拉普拉斯变换及反变换

机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换补充：拉普拉斯变换及反变换拉氏变换对是求解常系数线性微分方程的工具。把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换，经求解再还原为时间函数。概述机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换一、拉普拉斯变换（2）常用函数的拉普拉斯变换（3）拉普拉斯变换的基本性质二、拉普拉斯反变换内容（1）定义机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换1.定义反变换Laplace当f(t)含有冲激函数项时，此项0ttfsFstde)()(0正变换aplaceL拉氏变换积分上限说明：一、拉普拉斯变换(0)tF(s)=ℒ[f(t)]f(t)=ℒ-1[F(s)]表示为：ttfsFstde)()(0—0—de)(j21)(jjssFtfstttfttfststde)(de)(000机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换f(t)，t[0,)称为原函数，属时域。原函数用小写字母表示，如f(t)，i(t)，u(t)F(s)称为象函数，属复频域。象函数F(s)用大写字母表示,如F(s)，I(s)，U(s)。js称为复频率。f(t)F(S)LL_拉普拉斯变换对，记为：机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换0e1sts0de0tst)()(.1tutfs12.2常用函数的拉普拉斯变换（单位阶跃函数）0001)(tttutu(t)F(s)=机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换0)(e1tasasas1)(e)(.2tutfat0[e]eedatatsttℒj1[e]jtsℒ(指数函数)）（）（000)(ftetttF(s)=机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换)()(.3ttf00d)(tt=10[()]()edsttttℒ（单位脉冲函数）)0()0(0)(ttt1)(dttδ(t)t0机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换）（）（000)(ftttt（单位斜坡函数）f(t)t0ttf)(.4dteseststst010F(s)=L[f(t)]=dttest021s机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换0elimstnttnttf)(.5stnsted0nststntsstdee00ttsnstnde010[]ednnsttttℒ[]nnts1[]ntℒ（幂函数）机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换[]nntsℒ1[]ntℒ1n当＝，21[]ts；ℒn当＝2，232[]ts；ℒL依次类推，得ℒ机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换常用函数的拉普拉斯变换表ttne-atte-attne-ate-jwtu(t)δ(t)δn(t)1sn1/s1/s2n!sn+1n!(s+a)n+11(s+a)21s+a1s+jw机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换1f1(t)e-tt0例题求图示两个函数的拉氏变换式ssF1)(1f2(t)e-tt0解由于定义的拉氏变换积分上限是0－，两个函数的拉氏变换式相同(0)t当取上式的反变换时，只能表示出0t区间的函数式1[]etsℒ1机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换2.3拉普拉斯变换的基本性质一、线性性质111[]2jjjss22s)11(ssA1122[()](),[()]()ftFsftFs若ℒℒ12[()()]aftbft则)()(21sbFsaFℒ[(1e)]tA例1ℒ[sin]t例2ℒjj1[(ee)]2jttℒ机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换二、微分定理]sin[1022tss22ss[()]()ftFs设ℒd()[]()(0)dftsFsft则ℒ1d[cos][(sin)]dttt例1ℒℒℒ)0()0()(])(d[222fsfsFsdttfℒ）（）（）（0...00)(])(d[)1(21nnnnnnffsfssFsdttf机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换初态为r(0-)及r/(0-)，原始值为e(0-)=0，求r(t)的象函数。解：设r(t)，e(t)均可进行拉氏变换即有E(S)=L[e(t)],R(S)=L[r(t)]•对方程两端进行拉氏变换，应用线性组合与微分定理可得[S2R(s)-Sr(0-)-r/(0-)]+a1[SR(s)-r(0-)]+a0R(s)=b1[SE(s)-e(0-)]+b0E(s)•整理合并得（S2+a1S+a0）R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1+b0)E(s)-b1×0)()()()()(010122tebtetddbtratrtddatrtdd•例3某动态电路的输入—输出方程为012101)0()0()()()()(asasrrassEbbssR＋机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换三、积分定理例[()]()ftFs设ℒ01[()d]()tfFss则ℒ机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换四、时域平移f(t)f(t-t0)平移[()]()ftFs设ℒ机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换22)(ss2)(1s例1例2[e]ttℒ[ecos]ttℒ五、复频域平移[()]()ftFs设ℒ[e()]()tftFs则ℒ22