对数及对数函数练习题及详细答案

1.log89log23的值为()A．1B．－1C.23D.32答案C2．(2013·陕西)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()A．logab·logcb＝logcaB．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logacD．loga(b＋c)＝logab＋logac答案B解析利用对数的换底公式进行验证，logab·logca＝logcblogca·logca＝logcb，故选B.3．(2013·课标全国Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则()A．cbaB．bcaC．acbD．abc答案D解析a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图像，由三个图像的相对位置关系，可知abc，故选D.4．log2sinπ12＋log2cosπ12的值为()A．－4B．4C．－2D．2答案C解析log2sinπ12＋log2cosπ12＝log2(sinπ12cosπ12)＝log2(12sinπ6)＝log214＝－2，故选C.5．当0x1时，下列不等式成立的是()A．(12)x＋1(12)1－xB．log(1＋x)(1－x)1C．01－x21D．log(1－x)(1＋x)0答案C解析方法一：考查答案A：∵0x1，∴x＋11－x.∴(12)x＋1(12)1－x，故A不正确；考查答案B：∵0x1，∴1＋x1,01－x1.∴log(1＋x)(1－x)0，故B不正确；考查答案C：∵0x1，∴0x21，∴01－x21，故C正确；考查答案D：∵01－x1,1＋x1.∴log(1－x)(1＋x)0.故D不正确．方法二：(特值法)取x＝12，验证立得答案C.6．若0a1，在区间(0,1)上函数f(x)＝loga(x＋1)是()A．增函数且f(x)0B．增函数且f(x)0C．减函数且f(x)0D．减函数且f(x)0答案D解析∵0a1时，y＝logau为减函数，又u＝x＋1增函数，∴f(x)为减函数；又0x1时，x＋11，又0a1，∴f(x)0.选D.7．函数的图像大致是()答案C解析∵＝x，x≥1，1x，0x1，∴选C.8．设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则()A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．b＞c＞a答案A解析∵a＝log3π＞log33＝1，b＝log23＜log22＝1，∴a＞b，又bc＝12log2312log32＝(log23)2＞1，∴b＞c，故a＞b＞c，选A.9．0＜a＜1，不等式1logax＞1的解是()A．x＞aB．a＜x＜1C．x＞1D．0＜x＜a答案B解析易得0＜logax＜1，∴a＜x＜1.10．若a1，b1，p＝logblogbalogba，则ap＝________.答案logba11．若loga(x＋1)loga(x－1)，则x∈________，a∈________.答案(1，＋∞)(1，＋∞)12．若loga(a2＋1)＜loga2a＜0，则实数a的取值范围是__________．答案(12，1)解析∵a2＋1＞1,loga(a2＋1)＜0，∴0＜a＜1.又loga2a＜0，∴2a＞1，∴a＞12.∴实数a的取值范围是(12，1)．13．若正整数m满足10m－1＜2512＜10m，则m＝__________.(lg2≈0.3010)答案155解析由10m－1＜2512＜10m，得m－1＜512lg2＜m.∴m－1＜154.12＜m.∴m＝155.14．若函数f(x)＝loga(x＋1)(a0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a＝________.答案2解析f(x)＝loga(x＋1)的定义域是[0,1]，∴0≤x≤1，则1≤x＋1≤2.当a1时，0＝loga1≤loga(x＋1)≤loga2＝1，∴a＝2；当0a1时，loga2≤loga(x＋1)≤loga1＝0，与值域是[0,1]矛盾．综上，a＝2.15.已知函数y＝log2(x2－ax－a)的值域为R，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－4]∪[0，＋∞)解析要使f(x)＝x2－ax－a的值能取遍一切正实数，应有Δ＝a2＋4a≥0，解之得a≥0或a≤－4，即a的取值范围为(－∞，－4]∪[0，＋∞)．16．设函数f(x)＝|lgx|，若0＜a＜b，且f(a)＞f(b)．证明：ab＜1.答案略解析由题设f(a)＞f(b)，即|lga|＞|lgb|.上式等价于(lga)2＞(lgb)2，即(lga＋lgb)(lga－lgb)＞0，lg(ab)lgab＞0，由已知b＞a＞0，得0＜ab＜1.∴lgab＜0，故lg(ab)＜0.∴ab＜1.17．若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a≠1)．(1)求f(log2x)的最小值及对应的x值；(2)x取何值时，f(log2x)f(1)，且log2f(x)f(1)．答案(1)x＝2时，最小值74(2)0x1解析(1)∵f(x)＝x2－x＋b，∴f(log2a)＝(log2a)2－log2a＋b.由已知(log2a)2－log2a＋b＝b，∴log2a(log2a－1)＝0.∵a≠1，∴log2a＝1，∴a＝2.又log2f(a)＝2，∴f(a)＝4.∴a2－a＋b＝4，∴b＝4－a2＋a＝2.故f(x)＝x2－x＋2.从而f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2＝(log2x－12)2＋74.∴当log2x＝12，即x＝2时，f(log2x)有最小值74.(2)由题意log2x2－log2x＋22，log2x2－x＋22⇔x2或0x1，－1x2⇔0x1.