数学物理方程-一些典型方程和定解条件的建立剖析

深圳大学电子科学与技术学院第一章：一些典型方程和定解条件的建立肖龙胜[e-mail]§1.1数学物理方程的建立深圳大学电子科学与技术学院•数学物理方程的建立•定解条件的建立•定解问题本章提要：深圳大学电子科学与技术学院1.对实际问题（物理及一般问题），分析考察量的变化规律，建立相应的微分方程2.写出考察量所满足的相关条件3.根据微分方程和相关条件，求出考察量的解4.讨论解的适用条件udtdu)exp()(tntu精确描述线性增长阶段ntut0)(例子:人口增长问题(Malthus模型)什么是数学物理方法？深圳大学电子科学与技术学院用数学物理方法处理实际问题:第一步它是最重要的一步也是最困难的一步：数学物理方程的建立数学物理方法的核心：§1.1数学物理方程的建立深圳大学电子科学与技术学院1.统计法：对所考察的问题进行统计学研究，分析考察量的变化规律，写出它所满足的微分方程。这种方法具有非常广泛的用途，包括生物学、生态学、经济学、社会学等。2.微元法：在系统中分出一个微元，分析它与附近部分的相互作用，写出作用规律的数学表达式（比如牛顿第二定律表达式），它就是系统的微分方程。3.规律法：直接利用物理学规律写出考察量所遵循的数学物理方程，比如利用电磁波的麦克斯韦方程，写出电位、电场强度、磁场强度等物理量的微分方程。建立数理方程的方法深圳大学电子科学与技术学院基本方程（泛定方程）的建立物理模型（现象、过程）数学形式表述（建立偏微分方程并求解）目的：培养分析、归纳、综合、演绎、抽象、猜测、试探、估算的科学方法。微元法步骤：(1）确定研究对象（物理量），建立合适的坐标系；（2）在系统内部，任取一微元，利用物理规律，分析其与相邻部分间的作用；（3）忽略次要因素，抓住主要矛盾；（4）化简整理，得到偏微分方程。不含初始条件不含边界条件深圳大学电子科学与技术学院物理状态描述:设有一根均匀、柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，除受到重力外，不受其它外力影响，在铅直平面内作横向、微小振动。平衡位置弦的振动：虽然经典，但极具启发性。一.均匀弦的横振动方程的建立横向指全部运动出现在一个平面上，而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运动微小指振动的幅度及弦在任意位置处切线的倾角都很小，以致它们的高于一次方的项都可以忽略深圳大学电子科学与技术学院平衡位置:弦被绷紧，内部有张力(设为T)，长度为L，水平安置(位于x轴)x00x初始状态:（例如）弦被拉成下列形状：LL深圳大学电子科学与技术学院任意t时刻弦的形状:0xu现在的问题：任意时刻t弦上任意点x离开其平衡位置的位移u(x,t)？xuL深圳大学电子科学与技术学院平衡位置任意截取一小段，并抽象性夸大。一.均匀弦的横振动方程的建立微元法：弦振动方程深圳大学电子科学与技术学院X1、建立坐标系，选定微元2、微元s的动力学方程（牛顿第二运动定律）uosM1N1M2N2xx+dx21T1T2gs.两端所受张力—微元—、sTT21长度内的质量）—细弦的线密度（单位——重力加速度—g深圳大学电子科学与技术学院X1、建立坐标系，选定微元uo2、微元s的动力学方程（牛顿第二运动定律）M1sN1M2N2xx+dx21T1T2gs.(1)(2)水平方向：竖直方向：11221coscosTTF11222sinsinTTF(忽略重力)01F222tumF弦s的质量:xm深圳大学电子科学与技术学院0xxu211T2T水平方向：竖直方向：11222sinsinTTF0,21TTT令2122sintanxxxu11sintanxxuxxxxuxuTF2xx,1cos,cos210coscos11221TTF3、忽略与近似对于微振动:T1＝T2，说明张力不随地点而变，它在整根弦中取同一数值。tgxxtantangential深圳大学电子科学与技术学院的极限—如果差商—导数xyxxxfxfxyxxx110)()(limlim1点的导数。在函数存在，这个极限就称为xxf)(xdxydydxxfdyxfdxdy)(,)(或是导数复习导数关于函数的某种形式的极限（实质）函数在某点上的变化率（数学结构）某点上切线的斜率（几何意义）深圳大学电子科学与技术学院1cos1sec1222tg0xutg正是切线的斜率，即xxutgtgtg21sincossintg)()!12()1(!5!3sin1253xnxxxxxnn)()!2()1(!6!4!21cos2642xnxxxxxnn1cos知识复习深圳大学电子科学与技术学院xtxutdxxuxtxuxtdxxuxuxuxxx),(),(),(),(xxuxxxuxuxuxuxxx22xxuTtuxtumF222222222222xuatu(弦振动方程)xxxxuxuxu2aT或者，是的变化量，可以用微分近似代替，即xuxtxutdxxu),(),((一维波动方程)2FdxxuxT深圳大学电子科学与技术学院0xxu211T2T水平方向：没有变化竖直方向：xx),(txFxFxxuTxFxuxuTxFTTFxxx2211222sinsin强迫振动方程：若弦还受到时空依赖的外力的作用(设弦单位长度受力为F(x,t)，其方向竖直于x轴):深圳大学电子科学与技术学院2222tuxxFxuT),(),(txFtxf22222xuatu),(22222txfxuatu强迫振动方程注:),(22222txfxuatu齐次方程:只含有对u的各种运算非齐次方程：含有对u运算之外的项f(x,t),被称为驱动项,或非零自由项深圳大学电子科学与技术学院),(22222txfxuatu弦振动方程的解u(x,t)表示位于x处的“弦点”在任意t时刻离开其平衡位置的位移。