名师PPT--与圆有关的计算

第二十七讲圆的有关计算一、正多边形和圆1.正多边形的定义：各边_____，各角也_____的多边形是正多边形.2.正多边形和圆的关系：把一个圆______，依次连结_______可作出圆的内接正n边形.相等相等n等分各分点二、弧长公式在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为l=.三、扇形的面积公式在半径为r的圆中，①圆心角是n°的扇形面积S=，②弧长为l的扇形面积S=.nr1802nr3601r2l四、圆锥的侧面积和全面积1.圆锥的有关概念：(1)母线：圆锥_________上任意一点与圆锥_____的连线叫做圆锥的母线.(2)高：连结_____与底面_____的线段叫做圆锥的高.2.面积公式：如图：母线长为l，底面半径为r的圆锥：S侧=_____，S全=_________.底面圆周顶点顶点圆心πrlπrl+πr2【思维诊断】(打“√”或“×”)1.将一个圆分成4份，依次连接各分点所得的四边形为正方形.()2.正五边形的中心角等于72°.()3.正六边形外接圆的半径等于其边长.()4.扇形的面积公式是S=.()5.半径为3cm，圆心角为60°的弧长为cm.()6.圆锥的底面周长等于展开图中扇形的弧长.()nR3602√√××√×热点考向一正多边形和圆的有关计算【例1】如图，要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为()A.6mmB.12mmC.6mmD.4mm233【思路点拨】作辅助线→一个内角的度数→利用解直角三角形的知识求b的值.【自主解答】选C.连接AC，过B作BD⊥AC于点D.∵AB=BC，∴△ABC是等腰三角形，∴AD=CD.∵此多边形为正六边形，∴∠ABC=120°，∴∠ABD=60°，∴∠BAD=30°，AD=AB·cos30°=6×=3(mm)，∴b=2AD=6mm.3233【规律方法】正多边形的有关计算的常用公式(1)有关角的计算：①正n边形的内角和=(n-2)180°，外角和=360°.②正n边形的每个内角=，每个外角=.③正n边形的中心角=.n2180n360n360n(2)有关边的计算：①r2+=R2(r表示边心距，R表示半径，a表示边长).②l=na(l表示周长，n表示边数，a表示边长).③S正n边形=lr(l表示周长，r表示边心距).2a()212【针对演练】1.正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是()A.B.2C.3D.2【解析】选B.正六边形的边心距为，每条边所对的中心角为60°，设正六边形的边长为x，则cos30°=，解得x=2.333x332.已知☉O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为()A.3B.3C.D.36332362【解析】选C.如图，由☉O的面积为2π，可得圆的半径OC=，所以弦心距OE=，EC=，所以内接△ABC的面积=22262126363.2222【知识归纳】与正n边形有关的常用计算公式设边长为a，半径为R，中心角αn=；边长an=2Rsin；边心距rn=Rcos；外接圆半径R=；周长pn=nan；面积Sn=an·rn·n=pn·rn.360n180n180n22nn1r(a)212123.正八边形的一个内角是.【解析】根据内角和公式(n-2)·180°=(8-2)·180°=1080°，1080°÷8=135°.答案：135°【一题多解】360°÷8=45°，180°-45°=135°.答案：135°热点考向二弧长公式的应用【例2】如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是()A.πB.13πC.25πD.252522【思路点拨】确定点B旋转经过的路径为圆弧，根据勾股定理和弧长公式计算即可.【自主解答】选A.连接BD，B′D，∵AB=5，AD=12，∴BD==13，∴∵∴点B在两次旋转过程中经过的路径的长是22512901313BB1802，9012BB6180，13256.22【规律方法】弧长公式的应用对于弧长公式l=，可变形为：n=或R=，在三个量l，n，R中，若已知其中两个量，就可以求出第三个量.注意：在计算过程中，l与R的单位要统一.nR180180Rl180nl【针对演练】1.已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为()A.B.2πC.3πD.12π【解析】选C.根据弧长公式得l==3π.3445121802.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为()A.B.C.D.π33323【解析】选B.在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=2，所以AC=1，由勾股定理得，BC=，由旋转知，∠B′CB=60°，点B转过的路径长为.360331803【变式训练】如图，AB切☉O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，劣弧的弧长为.(结果保留π)BC【解析】连接OB，OC，∵AB为☉O的切线，∴∠ABO=90°.在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°.∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，则劣弧长为答案：BC6011803．33.(2013·西宁中考)如图，网格图中每个小正方形的边长为1，则弧AB的长l=.【解析】由题干图可得∠AOB＝90°，OA＝OB＝，∴l＝答案：323332＝903232.1802＝322热点考向三扇形面积公式的应用【例3】如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧AB对应的圆心角(∠AOB)为120°，OC的长为2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为.【思路点拨】重叠部分由扇形AOB和Rt△BOC组成，求出它们各自的面积再求和.