第二章线性系统的时域分析法

第二章线性系统的时域分析法3-1系统时间响应的性能指标3-2一阶系统的时域分析3-6线性系统稳态误差的计算3-3二阶系统的时域分析3-4高阶系统的时域分析3-5线性系统的稳定性分析3-1系统时间响应的性能指标一、动态和稳态过程3、动态过程（过渡过程或瞬态过程）：系统在典型信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的过程。4、稳态过程：系统在典型信号作用下，当时间t趋向无穷时，系统输出量的表现形式。1、典型输入信号：单位阶跃、单位斜坡、单位脉冲、单位加速度、正弦等2、系统的时间响应，由动态过程和稳态过程两部分组成与此对应，性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标h(t)t时间tr上升峰值时间tpAB超调量σ%=AB100%动态性能指标定义1h(t)t调节时间tsh(t)t时间tr上升峰值时间tpAB超调量σ%=AB100%调节时间tsh(t)t上升时间tr调节时间ts动态性能指标定义21、延迟时间td：指响应曲线第一次达到其终值一半所需要的时间。2、上升时间tr：指响应曲线从终值10%上升到终值90%所需要的时间；对于有振荡的系统，也可定义为响应从零第一次上升到终值所需要的时间。上升时间是系统响应速度的一种度量。3、峰值时间tp：指响应超过终值达到第一个峰值所需要的时间。4、调节时间ts：指响应达到并保持在终值±5%（或±2%）内所需要的时间。5、超调量σ%：指响应的最大偏离量h(tp)与终值h(∞)之差的百分比，即：%100)()()(%hhtph6、稳态性能：稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标，通常在阶跃函数、斜坡函数和加速度函数作用下进行测定或计算。稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。3-2一阶系统的时域分析一、一阶系统数学模型开环传递函数sKsG)(闭环传递函数)1(11111)(TTsTsTKsKsKsKs二、一阶系统单位阶跃响应:)(1)(时ttrTssTssTsRssC111)1(1)()()(11001()(),()tTcteccTceTtctT1)0(1)(1t0T2T3T4T5T…∞c(t)00.6320.8650.9500.9820.993111001()(),()tTctecc特点：（1）初始斜率为1/T；（2）无超调（3）稳态误差ess=0。性能指标：（1）延迟时间：td=0.69T（2）上升时间：tr=2.20T（3）调节时间：ts=3T(△=0.05)解:(1)•与标准形式对比得：T=1/10=0.1，ts=3T=0.3s例3.1某一阶系统如图,(1)求调节时间ts,(2)若要求ts=0.1s,10/110101001.0)/100(1/100)()(1)()(sssssHsGsGs•(2)•要求ts=0.1s，即3T=0.1s,即,得hhhKsKsKss100/1/1/1001/100)(31.01001hK3.0hK0.1C(s)R(s)E(s)100/s(-)求反馈系数Kh.•解题关键：化闭环传递函数为标准形式。Kh二、一阶系统单位脉冲响应1)()()(sRttrTsTTssRssC/1/111)()()()0(1)(1teTtctTt0.135/T0.018/TT2T3T4T初始斜率为0.368/T0.05/T0t/TeTtc1)(T1c(t)单位脉冲响应曲线21T21)()(1)(ssRtttr)1(1)()()(2TsssRssCTtTeTtsCLtc/1)]([)(t-Ttk(t)0T三、一阶系统单位斜坡响应)1()()()(1tTeTtctrte所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为Tteetss)(lim一阶系统能跟踪斜坡输入信号,但存在稳态误差。221)(ttr31)(SsRTSTSTSTSTSDSCSBSASTSsRssC1111)11()()()(2223233)0()1(21)(122teTTtttctT)1()()()(12tTeTTttctrte上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。三、一阶系统单位加速度响应表3-1一阶系统对典型输入信号的响应输入信号时域输入信号频域输出响应传递函数11(t)t0tTeTtTt0)1(2122teTTttTt01teTt)0(1teTTt)(tS121S31S221t11TS微分微分等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。3-3二阶系统的时域分析一、二阶系统数学模型211()()KKTssTsKKssTT222221212nnn(s)TsTsss21122nnnKKTTTKT标准形式：n自然振荡频率阻尼比222nnss闭环特征方程：闭环特征根：2121.nns二、二阶系统单位阶跃响应1、0:负阻尼系统两个特征根位于S右半平面，系统响应发散××j-1××j-10t1c(t)0发散振荡2、=0:无阻尼系统两个特征根为一对共轭纯虚根：s1,2=±jn××j=022222111()()()()cosnnnnCssssscttt12c(t)0等幅振荡3、01:欠阻尼系统两个特征根为一对负实部共轭复根：2121.nnsj21dn令：，称为有阻尼振荡频率21sincos“极”角模n（1）单位阶跃响应：2222222222222221122111()()()()()...