圆形磁场一个有用结论

带电粒子在圆形匀强磁场中运动的一个有用结论在教学过程中发现有这样的问题：一个圆形匀强磁场区域,带电粒子从圆周上一点沿垂直于磁场方向射入磁场,若计算得粒子的轨道半径与圆形磁场区域半径相同,则这些粒子将沿什么方向射出磁场?如图1所示，一带电粒子以任意角从圆周上一点O沿垂直于磁场方向射入磁场，若粒子的轨道半径与圆形磁场区域半径相同时，轨道圆弧与磁场区域圆弧对应的两条半径线组成平行四边形（即四边形OO1AO2为平行四边形），带电粒子的速度方向总垂直于半径，因此带电粒子射出磁场时速度方向都平行于射入点磁场区域圆的切线（即平行于y轴），所以所有带电粒子都以平行于入射点磁场区域圆的切线的方向成平行线射出磁场。结论：圆形匀强磁场区域，带电粒子从圆周上一点沿垂直于磁场方向进入磁场，当带电粒子做圆周运动的轨道半径与圆形磁场区域半径相同时，所有带电粒子都以平行于入射点磁场区域圆的切线的方向成平行线射出磁场；相反，若带电粒子以平行的速度射入磁场，这些带电粒子在磁场中做圆周运动将会聚通过平行速度方向的圆形区域切线与圆的切点。例1如图2所示，真空中有（r，0）为圆心，半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，在y=r的虚线上方足够大的范围内，有方向水平向左的匀强电场，电场强度的大小为E，从O点向不同方向发射速率相同的质子，质子的运动轨迹均在纸面内，设质子在磁场中的偏转半径也为r，已知质子的电量为e，质量为m，不计重力及阻力的作用，求（1）质子射入磁场时的速度大小。（2）速度方向沿x轴正方向射入磁场的质子，到达y轴所需的时间。（3）速度方向与x轴正方向成30°角（如图中所示）射入磁场的质子，到达y轴的位置坐标。Bx图2E30°OyθAO1仅主文档。．OxvyvO2图1解：（1）质子射入磁场后做匀速圆周运动，有rmvvB2e①可得meBvr②（2）质子沿x轴正向射入磁场后经1/4圆弧后以速度v垂直于电场方向进入电场，在磁场中运动的时间eBmTt241③进入电场后做抛物线运动，沿电场方向运动r后到达y轴，因此有eEmrar22t2④时间为eEmreBmttt2221⑤（3）质子在磁场中转过120°角后从P点垂直电场线进入电场，如图3所示。P点距y轴的距离rrr5.130sinx1⑥因此可得质子从进入电场至到达y轴所需时间为eErmt32⑦质子在电场中沿y轴方向做匀速直线运动，因此有mEerBrvty3⑧质子到达y轴的位置坐标为mEerBrryry3'例2如图4所示的直角坐标系中,在直线x=-2L0到y轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场,其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向,x轴下方的电场方向沿y轴正方向.在电场左边界上A(-2L0,-L0)到C(-2L0,0)区域内,连续分布着电荷量为+q、质量为m的粒子.从某时刻起由A点到C点间的粒子,依次连续以相同的速度v0沿x轴正方向射入电场.若从A点射入的粒子恰好从y轴上的A(0,L0)，O1vBx30°OEy图3O2沿x轴正方向射出电场,其轨迹如图中虚线所示.不计粒子的重力及粒子间的相互作用.求：(1)求匀强电场的电场强度E;(2)求在AC间还有哪些位置的粒子,通过电场后也能沿x轴正方向运动?(3)若以直线x=2L0上的某点为圆心的圆形区域内,分布着垂直于xoy平面向里的匀强磁场,使沿x轴正方向射出电场的粒子,经磁场偏转后,都能通过直线x=2L0与圆形磁场边界的一个交点处,而便于被收集,则磁场区域的最小半径是多大?相应的磁感应强度B是多大?解:(1)从A点射出的粒子,沿x轴方向一直做匀速直线运动,沿y轴方向先匀加速,后匀减速到零,根据运动轨迹和对称性可得x轴方向t00vL2①y轴方向20)2(21taL②mqEa③联立①、②、③,解得0202qLmvE(2)粒子的运动具有周期性.设从距离C点y处射出的粒子通过电场后将沿x轴正方向射出,粒子第一次到达x轴用时为t1,则有tvx01④21121tmqEy⑤),3,2,1(2210nxnL⑥联立④、⑤、⑥,解得满足条件的粒子纵坐标为)3,2,1(102nLny(3)根据上式可知:当n=1时,粒子射出时纵坐标为y1=L0当n=2时,粒子射出时纵坐标为0241LyACx=-2L0ECA图4v0Ex=2L0xyv0O当n≥3时,沿x轴正方向射出的粒子分布在y1到y2之间.这些粒子从不同位置以同样的方向进入圆形磁场,最后会聚到一点,从图5中可知,粒子的运动半径与磁场圆的半径应相等.由y1到y2之间的距离为02145yLLy磁场的最小半径为0852LLR由RvmBqv200得0058qLmvBCAEv0OEx=2L0xyv0x=-2L0ACO1O2PQ图5