汽车流量问题数学建模

1交通流量图模型摘要本论文解决的是交通流量的问题。本文根据某城市的单行道各交叉路口流入流出量相等列出方程组，利用线性代数的相关知识，求得各交叉路口交通流量通解为),6000(05004002006001101111且为整数kkx，此结果即为交通流量图的模型。关键词：流入等于流出线性代数通解2一、问题重述在某市中心单行道交叉路口，驶入和驶出如图所示，图中给出了上下班高峰时每个道路交叉口的交通流量（以每小时平均车辆数计），利用所学知识，建立这个交通流量图的模型。二、问题分析城市道路网中每条道路，交叉路口车流量分析是改善评价交通情况的基础。必要时设置单行线，减少了转弯时的交通容量，解决了大量车辆长时间拥堵问题。几条单行道彼此交叉，存在交叉点分别为A、B、C、D。本题给出了上下班高峰时每个道路交叉口的每小时交通流量。对于四个点流入量等于流出量，从而得出方程组，利用增广矩阵的初等变换，求出齐次方程组的解，得到线性方程组的通解，从而得最终结果。三、问题假设（1）假定全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；（2）假定全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量.试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.（3）假定汽车行驶的方向随机且概率相同（4）假定每个道路交叉口的交通流量（以每小时平均车辆数计）（5）假定车与车之间是相互独立的，互不影响四、符号说明3（Ab）：方程组的增广矩阵：方程组的一个特解1：导出组的基础解系x：方程组的通解五、模型建立与求解在每一个路口处可根据进出的汽车流量相等关系,建立一个线性代数方程。则列出以下线性方程组：600:400100:300:500300:515434221xxDxxCxxxBxxA整理得线性方程组为：600500300800515443221xxxxxxxxx作方程组的增广矩阵）（bA，并对它施以初等行变换：200100105001100010011100800000112001001050011000300011108000001160010001500110003000111080000011b）（A则54rbr）（）（AA，所以其线性方程组有无穷解4即原方程组与方程组200500100800525454321xxxxxxxxx5435251500400200600xxxxxxx同解，其中x5为自由未知量。令05x，得方程的一个特解0500400200600原方程的导出组与方程组0000525454321xxxxxxxxx54352510xxxxxxx同解，其中x5为自由未知量。令15x，即得导出组的基础解系110111因此原方程组的通解为050040020060011011111kkx（k1为任意实数）于是方程组的通解其中k1为任意常数，所以x有无穷多解.但是根据题意60005x，即60001k5所以符合交通流量图的模型为),6000(05004002006001101111且为整数kkx六、模型结果分析与检验分别将k取最最大值600和最小值0带入通解公式，求得ix，将其带入图中，交通顺畅，基本不会造成车拥堵现象。因为两种极限情况符合要求，所以通解符合要求，模型结果可靠，具有推广意义。七、模型评价1、模型的优点：此模型比较充分的的考虑了题目中的约束条件，简单明了，采用线性代数的方法确立最终模型，建立的模型贴近实际，具有推广意义和参考价值。2、模型的缺点：模型与实际情况存在一定差异，没有考虑自然条件影响，仍有理想化的地方。八、参考文献1.赵树嫄，《线性代数》，中国人民大学出版社2.傅家良，《运筹学方法与模型》，复旦大学出版社3.胡建，《线性代数》，化学工业出版社4.钱春林.《线性代数》，高等教育出版社5.姜启源等编，《数学模型》，高等教育出版社