()()nnnnnnnnnnndndssssCssRsssssssssss22222221111111111cossin()cossincossinsin()nnntddtnntnctettettet稳态分量瞬态分量1c(t)nt0衰减振荡()ht0t12111nte2111nte()ht0t10大小阻尼比ξ越大，系统的超调量越小，响应平稳；阻尼比ξ越小，系统的超调量越大，响应的平稳性越差。（2）性能指标：107.dnt①延迟时间：2211'()sinntnnctetrdt②上升时间：③峰值时间：令2010'(),sin,npdcttt④超调量％21c()1pte21100100c()-c()%%%c()pte可见，超调量％只与有关，与n无关。⑤调节时间：3545005002..(.),(.)ssnntt为了简化调节时间的计算，一般用包络线来代替实际响应估算调节时间。例题：系统结构图如图所示，要求系统性能指标σ％＝20％，tp=1s（1）求系统阻尼比，自然振荡频率。（2）确定K与τ的值。（3）求阻尼振荡频率，阻尼角（4）计算上升时间tr和调节时间ts。闭环传递函数2()()(1)CsKRssKsK221,,21ln0.46,3.53(/)12(ln)nnKKKrads222112.46(/),0.18()nnKradssKarccos1.10(),3.14(/)dradrads3.50.65(),2.17()rdntstss4、＝1:临界阻尼系统两个特征根为一对相等负实根××j＝12221111()()()()()nnnnnntnCssssssctet1c(t)t0单调上升过程5、1:临界阻尼系统两个特征根为一对不相等负实根××j11c(t)t0单调上升过程0123456789101112ntc(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图：=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0•ζ越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间ts长；•ζ过大时，系统响应迟钝，调节时间ts也长，快速性差；•ζ=0.7，调节时间最短，快速性最好，而超调量%5%，平稳性也好，故称ζ=0.7为最佳阻尼比。三、二阶系统的性能改善改善二阶系统性能的两种方法：比例-微分控制测速反馈控制tttttr(t)11c(t)e(t)u(t))(teTdt100000'1t未超前校正超前校正1、比例－微分控制2222211212()()()()()()dndnndndnnnTsTssssTssTs12dndT可见，比例－微分控制不改变自然振荡频率和开环增益，但增大阻尼比，以抑制振荡。比例－微分控制相当于增加了一个零点，故称为有零点的二阶系统。R(s)(-)C(s)Go(s))2(2nnωssωTds+1)12/()1()2()1()()()(2ndndnsssTKsssTsEsCsGK=n/2ζ注意：微分对于噪声（高频噪声）有放大作用，在输入端噪声较强时，不用比例-微分控制。此时，可考虑用测速－反馈控制。2、测速－反馈控制R(s)(-)C(s))(n2n2ζssωKtS(-)测速－反馈控制]1)2/([12)(2ntnntnKssKsG开环传递函数为：ntKK2可见，开环增益减小。闭环传递函数：22222222)2()()(nntnnntnnssskssRsCnttK21结论：（1）测速反馈可以使阻尼比增加，振荡和超调减小，改善了系统平稳性；但不影响系统的自然频率；（2）测速反馈不增加闭环系统的零点，对系统性能改善的程度与比例-微分控制是不一样的；（3）测速反馈会降低系统原来的开环增益，通过增益补偿，可不影响原系统的稳态误差。3-4高阶系统的时域分析一、高阶系统的单位阶跃响应)())(()())(()()()(2121nmssszszszsKsRsCs时1)(tr12121()()()()().()()()mnKszszszCsssssss12012()ntttnctccecece二、闭环主导极点，偶极子1、主导极点：距离虚轴最近的极点，且其周围无零点，对过渡过程影响较大。2、偶极子：靠得很近，作用可以相互抵消的闭环零极点对。(0.1距离)三、高阶系统性能估算——零点、极点法略去非主导极点和偶极子，用主导零极点对应的低阶系统估算高阶系统性能指标。)25.1)(15(510)25.1)(5(10)(22sssssss例如：)2.15.07)(2.175.0(225.12)(2'jsjssss-0.75-5p2p3p1jj1.2-j1.20(a)闭环极点分布图(b)单位阶跃响应曲线c(t)t3-5线性系统稳定性分析abcb如小球平衡位置b点,受外界扰动作用,从b点到b’点，外力作用去掉后,小球围绕b点作几次反复振荡,最后又回到b点,这时小球的运动是稳定的。如小球的位置在a或c点,在微小扰动下,一旦偏离平衡位置,则无论怎样,小球再也回不到原来位置,则是不稳定的。一、稳定性的