【自主解答】由图知三角板和量角器重叠部分由扇形AOB和Rt△BOC组成，在Rt△BOC中，因为∠AOB为120°，OC的长为2cm，所以∠COB=60°，OB=2OC=4，BC=2，所以扇形AOB的面积=，Rt△BOC的面积=×2×2=2，所以三角板和量角器重叠部分的面积为cm2.答案：cm232120416360312316(23)316(23)33【规律方法】扇形面积公式的选择1.当已知半径R和圆心角的度数求扇形的面积时，选用公式S扇形=.2.当已知半径R和弧长求扇形的面积时，应选用公式S扇形=lR.3.扇形面积公式S扇形=lR与三角形面积公式十分类似，为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看成底，R看成底边上的高即可.2nR3601212【针对演练】1.在圆心角为120°的扇形AOB中，半径OA=6cm，则扇形AOB的面积是()A.6πcm2B.8πcm2C.12πcm2D.24πcm2【解析】选C.S==12π(cm2).22nr12063603602.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”.则半径为2的“等边扇形”的面积为()A.πB.1C.2D.π【解析】选C.根据扇形的面积公式，得S=lr=×2×2=2.231212热点考向四圆锥的侧面积、全面积【例4】已知直角三角形ABC的一条直角边AB=12cm，另一条直角边BC=5cm，则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是()A.90πcm2B.209πcm2C.155πcm2D.65πcm2【思路点拨】利用圆锥侧面积+圆锥底面积=圆锥表面积求得；圆锥的侧面展开图是扇形，先根据勾股定理求圆锥的母线长，再利用圆锥侧面积=πrl，其中r是底面圆的半径，l是母线长；再加上底面积即可.【自主解答】选A.∵∠ABC=90°，AB=12，BC=5，∴AC=13.侧面积S=πrl=5×13π=65π(cm2)，底面积S=πr2=25π(cm2)，圆锥的表面积=65π+25π=90π(cm2).【规律方法】圆锥和其侧面展开图(扇形)之间的等量关系(1)h2+r2=l2.(2)的长=☉O周长=.(3)S扇形ABC==πrl.BCn180l2n360l【备选例题】如图，从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为cm.13【解析】圆心角是360°×=240°，则弧长是=12π(cm)，设圆锥的底面半径是r，则2πr=12π，解得r=6.则圆锥的高是(cm).答案：31(1)324091802296355【针对演练】1.如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积是()A.10cm2B.10πcm2C.20cm2D.20πcm2【解析】选B.圆锥的侧面积S=πrl，r是底面半径，l是母线长.∴S=π×2×5=10π(cm2).2.如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面周长为()A.πB.πC.D.【解析】选B.扇形的弧长为，所以圆锥的底面周长为π.34323290331802l32343.一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为.【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，则扇形的弧长为80πcm，半径为90cm，由弧长公式得80π=，所以圆心角的度数n=160°.答案：160°n90180【知识归纳】有关圆锥计算的三个关键点1.圆锥的母线长为圆锥侧面展开图的半径.2.圆锥底面圆的周长等于圆锥侧面展开图的弧长.3.圆锥的母线长l、底面半径r、高h之间具有关系：r2+h2=l2.注意：计算时圆锥侧面展开图的半径是圆锥的母线，注意与底面半径的区分.【知识归纳】学习圆锥的侧面积与全面积需注意的两个问题1.弄清圆锥的底面半径、高、母线之间的关系：圆锥的轴截面是等腰三角形.2.与圆锥侧面积有关的几何体的表面积的计算：一是分析清楚几何体表面的构成，二是弄清圆锥与其侧面展开扇形各元素之间的对应关系.热点考向五与圆有关的阴影面积的计算【例5】如图，CD为☉O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1.(1)求∠C的大小.(2)求阴影部分的面积.【解题探究】(1)题目已知条件中，没有已知角的度数，如何求∠C的大小？提示：可根据垂径定理及推论得出CD⊥AB，，得出∠C=∠AOD.再根据对顶角相等，得出∠AOD=∠COE，得出∠C与∠COE的关系，在Rt△COE中，根据两锐角互余，求出∠C的大小.ADBD12(2)阴影部分的面积等于哪些图形的和差，怎样求出？提示：S阴影=S扇形OAB-S△OAB.由(1)所求得的∠C度数可得∠AOD的度数，即可求出∠AOB的度数，再利用30°的直角三角形边角关系，求出OF，AB的长度，利用扇形面积公式S扇形=πR2和三角形面积公式，可求出S扇形OAB-S△OAB.n360【尝试解答】(1)∵CD为☉O的直径，CD⊥AB，∴，∴∠C=∠AOD.∵∠AOD=∠COE，∴∠C=∠COE.∵AO⊥BC，∴∠C=30°.(2)连接OB.由(1)知∠C=30°，∴∠AOD=60°，∴∠AOB=120°.在Rt△AOF中，AO=1，∠AOF=60°，∴AF=，OF=，∴AB=.∴S阴影=S扇形OAB-S△OAB=×12×π-ADBD12123212312036011133.2234【规律方法】求圆中有关阴影部分面积的方法1.求不规则图形的面积，常转化为几个规则图形的面积的和差，然后求出各图形的面积，通过面积的和差求出结果.2.求阴影部分面积的“五种常见方法”：(1)公式法.(2)割补法.(3)拼凑法.(4)等积变形法.(5)构造方程法.【针对演练】1.如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为则图中弓形的面积为()A.B.C.D.【解析】选C.S=4334－34－2334－332－2