数学必修四第一章复习

必修四第一章复习同角三角函数基本关系式三角函数的图像和性质诱导公式任意角的三角函数弧度制与角度制任意角的概念应用应用知识结构1、角的概念的推广x),(正角负角oy的终边的终边零角一、角的有关概念2、角度与弧度的互化180180π1185757.30)π180(1,弧度1、终边相同的角与相等角的区别终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。2、象限角、象间角与区间角的区别Zkkk2,2xyOxyOxyOxyO3、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相垂直的两条直线上”的一般表示式Zkk2ZkkZkk23.终边相同的角:{|2,}kkZ练习1：1、写出终边落在直线y=x上的角的集合S，并把适合不等式-180o360o的元素写出来.ββsinsin2222、设为第二象限角，且有，则为（）Ａ．第一象限角Ｂ．第二象限角Ｃ．第三象限角Ｄ．第四象限角C练习1xy210150Oxy-3030Oxy15030O3.写出终边在各图中阴影部分的角的集合1{|22,}665SkkkZ2{|22,}66SkkkZ355{|22,}66SkkkZ4.弧度制：(1)1弧度的角：长度等于半径的弧所对的圆心角.rr1radO3602rad=180rad=lr=(2)弧长公式：lr=(3)扇形面积公式：21122Slrr扇=已知一个扇形的周长是4cm,面积为1cm2，则这个扇形的圆心角的弧度数为_____________练习214242142}RRR设扇形圆心角为,半径R则2R+R=45.任意角的三角函数(1)定义：(2)三角函数值的符号：OyxOyxOyx当点P在单位圆上时，r=1sincostanxyo●P(x,y)rxyrxrytan,cos,sin22yxr三角函数值的符号：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”练习2已知角a的终边落在直线y=3x上，求sina、cosa、tana.6.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sincos221sintancos(2)商数关系：练习322,sin21sincos1cos已知是第二象限角则-1tan2tancos2cossin2sinkkktantancoscossinsintantancoscossinsintantancoscossinsin公式二：公式三：公式四：公式一(k∈Z)诱导公式记忆方法：奇变偶不变，符号看象限sin)2cos(cos)2sin(公式五：公式六：sin-)2cos(cos)2sin(诱导公式记忆方法：奇变偶不变，符号看象限,:2符号看象限奇变偶不变口诀为的各三角函数值的化简诱导公式是针对k利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,一般按下面步骤进行:任意负角的三角函数任意正角的三角函数0～2π的角的三角函数锐角的三角函数用公式一或公式三用公式一用公式二或四或五或六可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”练习41sin(),(,0),232tan1、已知则222sin()sin()36xx、221的值是则在第四象限，)23sin(54)2cos(54.53.53.53.DCBA　　　A3、1.在利用诱导公式求三角函数的值时，一定要注意符号解题分析2.三角变换一般技巧有①切化弦，②降次，③变角，④化单一函数，⑤妙用1，⑥分子分母同乘除，方法不当就会很繁，只能通过总结积累解题经验，选择出最佳方法.sin,[0,2]yxx2oxy---11--13232656734233561126最高点：)1,2(最低点：)1,23(与x轴的交点：)0,0()0,()0,2()0,0()1,2()0,()1,23()0,2(作图时的五个关键点的图像？想一想：如何画)sin(xAycos,[0,2]yxx-oxy---11--13232656734233561126最高点：)1,0()1,2(最低点：)1,(与x轴的交点：)0,2()0,23()1,0()0,2()1,()0,23(作图时的五个关键点)1,2(的图像？想一想：如何画)cos(xAy图像定义域值域最值递增区间递减区间奇偶性周期对称轴对称中心xysinxycosxytan2522320xy21-12522320xy1-123223xyOxR[1,1]yxR[1,1]yZkkxx,2Ry22xk时，1maxy22xk时，1miny2xk时，1maxy2xk时，1miny无最大值无最小值[-2,2]22xkk3[2,2]22xkk[2,2]xkk[2,2]xkkZkkk),2,2(无奇函数偶函数T=2π奇函数T=2πT=π,2xkkZ(,0)kkZ,xkkZ(,0)2kkZZkk),0,2(无所有的点向左(0)或向右(0)平行移动||个单位长度y=sinxy=sin(x+)y=sinxy=sinx横坐标缩短(1)或伸长(01)1/倍纵坐标不变y=sinxy=Asinx纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)A倍横坐标不变y=Asin（x+）y=sinx三角函数图象变换y=sinxy=sin(x+)横坐标缩短1(伸长01)到原来的1/倍y=sin(x+)纵坐标伸长A1(缩短0A1)到原来的A倍y=Asin(x+)y=sinxy=Asin(x+)总结:向