其实，弦振动方程就是波动方程，因为波是振动的传播。因此解u(x,t)也表示空间任意点x的波形。22222xuatutu空间任意点x的波形弦振动方程=波动方程深圳大学电子科学与技术学院自然界许多弹性振动，例如机械振动、建筑物的剪振动、潮汐波、地震声波、声波以及电磁波等都可以用波动方程来描述。波动方程的应用:深圳大学电子科学与技术学院L＋二.传输线方程(电报方程)的建立xdxx对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出,同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视，因而同一支路中电流呈现瞬态变化。现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体，每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以R、L、C、G表示。深圳大学电子科学与技术学院●●).(txvdvvxdxxRdxLdxCdxGdx),(txidiiP物理状态描述:设如图传输线是分布参数电路，即传输线上电阻R、电感L、电容C和电导G是按单位长度计算其对应的物理量，并且在x+dx范围之内的所有元件无论布局如何，均认为其长度为dx。xdxx深圳大学电子科学与技术学院udtLidtdiLuLidtduLLLL1idtqdtduCdtCuddtdqiCuq)(tdduCiCCtddiLuLL电容元件：电感元件：换路定理:在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。电路准备知识知识复习深圳大学电子科学与技术学院xGxRxLxLxCiiivvvxx什么是传输线？传输线的始端接信号源，终端接负载。其间的电压、电流信号都是时空依赖的。整个传输线可以看成由许多微元x级联而成。从中取一个微元x：它的等效电路由下列4种原件构成：信号源电阻:R电感:L电容:C电导:G微元的等效线路：xx负载微元足够小，每个原件的尺度均为单位长度的值微元法：传输线方程深圳大学电子科学与技术学院在长度为x的传输线中，电压降：在结点：流入的电流等于流出的电流：tixLixRvvv)(vxGtvxCiii)(00RitiLxvGvtvCxi电流-电压耦合方程：传输线方程：深圳大学电子科学与技术学院(1)对x微分：(2)两端乘以C：(4)两端对t微分：(3)-(5)：0222xvGtxvCxi0GvtvCxi（2）0RCitiLCxvC（3）（4）0222tiRCtiLCtxvC02222tiRCtiLCxvGxi0RitiLxv（1）（5）（6）GRitiGLRCtiLCxi2222将(2)中的代入(6)：xv电流方程深圳大学电子科学与技术学院(2)对x微分：(1)两端乘以L：(4)两端对t微分：(3)-(5)：0222xiRtxiLxv0GvtvCxi（2）0LGvtvLCxiL（3）（4）0222tvLGtvLCtxvL02222tvLGtvLCxiRxv0RitiLxv（1）（5）（6）GRvtvGLRCtvLCxv2222将(1)中的代入(6)：xi电压方程深圳大学电子科学与技术学院GRvtvGLRCtvLCxvGRitiGLRCtiLCxi22222222电流与电压有完全相同的变化规律在高频传输情况下，电阻（电导）所产生的效应可以忽略不计，这样高频传输线的方程约化为波动方程：结论：同一个方程可以描述不同的物理现象LCaviuxuatu1,222222或L/C:分布参数深圳大学电子科学与技术学院热传导:当物体内部各点的温度不一样时，热量就会从温度较高的地方向温度较低的地方流动，这样温度是空间和时间的函数。热传导方程就是温度所满足的偏微分方程，它的解给出任意时刻物体内的温度分布。微元法:热传导方程热传导的傅里叶定律:在场中之任一点处，沿任一方向的热流强度（即在该点处单位时间内流过与该方向垂直的单位面积的热量）与该方向上的温度变化率成正比深圳大学电子科学与技术学院xxu高温低温热流xukqxu热流沿x方向传递,任意x处的温度为u,温度梯度为，q表示在单位时间内流经单位面积的热量（热流强度），k是热传导系数，负号表示热流方向与温度梯度方向（温度增大的方向）相反。单位面积q00u热传导的傅里叶定律:温度梯度：低温高温热流动：高温低温深圳大学电子科学与技术学院•如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着整个物理量的一个确定的值，就说在这空间里确定了该物理量的一个场。•如果这物理量是数量，称这个场为数量场（标量场）；若是矢量，称为矢量场。•例如温度场、密度场、电位场等为数量场，力场、速度场等为矢量场。•场是一种特殊物质，看不见摸不着，但确实存在。场把物理状态作为空间和时间的函数来描述。若物理状态与时间无关，称为静态场