电动力学习题解答2

电动力学习题解答第1页第二章静电场1.一个半径为R的电介质球，极化强度为2/rKrP，电容率为。（1）计算束缚电荷的体密度和面密度：（2）计算自由电荷体密度；（3）计算球外和球内的电势；（4）求该带电介质球产生的静电场总能量。解：（1）Pp2222/)]/1()/1[()/(rKrrKrKrrr)(12PPnpRKRrr/Pe（2）)/(00PPED内200)/()/(rKfPD内（3）)/(/0PDE内内rrfrKRrVeeDE200200)(4d外外rKRr)(d00rE外外)(lndd00rRKRRrrErE外内内（4）RRrrrRKrrrKVW42200222022202d4)(21d4)(21d21ED200))(1(2KR2.在均匀外电场中置入半径为0R的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差0；（2）导体球上带总电荷Q解：（1）该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场0E方向的轴线，取该轴线为极轴，球心为原点建立球坐标系。当0RR时，电势满足拉普拉斯方程，通解为nnnnnnPRbRa)(cos)(1因为无穷远处0EE，)(coscos10000RPERE所以00a，01Ea，)2(,0nan当0RR时，0所以0101000)(cos)(cosnnnnPRbPRE即：002010000/,/RERbRb电动力学习题解答第2页所以)2(,0,),(30010000nbREbRbn)()(/cos/)(cos000230000000RRRRRRERRRE（2）设球体待定电势为0，同理可得)()(/cos/)(cos000230000000RRRRRRERRRE当0RR时，由题意，金属球带电量Qddsin)cos2cos(d2000000000RERESnQRR)(40000R所以00004/)(RQ)(4/)(cos)/(4/cos00002300000RRRQRRRRERQRE3.均匀介质球的中心置一点电荷fQ，球的电容率为，球外为真空，试用分离变量法求空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。提示：空间各点的电势是点电荷fQ的电势RQf4/与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加，后者满足拉普拉斯方程。解：（一）分离变量法空间各点的电势是点电荷fQ的电势RQf4/与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加。设极化电荷产生的电势为，它满足拉普拉斯方程。在球坐标系中解的形式为：）（）（内cos1nnnnnnPRbRa）（）（外cos1nnnnnnPRdRc当R时，0外，0nc。当0R时，内为有限，0nb。所以）（内cosnnnnPRa，）（外cos1nnnnPRd由于球对称性，电势只与R有关，所以)1(,0nan)1(,0ndn0a内，Rd/0外所以空间各点电势可写成RQaf40内RQRdf40外当0RR时，由外内得：000/Rda电动力学习题解答第3页由nn外内0得：20002002044RdRQRQff，)11(400fQd则)11(4000RQaf所以）（内114400RQRQff）（外11440RQRQffRQf04（二）应用高斯定理在球外，RR0，由高斯定理得：fpfQQQQd总外sE0，（整个导体球的束缚电荷0pQ），所以rfRQeE204外，积分后得：RQdRRQdfRRf02044RE外外在球内，RR0，由介质中的高斯定理得：fQdsE内，所以rfRQeE24内，积分后得：RQRQRQddfffRRR0044400RERE外内内结果相同。4.均匀介质球（电容率为1）的中心置一自由电偶极子fp，球外充满了另一种介质（电容率为2），求空间各点的电势和极化电荷分布。解：以球心为原点，fp的方向为极轴方向建立球坐标系。空间各点的电势可分为三种电荷的贡献，即球心处自由电偶极子、极化电偶极子及球面上的极化面电荷三部分的贡献，其中电偶极子产生的总电势为314/RfRp。所以球内电势可写成：314/'RfiiRp；球外电势可写成：31oo4/'RfRp其中i'和o'为球面的极化面电荷激发的电势，满足拉普拉斯方程。由于对称性，i'和o'均与无关。