专题二项式定理的应用

专题:二项式定理的应用[考点搜索]1.已知二项式，探求二项展开式中的特殊项.3.求展开式中某些项的系数和与差.2.已知三项式，求展开式中某一项或某一项的系数.4.二项展开式定理和二项展开式的性质的综合应用.[例1]:,2192求的展开式中在xx(1)第6项;(2)第3项的系数;(3)含x9的项;(4)常数项.[解析].16636,166321)()1(33542596xxxxCT项为即第.93,9413621)()2(12214272293项的系数为故第xxxxxCT1.已知二项式，探求二项展开式中的特殊项..22121.4,3,9318(*)2121)(,1)3(9939349318992919xxC　TxrrxCxxCTxrrrrrrrr项含即第则令则项项含设第.1621,162121,7,6,0318,(*))4(6967常数项为项为常数项即第令式由CTrr[例1]:,2192求的展开式中在xx(1)第6项;(2)第3项的系数;(3)含x9的项;(4)常数项.1.已知二项式，探求二项展开式中的特殊项.101,_____.xx二项式的展开式系数最大的项为rrrrrrrxCxxCT23101010101)1(1[解析]461041045210)1(xxCTxxCT210)1(91061067[例2]1.已知二项式，探求二项展开式中的特殊项..75,.,75.,6,,,,)1(41061041051051010项项和第系数最大的项为第因此即为最大项性规律可知再由二项式系数的增减项的系数相等且为项和第第又因显然不是最大的项系数为但第项式系数最大为六项的二展开式中中间一项即第由二项式系数性质系数相等对应的二项式故每项系数的绝对值与此项系数为CCCCCC　　rr点评：利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数，实际上就是对二项展开式的通项公式的考查，此类问题是高考考查的重点．[练习]的项的系数是多少？含开式中展在22543,)1(1)1(1xxxxxn334233(1)[1(1)](1)(1)(1)1(1)(1)(1)nnnxxxxxxxxx解1332333333322:1(3)(2)611(611)66nnCCxCCnnnnnnnn项的系数为(n+1)-661.已知二项式，探求二项展开式中的特殊项.[练习]的项的系数是多少？含展开式中在22543,)1(1)1(1xxxxxn2222234523222233452322244523225523321111(611)6nnnnnxCCCCCCCCCCCCCCCCCnnn解2:的系数为1.已知二项式，探求二项展开式中的特殊项.练习:,214求项系数成等差数列展开式中前三若nxx(1)展开式中含x的一次幂的项;(2)展开式中所有含x的有理项;(3)展开式中系数最大的项.1.已知二项式，探求二项展开式中的特殊项.练习:,214求等差数列展开式中前三项系数成若nxx(1)展开式中含x的一次幂的项;(2)展开式中所有含x的有理项;(3)展开式中系数最大的项..8,21221)1(1220nCCCnnn得由条件[解析]1.已知二项式，探求二项展开式中的特殊项.,2)21()(43484881rrrrrrrxCxxCT.8352.4,14344481xxCTxrrr的一次项为得令.2561,835,,8,4,0),80(Z434)2(29541xTxTxTrrr即有理项为且令.7,7,43322222,,,,)3(474523118811881)1(11)1(1111xTxTkCCCCttttttTkkkkkkkkkkkkkrr分别是项项和第系数最大项为第于是且则有最大设第项系数为记第:,214求等差数列展开式中前三项系数成若nxx(1)展开式中含x的一次幂的项;(2)展开式中所有含x的有理项;(3)展开式中系数最大的项.rrrrrrrxCxxCT434848812)21()()1(由练习1.已知二项式，探求二项展开式中的特殊项.[例3].115展开式的常数项求xx2.已知三项式，求展开式中某一项或某一项的系数.[例3].115展开式的常数项求xx[解析])50()1(1,1111:55155r　　xxCTxxxxrrrr它的展开式通项为法一1)1(1,55556CTr时当.51)1()1()1(.1,3,2,13123512415CCCCkrkr常数项为即2.已知三项式，求展开式中某一项或某一项的系数.的展开式的通项为时当rxxr51,50)50(1255551rk　　xCxxCTkrkrkkrkrk,12,31,Z50或值分别为相应的或只能取且kr　　rr.11511011015111,11,5)(234555xxxxxxxxxxxxxx即也可以直接展开次由于本题只有解法二[例3].115展开式的常数项求xx.511105,,1,11224CCxxxx常数项为项常数项且是各自的中间某展开式才会出现的偶次幂中只有在的对称性知由2.