工程结构可靠度计算方法—中心点法和验算点法

第八章工程结构可靠度计算方法基本内容：１结构可靠度的基本概念２中心点法３验算点法一结构可靠度的基本概念1结构的功能要求结构能承受正常施工、正常使用条件下可能出现的各种作用而不产生破坏；在偶然事件发生时以及发生后，仍能保持必需的整体稳定性，而不至于因局部损坏而产生连续破坏结构在正常使用时具有良好工作性能、满足正常使用的要求结构在正常使用和正常维护条件下，在规定的使用期限内有足够的耐久性，不因材料的老化、腐蚀、开裂等而影响结构的使用寿命，完好使用到设计使用年限2结构功能函数Z=g(X1,X2,….,Xn)考虑结构功能仅与作用效应Ｓ、结构抗力Ｒ两个基本变量有关的简单情况Z=R-S设Xi(i=1,2,…,n)表示影响结构某一功能的基本变量，则与此功能对应的结构功能函数可表示为◆安全性：◆适用性：◆耐久性：3结构的可靠度degreeofreliability结构在规定的时间内，在规定的条件下，完成预定功能的能力结构在规定的时间内，在规定的条件下，完成预定功能的概率，以可靠概率Ps表示4结构的可靠指标Ps(Pf)一般要通过多维积分得到、难以求解，为此引入可靠指标β来度量结构的可靠程度nnSXXdXXXXZPP2121xf)(fP-1)0(ZZZ1β值与Pf值也一一对应，β值越大则Pf值越小，结构可靠度越高Z=R-S0结构处于可靠状态Z=R-S=0结构处于极限状态极限状态方程Z=R-S0结构处于失效状态结构的可靠性：结构的可靠度：f(Z)zZσzPfβσZ2)(2121)(ZZZZZezf22SRSRZZ二中心点法1结构抗力Ｒ、荷载效应Ｓ服从正态分布假设随机变量R和S相互独立，且均服从正态分布，Z=R-S也服从正态分布，已知平均值μＲ、μＳ和均方差σＲ、σＳ，则Z的特征值：SRZ22SRZdzedzzfZPPZZzZZf02))((21021)()0(结构失效概率：将随机变量标准化：把Z由正态分布变换成标准正态分布ZZZt)(2122ZZtfdtePZZ)(1)()(ZZfP式中—标准正态函数)(1.34×10-51.08×10-46.87×10-41.00×10-33.47×10-32.27×10-215.86×10-2Pf4.203.703.203.092.702.001.00βzZσzf(Z)f(t)1t02结构抗力Ｒ、荷载效应Ｓ服从对数正态分布R、S分布大多呈偏态，按正态分布计算存在较大的误差，有人建议采用对数正态分布R、S服从对数正态分布，则lnR、lnS服从正态分布，也服从正态分布)ln(lnlnSRSRZSRZlnlnSRzln2ln2SRSRZZln2ln2lnln实际应用时，采用R、S的统计特征值计算更为方便若Ｘ服从对数正态分布，则XXXln2ln21ln)1ln(2ln2XXRSSRSRSRSRZ22ln2ln2lnln11ln)(21lnln)1ln()1ln(22ln2ln2SRSRZ)1ln()1ln(11ln2222SRRSSRZZ8—20利用泰勒级数对8-20进行简化ex在x=0处按泰勒级数展开，并取线性项xex1xx)1ln(SRSRSRRSSR222222lnln)1ln()1ln(11ln8—23例8-1某钢拉杆正截面强度计算极限状态方程为Z=R-S=0已知μR=135kN，μS=60kN，δR=0.15，δS=0.17，在下列情况：（1）R、S服从正态分布,按中心点法计算拉杆可靠指标β及相应失效概率（2）R、S服从对数正态分布，按中心点法计算拉杆可靠指标β解：1R、S服从正态分布σR=δRμR=0.15×135=20.25kNσS=δSμS=0.17×60=10.2kN42222107022.4)3078.3(1)(3078.32.1025.2060135fSRSRP2R、S服从对数正态分布按8-20式61387.3)17.01ln()15.01ln(15.0117.0160135ln)1ln()1ln(11ln22222222SRRSSRZZ适用条件：基本变量相互独立、服从正态或对数正态分布，功能函数是线性的特点:①直接采用特征值计算可靠指标，概念清楚、计算简便②将Z在平均值处（即中心点）按泰勒级数展开使其线性化（忽略二次以上项），计算的β是近似的③在一定条件下误差较大按8-23式57686.315.017