一元二次方程的应用讲义

-学习改变命运-1教学内容教学过程设计板块一【本讲重、难点】1.综合运用一元二次方程和其他数学知识解决如面积、利润、增长率与降低率等生活中的实际问题。2.注意找准等量关系及检验根是否符合实际意义。3.从现实问题中构建一元二次方程数学模型。板块二【中考考点】C层次要求（较高要求）1.会运用一元二次方程解决简单的实际问题板块三【本讲知识梳理】1.利用一元二次方程解决许多生活和生产实际中的相关问题，它的一般方法是：（1）根据题意找到等量关系，列出一元二次方程。（2）特别要对方程的根注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性。2.解题循环图：1.课前热身：二分钟的简单沟通；一个小的逻辑推理题；与学生沟通一下学生最近的情况等。2.本次课的相应说明：一元二次方程的应用重要的就是把实际问题转化成数学模型。课题六一元二次方程的应用-学习改变命运-2板块四【知识框架】一元二次方程的实际应用动点问题数字问题面积问题利润问题增长率（降低率）问题常见类型、答步骤：设、列、解、验板块五【精选例题】（一）增长率（降低率）问题：【例1】（2009年赤峰市）某工厂今年3月份的产值为100万元，由于受国际金融风暴的影响，5月份的产值下降到81万元，求平均每月产值下降的百分率．解析:设平均每月产值下降的百分率为x.依题意：81x11002解得：10191x（舍），101x2答：平均每月产值下降的百分率为10%.【例2】（2009年常德市）常德市工业走廊南起汉寿县太子庙镇，北至桃源县盘塘镇创元工业园．在这一走廊内的工业企业2008年完成工业总产值440亿元，如果要在2010年达到743.6亿元，那么2008年到2010年的工业总产值年平均增长率是多少？《常德工业走廊建设发展规划纲要（草案）》确定2012年走廊内工业总产值要达到1200亿元，若继续保持上面的增长率，该目标是否可以完成？解析：设2008年到2010年的年平均增长率为x，则2440(1)743.6x化简得：2(1)1.69x，知识框架可以让学生初步了解一元二次方程的实际应用的大概题型。例题讲解：总结一元二次方程的题型分类之后，开始练习。在练习之前，先让学生回忆一下刚才讲过的内容。让知识点在学生脑子中重新过一遍。类型一的两道利润问题是中考常见题型，此类题的解题关键是掌握增长率（降低率）问题的基本关系：增长量=基础数×增长率（降低率），常用的等式是：nxA)1(a,其中a是基础数，x为增长率，n为增长次数，A为增长后的量。-学习改变命运-3解得：120.330%2.3xx，（舍去）2743.6(10.3)1256.6841200答：2008年到2010年的工业总产值年平均增长率为30%，若继续保持上面的增长率，在2012年将达到1200亿元的目标．（二）利润问题：【例3】商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元。为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降低1元，商场平均每天可多售出2件，求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）若要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案。解析：（1）设每件衬衫应降低x元根据题意列方程：1200)20(40xx）（解得：20,1021xx因为商场要尽快减少库存，降价越多每天的销量越大，所以只取20x答：商场要平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价20元。（2）商场每天赢利125015x2)20(402）（）（xx当15x时，商场赢利最多，共1250元。答：每件衬衫降价15元时，商场赢利最多。【例4】将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？解析：设商品的单价是)50(x元，则每个商品的利润是40)50(x元，销售量是)10500(x个.类型二的利润问题主要是掌握总利润与单件利润的关系，总利润=单件利润×件数，利用关系式列出一元二次方程。例3中隐含了经济交往中的“尽量减少库存”的规律，不易为人所察觉，从而导致解题时未舍去不合题意的解。-学习改变命运-4蔬菜种植区域前侧空地由题意列方程为：.8000)10500(40)50(xx整理，得：0300402xx.解方程，得：30,1021xx.故商品的的单价可定为50+10=60元或50+30=80元.当商品每个单价为60元时，其进货量只能是500-10×10=400个，当商品每个单价为80元时，其进货量只能是500-10×30=200个.答：售价定为60元时，进货是400个，售价定为80元时，进货是200个。（三）面积问题：【例5】（2008年南京市）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2:1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是2288m？解析：设矩形温室的宽为mx，则长为2mx．根据题意，得:288)42(2xx）（解得110x（不合题意，舍去），214x．所以14x，221428x．答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是2288m．【例6】（2008年中山市）如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形类型三中涉及到正方形或矩形的面积公式，根据观察图形找到面积的等量关系，解答有关面积的问题借助图形分析可使问题直观简单。-学习改变命运-5的边长。解析：设矩形温解：设小正方形的边长为xcm由题意得，2108480%108x解得，122,2xx经检验，12x符合题意，22x不符合题意舍去.∴2x答：截去的小正方形的边长为2cm。