正方形的性质及判定

13.1.4正方形的性质和判定讲义·学生版page1of9正方形的性质及判定板块名称中考考试要求层次ABC正方形会识别正方形掌握正方形的概念、性质和判定，会用正方形的性质和判定解决简单问题会用正方形的知识解决有关问题1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：①边的性质：对边平行，四条边都相等．②角的性质：四个角都是直角．③对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角．④对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形．判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．1.掌握正方形的定义和性质，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系2.掌握正方形的判定方法并能在解题中选择恰当的方法。3.提高学生分析问题及解决问题的能力。4.通过分析概念之间的联系与区别，培养学生辨证唯物主义观点重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。难点：正方形知识的灵活应用例题精讲教学目标重、难点知识点睛中考要求正方形菱形矩形平行四边形13.1.4正方形的性质和判定讲义·学生版page2of9一、正方形的性质【铺垫】正方形有条对称轴．【例1】☆⑴已知正方形BDEF的边长是正方形ABCD的对角线，则:BDEFABCDSS正方形正方形⑵如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在CD上，点E在CB的延长线上，且20AEAFAF，，则BE的长为FEDCBA⑶如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若1AG，2BF，90GEF，则GF的长为．【例2】☆将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点12...nAAA，，，分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为A5A4A3A2A1【例3】☆如图，正方形ABCD的边长为2cm，以B为圆心，BC长为半径画弧交对角线BD于点E，连接CE，P是CE上任意一点，PMBC于M，PNBD于N，则PMPN的值为PNMEDCBA【铺垫】如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，求证：AECE．EDCBA【例4】如图，P为正方形ABCD对角线上一点，PEBC于E，PFCD于F.求证：APEF.13.1.4正方形的性质和判定讲义·学生版page3of9FEPDCBA【巩固】如图所示，正方形ABCD对角线AC与BD相交于O，MN∥AB，且分别与AOBO、交于MN、．试探讨BM与CN之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程．MNCDOBA【巩固】☆如图，已知P是正方形ABCD内的一点，且ABP为等边三角形，那么DCPPDCBA【例5】已知正方形ABCD，在AD、AC上分别取E、F两点，使2EDADFCAC∶∶，求证：BEF是等腰直角三角形．GEHDFCBA【例6】如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若50EAF，则CMECNF．NMFEDCBA【例7】☆如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作正方形ABE，CE与BD相交于点F，则AFD13.1.4正方形的性质和判定讲义·学生版page4of9FEDCBA【例8】如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DEAD，DFBD．连结BF分别交CD，CE于H，G．求证：GHD是等腰三角形．3142FEGHCDBA【巩固】如图，过正方形顶点A引AEBD∥，且BEBD．若BE与AD的延长线的交点为F，求证DFDE．GFEBDA【例9】如图所示，在正方形ABCD中，AK、AN是A内的两条射线，BKAK，BLAN，DMAK，DNAN，求证KLMN，KLMN.KNMLDCBA【巩固】如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接,BEDG，求证：BEDG.GCFEDBA【例10】（2007年三帆中学期中考试）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上的一点，F为BC延长线上的一点，CECF，30FDC，求BEF的度数.BDCAEF【巩固】☆已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CECG，连接BG并延长交DE于F．13.1.4正方形的性质和判定讲义·学生版page5of9（1）求证：BCGDCE≌；（2）将DCE△绕点D顺时针旋转90得到DAE，判断四边形EBGD是什么特殊四边形？并说明理由．【例11】若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，3BE，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BFAE，则BM的长为．【例12】☆如图1，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，HAEBFCGD，连接EG、FH，交点为O．⑴如图2，连接EFFGGHHE，，，，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；⑵将正方形ABCD沿线段EG、HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，1cmHAEBFCGD，则图3中阴影部分的面积为_________2cm．图3图1图2HDGCFEBAOHGFEDCBA【巩固】如图，正方形ABCD对角线相交于点O，点P、Q分别是BC、CD上的点，AQDP，求证：（1）OPOQ；（2）OPOQ.BODCAQP【例13】如图，正方形ABCD中，EF，是ABBC，边上两点，且EFAEFCDGEF，于G，求证：DGDAGFECDBA【巩固】如图，点MN，分别在正方形ABCD的边BCCD，上，已知MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半，求MAN的度数ABCDEFEG13.1.4正方形的性质和判定讲义·学生版page6of9NMDCBA【巩固】如图，设EF∥正方形ABCD的对角线AC，在DA延长线上取一点G，使AGAD，EG与DF交于H，求证：AH正方形的边长．HEGCDFBA【例14】☆把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．GCHFEDBA【例15】如图所示，在直角梯形ABCD中，ADBC∥，90ADC，l是AD的垂直平分线，交AD于点M，以腰AB为边作正方形ABFE，作EPl于点P，求证22EPADCD.lPMFEDCBA二、正方形的判定【例16】四边形ABCD的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形EFGH，求证：⑴四边形EFGH对角互补；⑵若四边形ABCD为平行四边形，则四边形EFGH为矩形．⑶四边形ABCD为长方形，则四边形EFGH为正方形．HEFGDCBA13.1.4正方形的性质和判定讲义·学生版page7of9【巩固】如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且ACE是等边三角形．⑴求证：四边形ABCD是菱形；⑵若2AEDEAD，求证：四边形ABCD是正方形．OEDCBA【巩固】已知：如图，在ABC中，ABAC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E．⑴求证：四边形ADCE为矩形；⑵当ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．MENCDBA【例17】☆如图，点M是矩形ABCD边AD的中点，2ABAD，点P是BC边上一动点，PEMC，PFBM，垂足分别为E、F，求点P运动到什么位置时，四边形PEMF为正方形．PMFEDCBA【例18】☆如图，ABCD是边长为1的正方形，EFGH是内接于ABCD的正方形，AEaAFb，，若23EFGHS，则ba=HGFEDCBA【例19】如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为27cm和211cm，则CDE的面积为13.1.4正方形的性质和判定讲义·学生版page8of9GFEDCBA【巩固】☆如图，在正方形ABCD中，点1PP，为正方形内的两点，且11PBPDPBABCBPPBP，，，则1BPPP1PDCBA【例20】如图，若在平行四边形ABCD各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为顶点组成一个正方形．PRQSNMFEDCBA【例21】☆已知：2PA，4PB，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小.PDCBA1.如图，正方形ABCD中，O是对角线ACBD，的交点，过点O作OEOF，分别交ABCD，于EF，，若43AECF，，则EF课后练习13.1.4正方形的性质和判定讲义·学生版page9of9OFEDCBA2.如图所示，ABCD是正方形，E为BF上的一点，四边形AEFC恰好是一个菱形，则EAB______.ABCDEF3.如果点E、F是正方形ABCD的对角线BD上两点，且BEDF，你能判断四边形AECF的形状吗？并阐明理由．ECDFBA4.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，求证：AMAD．MFEDCBA