中考复习23与圆有关的计算

第23讲与圆有关的计算2014中考复习第一轮│考点随堂练│第23讲与圆有关的计算2014中考复习第一轮1.圆的周长公式是2r2.如果弧长为l，圆心角为n°，圆的半径为r，那么弧长的计算公式为：l＝nπr180.考点一弧长、扇形的面积n°rl3.圆的面积公式是2r4.由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n°，所在圆的半径为r，弧长为l，面积为S，则S＝nπr2360或S＝12lr.(注：公式中的n表示1°的圆心角的倍数，所以不写单位)n°rll1.如果把圆锥的侧面沿着它的一条母线剪开，那么它的侧面展开图是一个扇形．扇形的弧长等于底面的周长．2lr2.圆锥的侧面积S圆锥侧=ra=2360na3.圆锥的全面积S圆锥全=S圆锥侧+S底面=2rar考点二圆锥的侧面积和全面积n°a1．规则图形：按规则图形的面积公式求．2．不规则图形：采用“转化”的数学思想方法，把不规则图形的面积采用“割补法”“等积变形法”“平移法”“旋转法”等转化为规则图形的面积．考点三阴影部分的面积考点一弧长与扇形的面积例1(2013·黄冈)如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，点A经过的路线长为_______．6π【点拨】如图，AD＝3，A′B″＝4，A″C1＝32＋42＝5,则AA′＝90π×3180＝32π，A′A″＝90π×4180＝2π，A″A1＝90π×5180＝52π，所以当点A第一次翻滚到点A1位置时，点A经过的路线长为AA′＋A′A″＋A″A1＝32π＋2π＋52π＝6π.【答案】6π方法总结在矩形翻滚的过程中，顶点A经过的路径长是多段弧的和，各段弧的圆心角都是90°，半径分别为矩形的两边和对角线的长.考点二不规则图形的面积例2(2013·泰安)如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，点O1，O2，O3，O4分别是OA，OB，OC，OD的中点，若⊙O的半径是2，则阴影部分的面积为()A．8B．4C．4π＋4D．4π－4【点拨】如图，连接AD，DB，BC，CA，OE，O3E，将每个小圆外面两个弓形放进正方形空白处，阴影部分正好是正方形ADBC，∴S阴影＝S正方形ADBC＝42÷2＝8.【答案】A方法总结求不规则图形的面积，首先将不规则图形进行分割或补形，拼成规则图形或转化为几个规则图形的和或差，然后利用规则图形的面积公式进行计算.考点三圆锥的侧面积与全面积例3(2013·眉山)用一圆心角为120°，半径为6cm的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径是()A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm4、如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6ｍ的正三角形ABC，母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是ｍ。（结果不取近似数）【点拨】设圆锥的底面半径为rcm，则2πr＝120π×6180，解得r＝2.故选B.【答案】B方法总结圆锥的底面圆的周长与其侧面展开图的弧长相等.例4一个圆柱的侧面展开图是相邻边长分别为10和16的矩形，则该圆柱的底面圆的半径是(C)A.5πB.8πC.5π或8πD.10π或16π解析：由题意知，该圆柱的底面圆的周长为10或16，即2πr＝10或2πr＝16，∴r＝5π或8π.故选C.例5如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2.将△ABC绕顶点A顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，B，A，C′三点共线，则线段BC扫过的区域面积为512π.解析：在Rt△ABC中，AC＝AB·cos30°＝2×32＝3.∠BAB′＝∠CAC′＝150°.把△AB′C′按逆时针旋转到△ABC的位置，则阴影部分恰好为一个完整的扇环，所以S阴影＝S扇形BAB′－S扇形CAC′＝150π×22360－150π×32360＝512π.例6如图，在⊙O中，直径AB＝2，CA切⊙O于点A，BC交⊙O于点D，若∠C＝45°，则(1)BD的长是2；(2)求阴影部分的面积．解：(1)连接AD,在⊙O中，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°.又∵CA切⊙O于点A，∴∠BAC＝90°.又∵∠C＝45°，∴AC＝AB＝2，BC＝22.在等腰直角△ABC中，∵∠ADB＝90°.∴BD＝DC＝AD＝12BC＝2.(2)在半圆ADB中，∵△ADB是等腰直角三角形，∴S阴影＝12DC·AD＝12×2×2＝1.例7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＝8，BC＝12，分别以AB，AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是(D)A．64π－127B．16π－32C．16π－247D．16π－127解析：由题意可知，该图形关于直线AD成轴对称，所以AD⊥BC，BD＝DC.因为BC＝12，所以BD＝6.在Rt△ABD中，AD＝AB2－BD2＝82－62＝27，所以S△ABD＝12·AD·BD＝12×27×6＝67.由于阴影部分的面积即为半圆ADB的面积减去△ABD面积的2倍，所以S阴影＝2×(12π×42－S△ABD)＝2×(8π－67)＝16π－127.故选D.例8．(2013·德州)如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB＝90°，以AB为直径画半圆，则图中的阴影部分的面积为(C)A.14πB．π－12C.12D.14π＋12解析：因为扇形AOB的半径为1，∠AOB＝90°，所以AB＝2，△AOB的面积为12，扇形AOB的面积为90×π×12360＝π4，所以弓形的面积为π4－12.又因为半圆的面积为12π×(22)2＝π4，所以阴影部分的面积为π4－(π4－12)＝12.故选C.例9．如图①，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm的圆，使之恰好围成图②所示的圆锥，则圆锥的高为(C)A.17cmB．4cmC.15cmD.3cmr1r1解析：设扇形的半径为Rcm，∵圆锥的底面周长等于扇形的弧长，∴90π·R180＝2π，∴R＝4，即圆锥的母线长等于4cm，∴圆锥的高＝42－12＝15(cm)．故选C.例10．(2013·山西)如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是(B)A.2π3－32B.2π3－3C．