左0(向右0)方法1:按先平移后变周期的顺序变换平移||个单位纵坐标不变横坐标不变y=sinx横坐标缩短1(伸长01)到原来的1/倍y=sinx纵坐标伸长A1(缩短0A1)到原来的A倍y=Asin(x+)y=sinxy=Asin(x+)总结:纵坐标不变横坐标不变方法2:按先变周期后平移顺序变换向左0(向右0)平移||/个单位)sin()(sinxxy总结:minmax21xfxfAsin().yAxbminmax21xfxfb利用，求得2T1、将函数y=sin2x的图象向左平移π/6得到的曲线对应的解析式为（）A.y=sin(2x+π/6)B.y=sin(2x－π/6)C.y=sin(2x+π/3)D.y=sin(2x－π/3)2、要得到函数y=cos3x的图象,只需将函数y=cos(3x－π/6)的图象（）A.向左平移π/6个单位B.向右平移π/6个单位C.向左平移π/18个单位D.向右平移π/18个单位CC练习5三角函数部分题型一、概念题：1、任意角的概念2、弧度制概念3、任意角的三角函数概念；概念是逻辑判断的依据，是数学分析、理解的基础二、考查记忆、理解能力题如：简单的运用诱导公式要求做到：记忆熟悉、计算细心、答案正确三、求值题1、特殊角、非特殊角的三角函数求值题4、周期5、三角函数线三、三角函数的图象与性质题1、求定义域（注意与不等式的结合）2、求值域题3、求周期4、奇偶性5、单调性：如求单调区间、比较大小四、图象变换题1、画图和识图能力题：如：描点法、五点法作图、变换法2、已知图象求解析式（五点法作图的应用）弧度360O270O180O150O135O120O90O60O45O30O0Osincostan03456322322346021222312322210-1012322210212223-10103313不存在3-1330不存在0已知sinα=0.8，求tanα.方法指导：此类例题的结果可分为以下二种情况.(1)已知一个角的某三角函数值，又知角所在象限，有一解.(2)已知一个角的某三角函数值，但不知角所在象限，有两解.任意角的三角函数的定义同角三角函数的关系式及诱导公式(1)牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及sinαcosα＝tanα，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧，同时要体会数学思想方法如数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用．(2)诱导公式可概括为k·π2±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．已知f(α)＝sin2π－α·cos2π－α·tan－π＋αsin－π＋α·tan－α＋3π.(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝18，且π4απ2，求cosα－sinα的值；(3)若α＝－474π，求f(α)的值．【思路点拨】利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求解．【规范解答】(1)f(α)＝sin2α·cosα·tanα－sinα－tanα＝sinα·cosα.(2)由f(α)＝sinα·cosα＝18可知，(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinα·cosα＋sin2α＝1－2sinα·cosα＝1－2×18＝34，又∵π4απ2，∴cosαsinα，即cosα－sinα0，∴cosα－sinα＝－32.(3)∵α＝－474π＝－6×2π＋π4，∴f－474π＝cos－474π·sin－474π＝cos－6×2π＋π4·sin－6×2π＋π4＝cosπ4·sinπ4＝22×22＝12.2sin3costan3sin4cos(1)已知求221tan3sincos(2)已知求22tan3sin3cos(3)已知求2变式三角函数的图象及变换三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．如图1－1是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A0，ω0，|φ|π2)的一段图象．图1－1(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y＝sinx变换得来的？【规范解答】(1)由图象知A＝－12－－322＝12，k＝－12＋－322＝－1，T＝2×2π3－π6＝π，∴ω＝2πT＝2.∴y＝12sin(2x＋φ)－1.当x＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6.∴所求函数解析式为y＝12sin2x＋π6－1.(2)把y＝sinx向左平移π6个单位得到y＝sinx＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y＝sin2x＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到y＝12sin2x＋π6，最后把函数y＝12sin2x＋π6的图象向下平移1个单位，得到y＝12sin2x＋π6－1的图象．22例、已知y=2sinx+函数的图像，求函数的解析式。yx111221注：先求后求变式三角函数的性质高考中三角函数的性质是必考内容之一，着重考查三角函数的定