材料力学(1)第三章

材料力学Ⅰ电子教案1第三章扭转§3-1概述§3-2薄壁圆筒的扭转§3-3传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图§3-4等直圆杆扭转时的应力·强度条件§3-5等直圆杆扭转时的变形·刚度条件§3-6等直圆杆扭转时的应变能§3-7等直非圆杆自由扭转时的应力和变形*§3-8开口和闭口薄壁截面杆自由扭转时的应力与变形材料力学Ⅰ电子教案2§3-1概述材料力学Ⅰ电子教案3E扳手材料力学Ⅰ电子教案4材料力学Ⅰ电子教案5材料力学Ⅰ电子教案6变形特点：Ⅰ.相邻横截面绕杆的轴线相对转动；Ⅱ.杆表面的纵向线变成螺旋线；Ⅲ.实际构件在工作时除发生扭转变形外，还伴随有弯曲或拉、压等变形。外力与变形：等截面直杆在与杆的轴线垂直平面内的外力偶Me作用下发生扭转。第三章扭转薄壁杆件也可以由其它外力引起扭转。MeMe材料力学Ⅰ电子教案7扭转角：任意两横截面间相对转过的角度。扭转的几个概念：材料力学Ⅰ电子教案8本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要研究对象，所研究的问题仅限于杆在线弹性范围内工作的情况。第三章扭转n主动轮从动轮叶片主轴Me材料力学Ⅰ电子教案9§3-2薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒——通常指的圆筒100r当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面上的内力偶矩——扭矩(torque)eMT第三章扭转mmTMelMemmMer0O材料力学Ⅰ电子教案10薄壁圆筒的扭转实验第三章扭转材料力学Ⅰ电子教案11一、薄壁圆筒横截面上各点处切应力的变化规律第三章扭转1、假设：(1)横截面保持为形状、大小均未改变的平面，即横截面如同刚性平面一样；(2)相邻横截面只是绕圆筒轴线相对转动，横截面之间的距离未变。MeADBCMejg材料力学Ⅰ电子教案122、横截面上的应力与内力的关系：由截面上的应力与微面积dA之乘积的合成对于截面形心o的矩等于截面上的扭矩可知，(1)横截面上的应力只能是切应力。且是与圆周相切的切应力，圆周上所有点处的切应力相同；(2)对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；(3)横截面上无正应力。第三章扭转Memmxr0tdA0rt材料力学Ⅰ电子教案13二、薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：TrAAdt由根据应力分布可知t02AT引进，上式亦可写作200πrAt20000π2)π2(drTrrTArTAATArd0t，于是有第三章扭转Memmxr0tdA0rt材料力学Ⅰ电子教案14三、剪切胡克定律(Hooke’slawinshear)(1)设上述薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了g，这种直角改变量称为切应变g。(2)该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动了j角，这种角位移称为相对扭转角j。(3)在认为切应力沿壁厚均匀分布的情况下，切应变也是不沿壁厚变化的，故有，此处r0为薄壁圆筒的平均半径。lr0jg第三章扭转MeADBCMejgl材料力学Ⅰ电子教案15薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力t不超过材料的剪切比例极限tp时，外力偶矩Me(数值上等于扭矩T)与相对扭转角j成线性正比例关系，从而可知t与g亦成线性正比关系，即：gtG这就是材料的剪切胡克定律，式中的比例系数G称为材料的切变模量(shearmodulus)。钢材的切变模量的约值为：G=80GPa第三章扭转Ttgjt02ATlr0jg材料力学Ⅰ电子教案16§3-3传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图一、传动轴的外力偶矩当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外力偶Me在t秒钟内所作功等于外力偶之矩Me乘以轮在t秒钟内的转角a。第三章扭转材料力学Ⅰ电子教案17外力偶Me每秒钟所作功，即该轮所传递的功率：3minrmNe3sradmNe3sradmNekw1060}{π2}{10}{10}{}{}{}{nMMtMPa若已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P，则作用于每一轮上的外力偶矩：minrkw3minr3kwmNe}{}{1055.9}{π26010}{}{nPnPM第三章扭转材料力学Ⅰ电子教案18主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同，而从动轮上的外力偶的转向与传动轴的转动方向相反。第三章扭转材料力学Ⅰ电子教案19二、扭矩及扭矩图传动轴横截面上的扭矩T可利用截面法来计算。第三章扭转TMeMeTT=MeMeMe11材料力学Ⅰ电子教案20扭矩正负号规定：可用右手螺旋定则来判断，即右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。第三章扭转T(+)T(-)TT材料力学Ⅰ电子教案21例题3-1一传动轴如图，转速；主动轮输入的功率P1=500kW，三个从动轮输出的功率分别为：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。试作轴的扭矩图。minr300n第三章扭转材料力学Ⅰ电子教案22解：1.计算作用在各轮上的外力偶矩mkN9.15mN109.15mN)3005001055.9(331MmkN78.4mN1078.4mN)3001501055.9(3332MMmkN37.6mN1037.6mN)3002001055.9(334M第三章扭转材料力学Ⅰ电子教案232.计算各段的扭矩BC段内：mkN78.421MTAD段内：mkN37.643MTCA段内：mkN9.56322MMT(负)第三章扭转注意这个扭矩是假定为负的材料力学Ⅰ电子教案243.作扭矩图由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其值为9.56kN·m。