的平方.cabCAB23130°60°ABC21145°ABC对于任意非零向量a，与它同方向的单位向量记作0a，则0aaa，01aaa．【注意】（1）0表示一个向量，0表示一个数量，它们是不一样的；（2）单位向量有无数个，不同的单位向量是指它们的方向不同．1．零向量0的方向是任意的，0与任何向量都平行．2．平行向量（1）平行向量不具有传递性，即根据a∥b，b∥c，只有在0b时才可以得到a∥c；（2）方向相同或相反的两个向量叫做平行向量，也可以叫做共线向量；（3）当向量AB∥CD时，直线AB与直线CD的位置关系有两种：平行或共线．锐角的三角比知识点1：锐角的三角比1．如图，在Rt△ABC中，90C，直角边BC和AC分别叫做A的对边和邻边．2．（1）直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦．===ABCasinAABc角的斜锐对边边．（2）直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦．===AACbcosAABc角的斜锐邻边边．（3）直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切．=