向量组的线性相关性--线性代数习题集

25线性代数练习题第四章向量组的线性相关性系专业班姓名学号第一节向量组及其线性组合第二节向量组的线性相关性一．选择题1．n维向量s,,,21)(01线性相关的充分必要条件是[D]（A）对于任何一组不全为零的数组都有02211sskkk（B）s,,,21中任何)(sjj个向量线性相关（C）设),,,(sA21，非齐次线性方程组BAX有唯一解（D）设),,,(sA21，A的行秩＜s.2．若向量组,,线性无关，向量组,,线性相关，则[C]（A）必可由,,线性表示（B）必不可由,,线性表示（C）必可由,,线性表示（D）比不可由,,线性表示二．填空题：1．设TTT),,(,),,(,),,(043110011321则21(1,0,1)T32123(0,1,2)T2．设)()()(321523，其中T),,,(31521，T)10,5,1,10(2T),,,(11143，则(1,2,3,4)T3．已知TTTk),,,(,),,,(,),,,(84120011211321线性相关，则k24．设向量组),,(,),,(,),,(bacbca000321线性无关，则cba,,满足关系式0abc26三．计算题：1．设向量11,1,1T，2(1,1,1)T，3(1,1,1)T，2(1,,)T，试问当为何值时（1）可由321,,线性表示，且表示式是唯一？（2）可由321,,线性表示，且表示式不唯一？（3）不能由321,,线性表示？13212322221110111(,,,)11111111111101110,00(3)(12)rrr解因为2221110,00(3)(12)123123123(1)03,(,,,)(,,)3,,,,;RR且时可由线性表示且表达式唯一123123123(2)0,(,,,)(,,)13,,,,;RR时可由线性表示但表达式不唯一123123123(3)3,(,,,)3(,,)2,,,.RR当时不能由线性表示27线性代数练习题第四章向量组的线性相关性系专业班姓名学号第三节向量组的秩一．选择题：1．已知向量组4321,,,线性无关，则下列向量组中线性无关的是[C]（A）14433221,,,（B）14433221,,,（C）14433221,,,（D）14433221,,,2．设向量可由向量组m,,,21线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：121m,,,线性表示，记向量组（Ⅱ）：,,,,121m，则[B]（A）m不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示（B）m不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示（C）m可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示（D）m可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示3．设n维向量组s,,,21的秩为3，则[C]（A）s,,,21中任意3个向量线性无关（B）s,,,21中无零向量（C）s,,,21中任意4个向量线性相关（D）s,,,21中任意两个向量线性无关4．设n维向量组s,,,21的秩为r，则[C]（A）若sr，则任何n维向量都可用s,,,21线性表示（B）若ns，则任何n维向量都可用s,,,21线性表示（C）若nr，则任何n维向量都可用s,,,21线性表示（D）若ns，则nr二．填空题：1．已知向量组),,,(,),,,(,),,,(25400021121321t的秩为2，则t=32．已知向量组),,,(43211，),,,(54322，),,,(65433，),,,(76544，则该向量组的秩为22．向量组Ta),,(131，Tb),,(322，T),,(1213，T),,(1324的秩为2，则a=2b=528三．计算题：1．设T),,,(51131，T),,,(41122，T),,,(31213，T),,,(92254，Td),,,(262（1）试求4321,,,的极大无关组（2）d为何值时，可由4321,,,的极大无关组线性表示，并写出表达式134321313512312343(1)53215111211221122(1)(,,,)11123215543954391112111200100010012101210121000011120121rrrrrrrrrrrrr解：324143424312312312123123400100000(,,)3,,,.,,,,,32123212321211261126112611121112001454300110rrrrrrrrrrRdd4因为则线性无关，且故为的一个极大无关组.(2)123123123412312300066(,,,),,3,,,,,,32120104112610020014001400000000244.rddRR只有时即可由的极大无关组表示.所以=293．已知3阶矩阵A，3维向量x满足323AxAxAx，且向量组2,,xAxAx线性无关。(1)记2(,,)PxAxAx,求3阶矩阵B,使APPB;(2)求||A解：20(,,)10AxxAxAx,220(,,)01AxxAxAx且32203(,,)31AxAxAxxAxAx22322000(,,)(,,)(,,)103(,,)011APAxAxAxAxAxAxxAxAxxAxAxB又因向量组2,,xAxAx线性无关,故2(,,)PxAxAx可逆.得1000000103103011011BPP.(2)1APBP,11||||||||||||0APBPPBPB.线性代数练习题第四章向量组的线性相关性系专业班姓名学号第五节向量空间综合练习一．选择题：1．设向量组321,,线性无关，则下列向量组中，线性无关的是[B,C]（A）133221,,（B）122312,,2（C）1332213,32,2（D）321321321553,2232,2．设矩阵Anm的秩)(ARnm，Em为m阶单位矩阵，下列结论中正确的是[B]（A）A的任意m个列向量必线性无关（B）A通过初等行变换，必可以化为（Em0）的形式（C）A的任意m阶子式不等于零（D）非齐次线性方程组bAx一定有无穷多组解二．填空题：301．设403212221A，三维列向量Ta)1,1,(，已知A与线性相关，则a=12．从2R的基011，112到基111，212的过渡矩阵为2312三．计算题：1．设11111T，23311T，32068T试用施密特正交化方法将向量组标准正交化。解：111111T2122111[,]2222[,]T313233121122[,][,]1111[,][,]T11111111||||2T22212222||||4T33311111||||2T2．已知3R的两个基为1111a，1012a，1013a及1211b，4322b，3433b求由基321,,aaa到基321,,bbb的过渡矩阵P。解：记123111(,,)100111Aaaa,123123(,,)234143Bbbb1234010101PAB