)(s例3[esin]ttℒ机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换六、初值定理和终值定理)(lim)(lim)0(0ssFtffst初值定理若ℒ[f(t)]=F(s)，且f(t)在t=0处无冲激，则存在时)(limtft)(lim)(lim)(0ssFtffst终值定理f(t)及其导数f(t)可进行拉氏变换，且机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换例111lim)(0sstust例22215)(sssI3)/212/115(lim)2215(lim)0(sssssiss例31)111(lim)(0ssstist11()[1e]1-tIsssℒ机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换as111)()0(limlimassssFfss01)()(limlim00assssFfss例4：已知F(s)=解：由初值定理得，求f(0)和f(∞)由终值定理得机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换112212128()(),()()()()()()ftFsftFsftftFsFs：若　卷则时域积性LL例右图所示电路中，电压源为，试用时域卷积定理求零状态响应电流i(t)。)()(tuetutai七、时域卷积性i(t)RL)(tui)s()()(iUsLsIRsI解（1）写出系统动力学方程（2）作Laplace变换得)()()(tudttdiLRtii系统方框图h(t)Ui(s)H(s)I(s)机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换零状态响应电流I(s)=Ui(s)H(s)=ℒ[ui(t)]H(s))(teta)()()(1teeaLRLtLRtaLsRUsIi1)s()(H(s)LRsLas111=ℒℒ-1[I(s)]i(t)=（4）应用时域卷积定理（3）求系统传递函数h(t)Ui(s)H(s)I(s)（5）作Laplace反变换得LsR1机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换112212129()(),()()()()()1()2ftFsftjFsftftFsFss：若　　域卷　　　　则积性LLL八、S域卷积性九、尺度变换性机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换的基本性质表机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换的基本性质表机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换的基本性质表机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换本讲小结：拉普拉斯变换定义常用函数的拉普拉斯变换拉普拉斯变换的基本性质机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换(1)ℒ利用机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换•作业1、写出拉普拉斯变换定义式2、机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换1(s-1)2__机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换二、拉普拉斯反变换1、由象函数求原函数（2）经数学处理后查拉普拉斯变换表)()()()(21sFsFsFsFn)()()()(21tftftftfnf(t)=L-1[F(s)]（1）利用公式jj1()()ed02πjstftFsst较麻烦机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换象函数的一般形式：)()()()(11011021mnbsbsbasasasFsFsFnnnmmm2、将F(s)进行部分分式展开机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换nnssksskssksF2211)(](s)[)(1FLtf1)()(11sssFssk2)()(22sssFssknssnnsFssk)()()(1ss)(1ss)(1ss)(1ss等式两边同乘(s-s1)=0nitsiik1e][22111nnsskssksskL机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换21321sksksk5.2)(01SssFk2()2.55e1.5e(0)ttftt)2)(1(52sssss例1)23(5)(22ssssssF5)1)((12SssFk5.1)2)((23SssFk解：F(S)](s)[)(1FLtf2()2.55e1.5e(0)ttftt机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换21122ss2()2()2ee(0)ttfttt)2)(1(32sss例223772)(22sssssF（m=n，用长除法）解：F(S)](s)[)(1FLtf机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换有共轭复根）（)(22sF12()jjkkFsss（k1,k2也是一对共轭复数）)eeee()jj)jjttkk（（]ee[e)(j)(jtttk2ecos()(0)tktt1,2js假设只有两个根j1ekkj2ekk设解：](s)[)(1FLtf则欧拉公式机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换52)(2ssssF2j11s6.26559.0212j12j12j12j11jsskS6.26559.021j212j1j212j12jsskS)6.262cos(e559.02tt0)6.262cos(e12.1ttt例12j12s法一：部分分式法展开，求系数。](s)[)(1FLtf机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换法二：522sss