已知三项式，求展开式中某一项或某一项的系数..511,1)3(;1)1(,1,1,)2();1(1,1,1)1(:,511))((14152325314152232255CCCCxxCCxxxCxCxxxx故常数项为都取即其余取另一个取一个取即一个取常数另两个取两个因式取出现常数项有三类情况要展开式中个相同因式之积是组合方法解法三[例3].115展开式的常数项求xx[评注]要求三项式n次幂的展开式中的特定项,一般通过结合律,借助于二项式定理的通项求解.如解法一,当幂指数较小时,可以直接写出展开的全部或局部,如解法二.二项式定理是用组合方法推出的,因而解法三也不失为一种好方法.2.已知三项式，求展开式中某一项或某一项的系数.512.xx变式:求展开式的常数项2.已知三项式，求展开式中某一项或某一项的系数.的系数展开式中的求4102)1)(1(xxxx21039444311444994(1)(1)(1)(1)1C()()1269135135xxxxxxxxCxxxxx解1含的项为：（）展开式中的系数为2104443322210101044444(1)(1)C()C21012045135135xxxxxxCxxxxxxxx解2含的项为：（）（）展开式中的项的系数为.||||||||)4(;)3(;)2(;)1(:.)21(　　　　7210642075317217722107aaaaaaaaaaaaaaaxaxaxaax求已知[例4][解析]令x=1及x=-1则776543210765432103,1aaaaaaaaaaaaaaaa①②(2)(①②)÷2,得.109423177531aaaa(3)(①+②)÷2,得.109323176420aaaa.2),1,0(1)1(73210070aaaaaxCa得或令3.求展开式中某些项的系数和与差..||||||||)4(;)3(;)2(;)1(:.)21(　　　　7210642075317217722107aaaaaaaaaaaaaaaxaxaxaax求已知.2187,)2()3()()(||||||||.,,,,,,,,)21(:1)4(753164207210753164207其值为即可小于零而大于零展开式中解aaaaaaaaaaaaaaaaaaaax.21873||||||||,)21(|,|||||||:27721077210aaaaxaaaa展开式中各项的系数和即解[例4](2)(①②)÷2,得.109423177531aaaa(3)(①+②)÷2,得.109323176420aaaa3.求展开式中某些项的系数和与差.点评：赋值法是解决二项展开式的系数和的有效方法，通过对二项展开式中的字母或代数式赋予允许值，以达到解题目的．929292191290291919292929291(1009)1001009100910099CCC解[例5](1)9192除以100的余数是几?(2)求证:32n+28n9(nN*)能被64整除.92929219129090291929292929292191290902929292921912909029292929(101)1010101010(1)101010109201(101010101000)81CCCCCCCCCC的余数除以只须求于是整除不能被只有末项整除前面各项均能被1009,1009,1009292.8110091,8110092的余数为除以即除的余数为被4.二项展开式定理和二项展开式的性质的综合应用.(整除问题)[例5](1)9192除以100的余数是几?(2)求证:32n+28n9(nN*)能被64整除.92920921919029192929292919291(901)909090901,100,100,9018281820081.10081.CCCCC由于前面各项均能被整除只有末尾两项不能被整除由于被除余4.二项展开式定理和二项展开式的性质的综合应用.(整除问题)929292191290291919292929291(1009)1001009100910099CCC解的余数除以只须求于是整除不能被只有末项整除前面各项均能被1009,1009,1009292[例5](1)9192除以100的余数是几?(2)求证:32n+28n9(nN*)能被64整除..64*)N(983,64888898)188888(98)18(989983:)2(22211121111011211121111011122整除能被的倍数而上式各项均为证明nnCCCCnCCCCCnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn4.二项展开式定理和二项展开式的性质的综合应用.(整除问题)点评：利用二项式定理证明整除（或求余数）问题，通常把底数拆成与除数的倍数有关的和式．求0.9986的近似值，使误差小于0.001[例6]4.二项展开式定理和二项展开式的性质的综合应用