π－32D．π－3解析：如图，连接BD，设BE与AD的交点为G，BF与CD的交点为H.∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形．∵∠EBF＝60°，可得∠ABG＝∠DBH，又∵∠A＝∠BDH＝60°，BD＝BA，∴△ABG≌△DBH，∴S阴影＝S扇形BEF－S△ABD＝60π×22360－12×2×3＝2π3－3.故选B.例11(2013·温州)在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作BAC，如图所示，若AB＝4，AC＝2，S1－S2＝π4，则S3－S4的值是(D)A.29π4B.23π4C.11π4D.5π4解析：∵S1＋S3＝12π(AB2)2＝2π①，S2＋S4＝12π(AC2)2＝π2②，∴①－②，得(S1－S2)＋(S3－S4)＝3π2.∵S1－S2＝π4，∴S3－S4＝3π2－π4＝5π4.例12(2013·乐山)如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为2π－4.解析：如图，连接AB，根据轴对称与旋转对称的性质，从图中可知，S阴影＝2(S扇形AOB－S△AOB)＝2×(90π×22360－12×2×2)＝2π－4.例13(2013·威海)如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为点E，AO＝1.(1)求∠C的大小；(2)求阴影部分的面积．解：(1)∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，∴∠C＝12∠AOD.∵∠AOD＝∠COE，∴∠C＝12∠COE.∵AO⊥BC，∴∠C＝30°.(2)连接OB，由(1)知∠C＝30°，∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝120°.在Rt△AOF中，AO＝1，∠AOF＝60°，∴AF＝32，OF＝12，∴AB＝3.∴S阴影＝S扇形AOB－S△AOB＝120×π×12360－12×3×12＝13π－34.例14(2013·雅安)如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB,延长CD交BA的延长线于点E.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若BD的弦心距OF＝1,∠ABD＝30°，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．(1)求证：CD为⊙O的切线；解：(1)证明：如图，连接OD，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°.∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB.∴∠ODC＝∠ABC＝90°.∴CD是⊙O的切线(2)若BD的弦心距OF＝1,∠ABD＝30°，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．(2)在Rt△OBF中，∵∠ABD＝30°，OF＝1，∴∠BOF＝60°，OB＝2,BF＝3.∵OF⊥BD，∴BD＝2BF＝23，∠BOD＝2∠BOF＝120°.∴S阴影＝S扇形BOD－S△BOD＝120×π×22360－12×23×1＝4π3－3.例15某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成．如图，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1与O2C，O2D分别相切于点A，B.已知∠CO2D＝60°，E，F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD的两个交点，且EF＝24cm，设⊙O1的半径为xcm.(1)用含x的代数式表示扇形O2CD的半径；(2)若⊙O1和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm2和0.06元/cm2，当⊙O1的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？解：(1)如图，连接O1A，∵⊙O1与O2C，O2D分别相切于点A，B，∴O1A⊥O2C，O2E平分∠CO2D.∴∠AO2O1＝12∠CO2D＝30°.∴O1O2＝2x(cm)．∴FO2＝EF－EO1－O1O2＝24－3x，即扇形O2CD的半径为(24－3x)cm.(2)设该玩具的制作成本为y元，则y＝0.45πx2＋0.06×360－60×π×24－3x2360＝0.9πx2－7.2πx＋28.8π＝0.9π(x－4)2＋14.4π.∴当x－4＝0，即x＝4时，y的值最小．∴当⊙O1的半径为4cm时，该玩具的制作成本最小．1．一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为(A)A．6cmB．12cmC.23cmD.6cm解析：根据弧长公式，得60πr180＝2π，解得r＝6.故选A.2．如图所示，AB切⊙O于点B，OA＝23，AB＝3，弦BC∥OA，则劣弧BC的弧长为(A)A.33πB.32πC．πD.32π解析：如图，连接OB，OC，则OB⊥AB，OB＝OC，在Rt△AOB中，OB＝232－32＝3，∠BOA＝60°，又∵BC∥OA，∴∠CBO＝∠BOA＝60°，∴△OBC为等边三角形．∴∠BOC＝60°.∴lBC＝60π×3180＝33π.故选A.3．如图，AB是⊙O的切线，切点为A，OA＝1，∠AOB＝60°，则图中阴影部分的面积是(C)A.3－16πB.3－13πC.32－16πD.32－13π解析：∵AB是⊙O的切线，∴OA⊥AB.在Rt△AOB中，AB＝OA·tan∠AOB＝OA·tan60°＝3，∴S阴影＝S△AOB－S扇形AOC＝12×1×3－60π×12360＝32－16π.故选C.4．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．则半径为2的“等边扇形”的面积为(C)A．πB．1C．2D.23π解析：弧长l＝r，l＝nπr180，n＝180π，S＝nπr2360＝180×4π360π＝2.故选C.考点训练一、选择题(每小题4分，共48分)1．(2013·义乌)已知圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则这个圆锥的母线长为(B)A．12cmB．10cmC．8cmD．6cm2．(2013·淮安)若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是(B)A．3πB．