高中数学一对一讲义——集合

晨光高中数学一对一讲义——《集合》熊老师一、本章复习建议：解不等式是高中数学的主要工具之一，建议将“不等式”拆开，把不等式的解法安排集合里.二、知识回顾：基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.集合间的交、并、补运算.元素与集合、集合与集合的关系；集合的文氏图、数轴法表示的应用.{|,}{|}{,}ABxxAxBABxxAxBAxUxAU交：且并：或补：且C主要性质和运算律包含关系：,,,,,;,;,.UAAAAUAUABBCACABAABBABAABBC等价关系：UABABAABBABUC集合的运算律：(注意结合“文氏图”)交换律：.;ABBAABBA结合律:)()();()(CBACBACBACBA分配律:.)()()();()()(CABACBACABACBA0-1律：,,,AAAUAAUAU等幂律：.,AAAAAA求补律：A∩UA=φA∪UA=UUU=φUφ=UU(UA)=A反演律：U(A∩B)=(UA)∪(UB)U(A∪B)=(UA)∩(UB)有限集的元素个数定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card(A)规定card(φ)=0.基本公式：（1、2、3、5了解；4要记住）(1)()()()()(2)()()()()()()()()cardABcardAcardBcardABcardABCcardAcardBcardCcardABcardBCcardCAcardABC(3)card(UA)=card(U)-card(A)（4）设有限集合A,card(A)=n,则(ⅰ)A的子集个数为n2；(ⅱ)A的真子集个数为12n；(ⅲ)A的非空子集个数为12n；(ⅳ)A的非空真子集个数为22n.（5）设有限集合A、B、C，card(A)=n，card(B)=m,mn,则(ⅰ)若ACB,则C的个数为mn2；(ⅱ)若ACB,则C的个数为12mn；(ⅲ)若ACB,则C的个数为12mn；(ⅳ)若ACB,则C的个数为22mn.不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,abcd，则acbd（若,abcd，则acbd），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0abcd，则acbd（若0,0abcd，则abcd）；3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0ab，则nnab或nnab；4．若0ab，ab，则11ab；若0ab，ab，则11ab。如对于实数cba,,中，给出下列命题：①22,bcacba则若；②babcac则若,22；③22,0bababa则若；④baba11,0则若；⑤baabba则若,0；⑥baba则若,0；⑦bcbacabac则若,0；⑧11,abab若，则0,0ab。其中正确的命题是______不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化；6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如（1）设0,10taa且，比较21loglog21ttaa和的大小（2）设2a，12paa，2422aaq，试比较qp,的大小（3）比较1+3logx与)10(2log2xxx且的大小利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。如（1）若21xy，则24xy的最小值是______（2）正数,xy满足21xy，则yx11的最小值为______(3)常用不等式有：（1）2222211abababab(根据目标不等式左右的运算结构选用)；（2）a、b、cR，222abcabbcca（当且仅当abc时，取等号）；（3）若0,0abm，则bbmaam（糖水的浓度问题）。如如果正数a、b满足3baab，则ab的取值范围是_________证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).常用的放缩技巧有：211111111(1)(1)1nnnnnnnnn11111121kkkkkkkkk简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()fx的符号变化规律，写出不等式的解集。如（1）解不等式2(1)(2)0xx。（2）不等式2(2)230xxx的解集是____（3）设函数()fx、()gx的定义域都是R，且()0fx的解集为{|12}xx，()0gx的解集为，则不等式()()0fxgx的解集为______（4）要使满足关于x的不等式0922axx（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式08603422xxxx和中的一个，则实数a的取值范围是______.分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如（1）解不等式25123xxx（2）关于x的不等式0bax的解集为),1(，则关于x的不等式02xbax的解集为绝对值不等式的解法：1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|21|2|432|xx（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；如解不等式|||1|3xx（4）两边平方：如若不等式|32||2|xxa对xR恒成立，则实数a的取值范围为______。