.060ln135lnlnln2222SRSR三验算点法为使设计模式符合客观实际，拉克维茨、菲斯莱等人提出当量正态变量概念，把极限状态函数推广到多个变量的非线性的情况，建立了验算点法，这种设计模式对任何分布类型都适用1两个相互独立的正态分布变量R和S0SRZ极限状态方程为：RRRRˆSSSS对R和S作标准化变换以和表述的极限状态RˆSˆ0ˆˆSRSRSRZ用除上式得SR220ˆˆ222222SRSRSRSSRRSRSRR=S极限状态线SˆRˆ极限状态线'0SˆRˆ极限状态线'00ˆˆ222222SRSRSRSSRRSR0ˆcosˆcosSRSRSRSS22cosSRRR22cos极限状态直线的标准法线式方程SR(1)β的几何意义标准正态化坐标系中,原点o’到极限状态直线的最短距离o’P*，cosθS、cosθR为o’P*对各坐标向量的方向余弦*PSˆRˆ极限状态线'0(2)设计验算点在原坐标系中，验算点的坐标且点P*在极限状态直线上，S*、R*满足极限状态方程0**SRZ在标准正态化坐标系中，结构的极限状态直线上距离原点最近的点P*称为结构的设计验算点)ˆ,ˆ(***RSPSˆRˆSR*P*ˆS*ˆRsScosˆ*RRcosˆ*RRRSSSRScoscos**2多个正态分布随机变量极限状态功能函数中含多个相互独立的随即变量，均符合正态分布Z=g(X1,X2,….,Xn)＝0对Xi作标准化变换iiiiXXˆiiiiXXˆ0)Xˆ,ˆ(nnn111，XgZ在n维空间中表示一个失效曲面，推导可知：在标准正态坐标系中原点Ô到曲面的最短距离ÔP*就是结构可靠指标β1ˆX2ˆXnXˆ*1ˆX*2ˆX*ˆnXθ1θ2θn极限状态曲面P*iiiiXcos*①2112**)(cosniipiipiiXgXg②0),(*2*1*n，XXXg③设计验算点应为极限状态曲面上与结构最大可能失效概率相对应的点，也即结构极限状态方程中各基本随机变量在设计验算点处取值时结构失效概率最大。此点为对结构最不利的各随机变量的取值点故称之为结构设计验算点可证明在原坐标系中P*的坐标为iiiiXcos*①2112**)(cosniipiipiiXgXg②0),(*2*1*n，XXXg③由于P*点未知，用式①②③不能直接求出β，需采用迭代法结合式①②③确定结构设计验算点坐标和计算β(1)假设一组Xi＊值，通常取Xi＊＝μi(2)求cosθi(3)由Xi*=σiβcosθi+μi，求X1*，X2*，…，Xn*(4)代入g(X1*，X2*，…，Xn*)=0求β(5)重复(2)-(4)求β,与前一轮值比较，直至两轮β值的差小于允许值为止3多个非正态分布随机变量需在设计验算点xi＊处将非正态分布随机变量转换成相当的正态分布随机变量（当量正态化处理）0μXf(Q)Ｘμ’XＸ*根据设计验算点xi＊处当量正态化条件*)(*)('xFxFXX*)(*)('xfxfXX得当量正态变量Ｘi’的特征值iiiXiXiXxFx)]([*1*'*)(/*)]}([{1'iXiXXxfxFiii求出μXi’、σXi’后根据验算点法可计算β值式中—标准正态分布概率密度函数在验算点处，当量前后分布函数值相等；当量前后概率密度函数值相等例8-2例8-1钢拉杆R服从对数正态分布，S服从极值Ⅰ型分布按验算点法计算拉杆可靠指标β解：１假设验算点坐标：S*=μS=60kNR*=μR=135kN２将R、S当量正态化kNRkNRRRRRR14.20)1ln(5.133]1ln1[2*2*41.5557722.0953.728255.1SS5703.0]}exp[exp{)(**SSFS0403.0]}exp[exp{)exp(1)(***SSSfSkNSfSFSSS66.70403.03087.0)()]}([{**1kNSFSSSS517.54)]([*1*5求β0983.78548.21**SRZ6654.36求S*R*重复2-6,计算见表8-4β=3.30054求S*、R*3555.0cos'2'2'SRSS9347.0cos'2'2'SRRR3计算方向余弦7231.2517.54cos8249.185.133cos**SSSRRRSRkNSkNR498.647231.2517.54498.648249.185.133**作业思考题简述中心点法和验算点法的基本思路