初中平面几何证明题

初中几何证明练习题1.如图，在△ABC中，BF⊥AC，CG⊥AD，F、G是垂足，D、E分别是BC、FG的中点，求证：DE⊥FG证明:连接DG、DF∵∠BGC=90°，BD=CD∴DG=21BC同理DF=21BC∴DG=DF又GE=FE∴DE⊥FG2.如图，AE∥BC,D是BC的中点，ED交AC于Q，ED的延长线交AB的延长线于P，求证：PD·QE=PE·QD证明：∵AE∥BC∴△CDQ∽△AEQ∴AECDQEQD∵BD∥AE△PBD∽△PAE∴PEPDAEBD∵BD=CD∴PEPDAECD3.如图，已知点P是圆O的直径AB上任一点，∠APC=∠BPD，其中C，D为圆上的点，求证：△PAC∽△PDB证明：过点D作直径AB的垂线交AB于E，交圆O于F连接PF、BF∵AB⊥DF∴⌒BD=⌒BF,DE=FE∴BD=BF又∠BED=∠BEF=90°∴△BED≌△BEF∴∠DBE=∠FBE又BD=BF,BP=BP∴△PBD≌△PBF∴∠BPD=∠BPF，∠PDB=∠PFB∵∠APC=∠BPD∴∠APC=∠BPF∵∠APC+∠CPD+∠BPD=180°∴∠BPF+∠CPD+∠BPD=180°∴PEPDQEQD∴PD·QE=PE·QD即∠CPF=180°∴C、P、F三点共线∵C、A、F、B四点共圆∴∠CAB=∠CFB又∠CFB=∠PDB∴∠CAB=∠PDB又∠APC=∠BPD∴△PAC∽△PDB4.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG求证：ABCAEGSS△△证明：BACsinACAB21ABC△SGAEsinAEAG21AEG△SABFG和ACDE都是正方形∴∠BAG+∠CAE=180°，AB=AG，AC=AE∴∠BAC+∠GAE=180°∴∠BAC=180°-∠GAESin∠BAC=sin（180°-∠GAE）=sin∠GAE∴ABCAEGSS△△5.已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．证明：连接BD，取BD的中点G，连接GM、GN∵DN=CN，DG=BG∴NG∥BF，NG=12BC∴∠GNM=∠F，同理MG∥AE，MG=12AD∴∠GMN=∠DEN又BC=AD∴NG=MG∴∠GNM=∠GMN∴∠DEN=∠F6.设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．证明：作点E关于AG的对称点F，连接FC、FA、FQ∵AG是圆O的对称轴∴AE=AF∴∠AFE=∠AEF∵EF⊥AG，PQ⊥AG∴EF∥PQ∴∠AFE=∠FAP∵C、D、E、F四点共圆∴∠AEF+∠FCD=180°又∠FAP+∠FAQ=180°∴∠FCD=∠FAQ∴A、C、F、Q四点共圆∴∠ACQ=∠AFQ又∠ACQ=∠BEDG∴∠AFQ=∠BED∵AE=AF，AG⊥EF∴∠EAG=∠FAG又∠PAG=∠QAG∴∠PAE=∠QAF在△PAE和△QAF中∠PEA=∠QFAAE=AF∠PAE=∠QAF∴△PAE≌△QAF∴AP=AQ7、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦BC、DE,设CD、EB分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．证明：过点O作OF⊥CD于F，过点O作OG⊥BE于G连接OP、OA、OQ、AF、AG∵AM=AN∴OA⊥MN又OF⊥CD∴A、O、F、P四点共圆∴∠AFP=∠AOP又∠OAQ=∠OGQ=90°∴A、O、G、Q四点共圆∴∠AGQ=∠AOQ又∠D=∠B，∠C=∠E∴△ACD∽△AEB∴GBFDGB2FD2EBCDABAD又∠D=∠B∴△AFD∽△AGB∴∠AFD=∠AGB又∠AFD+∠AFP=180°∠AGB+∠AGQ=180°∴∠AFP=∠AGQ∴∠AOP=∠AOQ又OA=OA，∠OAP=∠OAQ∴△AOP≌△AOQ∴AP=AQ8如图，⊙O中弦AC，BD交于F，过F点作EF∥AB，交DC延长线于E，过E点作⊙O切线EG，G为切点，求证：EF=EG证明：∵AB∥EF∴∠A=∠EFC又∠A=∠D∴∠EFC=∠D又∠CEF=∠FED∴△CEF∽△FED∴EFECEDEF∴EDECEF2又EG是⊙O的切线∴EDECEG2∴EF=EGOM10.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接BE，CG求证：（1）BE=CG（2）BE⊥CG证明：∵ABFG和ACDE都是正方形∴AB=AG，AE=AC，∠BAG=∠CAE∴∠BAG+∠BAC=∠CAE+∠BAC即∠EAB=∠CAG∴△ABE≌△AGC∴∠AGC=∠ABE，BE=CG∵∠AGC+∠AMG=90°∴∠ABE+∠AMG=90°又∠AMG=∠BMC∴∠ABE+∠BMC=90°∴∠BOM=90°∴BE⊥CG11.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接CE，BG、GEM、N、P、Q分别是EG、GB、BC、CE的中点求证：四边形MNPQ是正方形证明：连接BE、CG相较于H，CG与AB相交于O∵ABFG和ACDE都是正方形∴AB=AG，AE=AC，∠BAG=∠CAE=90°∴∠BAG+∠BAC=∠CAE+∠BAC即∠EAB=∠CAG∴△ABE≌△AGC∴∠AGC=∠ABE，BE=CG∵∠AGC+∠AOG=90°∴∠ABE+∠AOG=90°又∠AOG=∠BOC∴∠ABE+∠BMC=90°∴∠BOM=90°∴BE⊥CG∵NG=NB，PB=PC∴PN∥CG，PN=12CG同理MQ∥CG，MQ=12CGMN∥BE，MN=12BEPQ∥BE，PQ=12BE又∵BE=CG∴PN=MQ=MN=PQOHIJ∴MNPQ是菱形∵MN∥BE，BE⊥CG∴MN⊥CG同理PN⊥BE∴NIHJ是矩形∴∠MNP=90°∴MNPQ是正方形