第三章扭转材料力学Ⅰ电子教案25例题3.2图示圆轴中，各轮上的转矩分别为mA＝4kN·m，mB＝10kN·m,mC＝6kN.m，试求1－1截面和2－2截面上的扭矩，并画扭矩图。AmBmCm1122轮轴轴承6KNm4KNm⊕材料力学Ⅰ电子教案26§3-4等直圆杆扭转时的应力·强度条件小变形条件下，等直圆杆扭转时横截面上只有切应力。下面是其公式的推导。问题提出：横截面应力大小、方向、分布均未知，仅知合成扭矩T.分析方法：从几何、物理、静力学三方面着手。一、横截面上的应力材料力学Ⅰ电子教案27实观表面变形情况推断横截面的变形情况(几何方面）横截面上应变变化规律横截面上应力变化规律应力-应变关系(物理方面)内力与应力的关系横截面上应力的计算公式(静力学方面)第三章扭转合理假设材料力学Ⅰ电子教案281.表面变形情况及假设(a)圆周线：相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但大小和形状未变，小变形情况下间距也未变；(b)纵向线：纵向线倾斜了一个角度g。(c)平面假设：等直圆杆受扭转时横截面如同刚性平面绕杆的轴线转动，小变形情况下相邻横截面的间距不变。(d)推论：类同薄壁圆筒，杆横截面上只有切应力且垂直于半径(一)、几何方面第三章扭转材料力学Ⅰ电子教案292.横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律：xEGGGρρddtanjgg即：xρddjg第三章扭转bbTTO1O2djGG'DD'aadxAEggEAO1DdjD'G'GO2d/2dxgg材料力学Ⅰ电子教案30xρddjg式中——相对扭转角j沿杆长的变化率，常用j'来表示，对于给定的横截面为常量。xddj结论：在横截面的同一半径的圆周上各点处的切应变g均相同；g与成正比，且发生在与半径垂直的平面内。第三章扭转bbTTO1O2djGG'DD'aadxAEgg材料力学Ⅰ电子教案31xGGddjgt(二)物理方面由剪切胡克定律tGg知第三章扭转结论：在横截面的同一半径为的圆周上，各点处的切应力t值均相同，其值与成正比，其方向垂直于半径。材料力学Ⅰ电子教案32ppITGITGρt(三)静力学方面其中：称为横截面的极惯性矩Ip，Ip是横截面的几何性质，单位m4。AAd2dTAAt从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力计算公式：pGITxddjAAId2p以代入上式得：第三章扭转TAxGAddd2j即xGGddjgt又材料力学Ⅰ电子教案33pppmaxWTrITITrtpITtTmaxtmaxtd式中Wp称为扭转截面系数，也是截面几何性质，其单位为m3。横截面周边上各点处(r)的最大切应力为：第三章扭转TmaxtmaxtdD材料力学Ⅰ电子教案34实心圆截面：32πdπ24203dd圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp的推导过程：第三章扭转16π2/3ppddIWAAId2p材料力学Ⅰ电子教案35空心圆截面：((DdDdDAIDdAaa其中44442232p132π32πdπ2d第三章扭转((4344pp116π16π2/aDDdDDIW材料力学Ⅰ电子教案36例题1：由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中(A)、(B)、(C)、(D)所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。d2dT1G2GO(A)(B)(C)(D)二者交界处的切应力外层在二者交界处的切应变不为零剪切胡克定律提示：在里、外层交界处二者具有相同的切应变正确答案是（C）材料力学Ⅰ电子教案37解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转过一角度。因此，在里、外层交界处二者具有相同的切应变。由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层（圆环截面）的剪切弹性模量（G1=2G2），所以内层在二者交界处的切应力一定大于外层在二者交界处的切应力。据此，答案（A）和（B）都是不正确的。在答案（D）中，外层在二者交界处的切应力等于零，这也是不正确的，因为外层在二者交界处的切应变不为零，根据剪切胡克定律，切应力也不可能等于零。根据以上分析，正确答案是（C）材料力学Ⅰ电子教案38通过前面分析可知，等值圆杆扭转时横截面上周边各点的切应力最大，为更全面的了解一点的应力情况，在此进一步讨论这些点处斜截面上的应力。1、单元体、切应力互等定理以横截面、径向截面以及与表面平行的面(切向截面)从受扭的薄壁圆筒或等直圆杆内任一点处截取一微小的正六面体——单元体如图所示二、斜截面上的应力第三章扭转（假定此微元体的前后面与表面平行）。材料力学Ⅰ电子教案39可得：由单元体的平衡条件∑Fx=0和∑Mz=0知单元体的上、下两个平面(即杆的径向截面上)必有大小相等、指向相反的一对力t'dxdz并组成其矩为(t'dxdz)dy力偶。第三章扭转((yzxxzyMzdddddd0tt由tt'材料力学Ⅰ电子教案40定理意义：单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线垂直的切应力t和t数值相等，且均指向(或背离)该两个面的交线——切应力互等定理。第三章扭转tt'切应力互等定理：公式适用范围：该定理具有普遍意义，也适用于横截面上有正应力的情况。纯剪切应力状态：指单元体在其两相对互相垂直的平面上只有切应力无正应力的状态。如薄壁圆筒和等直杆扭转时，每个点都处于纯剪切应力状态。材料力学Ⅰ电子教案41例题2：试根据切应力互等定理，判断图中所示的各单元体上的切应力是否正确。tttttttttttkN10kN20kN10kN20kN30kN50kN50kN30kN30材料力学Ⅰ电子教案42因单元体前、后两面没有无任何应力，可将其改用平面图表示，如图示。现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面ef(如图)上的应力。2、斜截面上的应力第三章扭转材料力学Ⅰ电子教案43分离体上作用力的平衡方程为((((0sinsindcoscosdd