（四）数字问题：【例7】一个两位数等于它个位上的数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，求这个两位数。解析：设个位数字为x,十位数字为x-3由题意得：2)3x10xx（即030112xx解得：6,521xx当x=5时，x-3=2，两位数是25；当x=6时，x-3=3，两位数是36。答：这个两位数是25或36.（五）动点问题：【例8】如图，在BtACR中，90C，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s。几秒后PCQ的面积为CBtAR面积的一半？解析：设xs后PCQ的面积为CBtAR面积的一半。依题意，682121)6(x821x）（（1）类型四的多位数的数字问题，一般不直接设出这个多位数，而是间接设某个数位上的数字，再用代数式表示其余数位上的数字。（2）正确列出方程的关键是熟练掌握用字母表示两位数的方法：即两位数=（十位数字×10）+个位数字类型五的动点问题多出现于中考压轴题，且与其他知识方法综合考察，这道例题培养学生的抽象思维能力，问题的关键是弄清动点运动的方向、路程以及位置。-学习改变命运-6化简得：024142xx解这个方程，得：121x（不合题意，舍去），22x。所以2s后PCQ的面积为CBtAR面积的一半。板块六【课堂练习】1.某电脑公司2008年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2010年经营总收入要达到2160万元，且计划从2008年到2010年，每年经营总收入的年增长率相同，问2009年预计经营总收入为多少万元？解析：设2009年预计经营总收入为x万元，每年经营总收入的年增长率为a.根据题意，得.2160)1(%406002a解方程，得2,11(2.11aa不合题意，舍去），∴.2.11a.18001.240%600)1%(40600ax答：2010年预计经营总收入为1800万元.2．如图所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与AB平行,另一条与AB垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144米2,求甬路的宽度?解析：设甬路宽为x米,依题意,得-学习改变命运-76144)26)(240(xx,解得44,221xx(不合题意,舍去).答:甬路的宽度为2米。3．如图所示要建一个面积为150m2的长方形养鸡场,为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙,墙长为am,另三边用竹篱笆围成,已知篱笆总长为35m.求鸡场的长与宽各为多少米?解析：设鸡场的宽为xm，则长为)235(xm依题意列方程为：150)235(xx整理，得：01503522xx.解方程，得5.7,1021xx.所以当10x时，20235x.答：当鸡场的宽为10m时，长为15m；当鸡场宽为7.5m时，长为20m。4.已知：如图所示，在△ABC中，cm7cm,5,90BCABB.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.（1）如果QP,分别从BA,同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果QP,分别从BA,同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2?说明理由.-学习改变命运-8解析：（1）设xs后，△PBQ的面积等于4cm2，此时，cm)5(,cmxBPxAP，cm2xBQ.由,421BQBP得42)5(21xx.整理，得0452xx.解方程，得4,121xx.当4x时，782x,说明此时点Q越过点C，不合要求.答：1s后，△PBQ的面积等于4cm2.（2）仿照（1），由2225BQBP得2225)2()5(xx.整理，得022xx解方程，得01x（不合，舍去），22x.答：2s后，PQ的长度等于5cm.（3）仿（1），得72)5(21xx整理，得0752xx容易判断此方程无解.答：△PQB的面积不可能等于7cm2.-学习改变命运-9板块七【课后作业】1.（2009青海）在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图5所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A．213014000xxB．2653500xxC．213014000xxD．2653500xx解析：考察面积问题，结合图形更容易列出方程。2.（2009年甘肃庆阳）余下部分作为耕地如图3，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（）A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米解析：考察一元二次方程的面积问题，可以适当的平移图中的道路，将图形转化成更方便、更直接的得出答案的形式。3.（2009年甘肃庆阳）某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业2007年盈利多少万元？（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？解析：（1）设每年盈利的年增长率为x根据题意，得21500(1)2160x-学习改变命运-10解得120.22.2xx，（不合题意，舍去）1500(1)1500(10.2)1800x答：2007年该企业盈利1800万元（2）2160(10.2)2592．答：预计2009年该企业盈利2592万元4.（2009年新疆乌鲁木齐市）有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售．