啤酒杯.ppt

倾倒的啤酒杯问题背景：一个春意盎然的午后，你和家人来到郊野公园的草地上，铺下一领凉席，打开带来的食品袋，斟满一杯啤酒后随手放到席子上，哎呦，啤酒杯倾倒了，金黄色的啤酒洒了一摊。又是一个夏日炎炎的傍晚，你和朋友来到碧沙起伏的海边，朋友刚要把从吧台买来的啤酒撴在沙滩上，你突然想起那次在草地上的教训，赶紧接过来一口气把啤酒喝得只剩下不多，才放心地放下，哎呀，啤酒又倒了.满杯也到，空杯也倒，怎么回事？问题：当啤酒杯中所装的啤酒高度为多少时，最容易放稳？倾倒的啤酒杯当啤酒杯中所装的啤酒高度为多少时，最容易放稳？如何理解问题？杯子的形状、材质？啤酒类型、密度？放在何处？有无外力作用？……“放稳”是何含义？倾倒的啤酒杯空杯的重心？重心有一个最低点啤酒杯容易放稳的位置倒酒过程中?定量分析——建立数学模型，描述重心变化规律，找出重心最低点的位置，讨论决定最低点的因素定性分析——啤酒杯的重心变化有何规律？重心太高！“自然”状态：平坦处能放稳；不平坦处“满杯”更易倾倒约在杯子中央稍下一点的位置先降后升，满杯几乎回到空杯重心处问题分析与模型假设s(x)1液面0最简单的啤酒杯~高度为1的圆柱体沿中轴线建立坐标轴x，倒酒时液面高度从x=0到x=1假设：啤酒和杯子材料均匀w2~空杯侧壁质量w3~空杯底面质量空杯重心由w2和w3决定,与x无关重心位置沿x轴变化，记作s(x)w1~啤酒(满杯)质量xxs1=x/2s2=1/2液面高度x时啤酒质量w1x,啤酒重心位置s1=x/2问题分析与模型假设s(x)1液面0xw1~啤酒(满杯)质量w2~空杯侧壁质量,w3~空杯底面质量空杯重心位置s2=1/2忽略空杯底面质量w3啤酒杯重心s(x)由啤酒重心和空杯重心合成.x啤酒杯重心模型一s=s(x)~液面高度x的啤酒杯重心啤酒质量w1x空杯质量w2啤酒重心s1空杯重心s2力矩平衡s1=x/2s2=1/2a=w2/w1s1=x/2s2=1/2s(x)1x啤酒杯重心模型一啤酒杯重心s(x)只与质量比a有关a=w2/w1w1~啤酒质量w2~空杯质量00.10.20.30.40.50.60.70.80.910.20.250.30.350.40.450.5a=0.1a=0.3a=0.5a=1xsa=0.3:x=0.35左右s最小,即重心最低.对于每个a,s(x)有一最小点.x=0.35图解法？啤酒杯重心模型一a=w2/w1“初等”方法：液面高度为x时啤酒杯重心处于最低位置.x由质量比a决定不等式(算术平均值≥几何平均值)啤酒杯重心模型一a=w2/w1微分法：求解s极值问题x00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.050.10.150.20.250.30.350.40.45axa液面高度为x时啤酒杯重心处于最低位置.x由质量比a决定结果分析半升啤酒w1=500g空杯质量w2取决于材料(纸杯、塑料杯、玻璃杯).一杯啤酒约剩1/3时重心最低，最不容易倾倒！设w2=150g(a=w2/w1)x00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.050.10.150.20.250.30.350.40.45axaa=0.3w2↑→a↑→x↑空杯越重,重心最低时的液面越高.重心最低位置x由比值a决定结果分析(a=w2/w1)=xs(x)x啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.意料之外?情理之中!直观解释x=0时s=s2=1/2x=sx↑→s1=x/2向上作用→s↑x=1时s=1/2结果分析啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.数学分析啤酒杯重心模型二s1=x/2s2=1/2s(x)1液面x0xs3=0考虑空杯底面质量w3底面厚度杯子高度力矩平衡底面重心s3=0s1=x/2s2=1/2a=w2/w1b=w3/w1b=0时与模型一相同.啤酒杯重心模型二a=w2/w1b=w3/w1=s(x)啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.与模型一a=0.3时x=0.3245比较设侧壁和底面的厚度和材质相同,侧壁高度h,底面直径d,h=2dw3/w2=d/4h=1/8x=0.3059b=w3/w1=(1/8)0.3=0.0375背景材料某天早晨，睁开眼，瞥了一眼窗外，发现天气不错，不过转念一想“哎，又要起床上课去了”，没办法，快速洗漱收拾之后，背着书包，出宿舍向教室出发，不过刚没走几步，发现不对，天怎么黑压压的呀，心想“没这么倒霉，不会下雨吧”，结果可想而知，真是应了那句老话，想太多会害死自己的，暴雨瞬间就来了，没办法为了少淋雨，不得不以最快地速度奔向教室，虽然速度不及刘翔，不过已经使出了平生最大力气，不过还是淋了个落汤鸡。问题：是不是跑的越快，雨淋得越少，还是说存在一个最佳冲刺速度？要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少？将人体简化成一个长方体，高a=1.5m(颈部以下)，宽b=0.5m，厚c=0.2m。设跑步距离d=1000m，跑步最大速度v=5m/s，雨速4m/s,降雨量w=2cm/h,记跑步速度为v.按以下步骤进行讨论。（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。数学问题（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图1.建立总淋雨量雨速度v及参数a,b,c,d,u,w,之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。计算时的总淋雨量。30,0acbv图1u数学问题（续）（3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图2，建立总淋雨量与速度v以及参数之间的关系，问速度v多大时，总淋雨量最少。图2acbvu,,,,,,wudcba数学问题（续）（4）以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对上题（3）作图（考虑的影响），并解释结果的实际意义。（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化？数学问题（续）