含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如（1）若2log13a，则a的取值范围是__________（2）解不等式2()1axxaRax提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的不等式0bax的解集为)1,(，则不等式02baxx的解集为__________不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).恒成立问题若不等式Axf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上minfxA若不等式Bxf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上maxfxB如（1）设实数,xy满足22(1)1xy，当0xyc时，c的取值范围是______（2）不等式axx34对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围_____（3）若不等式)1(122xmx对满足2m的所有m都成立，则x的取值范围_____（4）若不等式nann1)1(2)1(对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_____（5）若不等式22210xmxm对01x的所有实数x都成立，求m的取值范围.2).能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式Axf成立,则等价于在区间D上maxfxA；若在区间D上存在实数x使不等式Bxf成立,则等价于在区间D上的minfxB.如已知不等式axx34在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围____3).恰成立问题若不等式Axf在区间D上恰成立,则等价于不等式Axf的解集为D；若不等式Bxf在区间D上恰成立,则等价于不等式Bxf的解集为D.三、考点典型分析【1】集合是元素的总体，所以认识集合的关键是先认清元素，特别是用描述法表示的集合，这一点尤为重要.遇到集合问题，首先要弄清：集合里的元素是什么及集合中元素满足的条件。集合的辨别:注意数集与点集的区别例1：已知|1Axyx，2|1Byyx，则BA.评注：虽然集合A、B元素的一般符号不同，但它们的本质是相同的，即都是数集，所以它们之间可进行运算，集合BA元素的一般符号用x或y都可以.例2：已知2(,)|1Axyyx，2|1Byyx，则BA.解析：集合A中的元素为点（x,y）,而集合B中的元素为y，表示一个数.它们之间可进行不能运算，所以BAφ例3：（1）已知A={(x，y)|x+y=1，x∈R}，B={(x，y)|2x-y=2，x∈R}，则A∩B=______；（2）已知A={y|y=x2-1，x∈R}，B={y|y=7-x2，x∈R}，则A∩B=________．【2】判断元素与集合、集合与集合关系题注意符号“”、“”与“”、“Þ”各自的用法．“”与“”只能用于元素与集合之间；符号“∈”用在元素和集合间表示从属关系；而“”与“Þ”是用在两个集合之间．符号“”用在两集合间表示包含关系如1{1，2}；3{1，2}；{1}{1，2}；{a}{a，b}等等．判断策略：1、具体化：对于离散的数集或点集等具有明显特征的集合，可以将集合中的元素一一列举出来，使之具体化，然后从中寻长解题方法．例4设集合1|24kMxxkZ，，1|42kNxxkZ，，则（）Ａ．MNＢ．MNÜＣ．MNÝＤ．MN2、图示法：数形结合思想可帮助我们理解集合的本质含义，如在进行有些集合的运算时，借助数轴示意图表示集合与集合的关系，既易于理解，又能提高解题效率；又如对于集合的交、并、补等运算，用Venn图描述，比单纯用数学语言要形象直观．例5已知M={x|x1}，N={x|xa}且MN，则（）（A）a≤1（B）a1（C）a≥1（D）a1【3】有关集合运算题:设全集为U，已知集合A、B则,|{AxxBA且}Bx,即求公共元素构成的集合,|{AxxBA或}Bx，即两集合中的元素并在一起，相同元素只写一次,|{UxxACU且}Ax.即全集中的元素去掉A中的元素。注意：有的集合问题比较抽象，解题时若借助韦恩图进行数形分析或利用数轴、图象，采用数形结合思想方法，往往可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.例6：集,{|URAxx≤2}，{|1}Bxx.(1)求AB及AB；(2)求()AB及()AB.例7：2U=2,3,23,|21|,2,aaAa5ACU,求实数a的值.例8已知全集U={x|x取不大于20的质数}，A、B是U的两个子集，且A(CUB)={3，5}，(CUA)B={7，19}，(CUA)(CUB)={2，17}，求集合A、B．元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，一般都能通过Venn图形象表达，再加上由于题设条件比较抽象，也应借助于Venn图寻找解题思路，这样做有助于直观地分析问题、解决问题．【4】