考虑到0R时i'为有限值；R时0'o，故拉普拉斯方程的解为：)(cos0RRPRannnni）（)(cos01oRRPRbnnnn）（由此)(cos4/031RRPRaRnnnnfi）（Rp（1）)(cos4/0131oRRPRbRnnnnf）（）（Rp（2）电动力学习题解答第4页边界条件为：00oRRRRi（3）00o21RRRRiRR（4）将（1）（2）代入（3）和（4），然后比较)cos（nP的系数，可得：)1(0,0nbann30211211)2(2/)(Rpaf)2(2/)(211213011fpRab于是得到所求的解为：)()2(2)(4)2(2cos)(40302112131302112131RRRRRRpRffffiRpRpRp)()2(43)2(2)(4)2(2cos)(403213211213122112131oRRRRRRpRfffffRpRpRpRp在均匀介质内部，只在自由电荷不为零的地方，极化电荷才不为零，所以在球体内部，只有球心处存在极化电荷。fp)1/()1(][])[(101010101DDEP所以fppp)1/(10在两介质交界面上，极化电荷面密度为o020121)()()(EeEepperirrp00o0201)()(RRiRR由于00o21RRiRR，所以cos)2(2)(3)(30211210o00RpRRfRip5.空心导体球壳的内外半径为1R和2R，球中心置一偶极子p球壳上带电Q，求空间各点的电势和电荷分布。解：以球心为原点，以p的方向为极轴方向建立球坐标系。在1RR及2RR两均匀区域，电势满足拉普拉斯方程。通解形式均为电动力学习题解答第5页）（）（cos1nnnnnnPRbRa当R时，电势趋于零，所以2RR时,电势可写为）（cos1onnnnPRb(1)当0R时，电势应趋于偶极子p激发的电势：20304/cos4/RpRfRp所以1RR时，电势可写为）（cos4cos20nnnniPRaRp(2)设球壳的电势为s,则snnnnRPRb）（cos12o2(3)snnnnRiPRaRp）（cos4/cos12101(4)由(3)得：20Rbs；)0(0nbn由(4)得：sa0；31014/Rpa；)1,0(0nan所以RRs/2o(5)310204/cos4/cosRpRRpsi(6)再由QRRRRsS2220o04dS得：204/RQs(7)将(7)代入(5)(6)得：RQ0o4/)(2RR)(414cos44cos312303102020RRQRRpRRQRpiRpRp在2RR处，电荷分布为：22o042RQRDRn在1RR处，电荷分布为：3104cos3'1RpRDRin6.在均匀外电场0E中置入一带均匀自由电荷f的绝缘介质球（电容率为），求空间各点的电势。解：以球心为原点，以0E的方向为极轴方向建立球坐标系。将空间各点的电势看作由两部分迭加而成，一部分1为绝缘介质球内的均匀自由电荷产生，另一部分2为外电电动力学习题解答第6页场0E及0E感应的极化电荷产生。前者可用高斯定理求得，后者满足拉普拉斯方程。由于对称性，2的形式为)(cos)()1(nnnnnnPRbRa对于1，当0RR时，由高斯定理得：23013/RRDf，203013/RREf当0RR时，由高斯定理得：3/2RDf，3/2REf1的球外部分：00020301o)3/(d)3/(RRRffdRRRRR6/3/3/20020030RRRRfff（1）1的球内部分：6/)3/(d20021RdRRREfRfRi（2）对于2，当R时，cos02RE，所以)(coscos010o2RRPRbREnnnn）（当0R时，2为有限，所以)(cos02RRPRannnni）（边界条件为：0RR时，2o2i，0022o0RiRRR。即：)(cos)(cos)1(cos)(cos)(coscos10)2(00000)1(000nnnnnnnnnnnnnnnnPRnaPRbnREPRaPRbRE比较)(cosnP的系数，解得：)2/(30001Ea)2/()(030001REb)1(0nbann所以)()2/(cos)(cos02030000o2RRRRERE(3))()2/(cos300002RRREi(4)由(1)(2)(3)(4)得:)(2cos36)()2(cos)(cos3)211(30000202030000030020RRRERRRRRERERRRfff电动力学习题解答第7页7.在一很大的电解槽中充满电导率为2的液体，使其中流着均匀的电流Jf0。今在液体中置入一个电导率为1的小球，求稳恒时电流分布和面电荷分布，讨论21及12两种情况的电流分布的特点。解：本题虽然不是静电问题，但当电流达到稳定后，由于电流密度Jf0与电场强度E0成正比（比例系数为电导率），所以E0也是稳定的。这种电场也是无旋场，其电势也满足拉普拉斯方程，因而可以用静电场的方法求解。(1)未放入小球时，电流密度Jf0是均匀的，由Jf002E可知，稳恒电场E0也是一个均匀场。因此在未放入小球时电解液中的电势0便是均匀电场E0的电势。放入小球后，以球心为原点，E0的方向为极轴方向，建立球坐标系。为方便起见，以坐标原点为电势零点。在稳恒电流条件下，0/t，所以：0J(1)由(1)式可推出稳恒电流条件下的边界条