考研高等数学导数与微分(上)

1第二章导数与微分(1)2基本内容一、导数与微分的概念1导数定义：0()fx记为，0(),yfxx设函数在点的某邻域内有定义如果0000()()limlimxxfxxfxyxx存在,0()yfxx则称函数在点处可导，并称这个极限值00)im(l.xyxyfxx为在点处的导数0()fx即0limxyxxxfxxfx)()(lim000也记作0xxy，0ddxxxy或0d)(dxxxxf3其它形式.)()(lim)(0000hxfhxfxfh.)()(lim)(0000xxxfxfxfxx0xxyxyx0limxxfxxfx)()(lim000也记作，)(0xf0ddxxxy或0d)(dxxxxf()000[())]()l(imfxfx狗狗即狗0()fx0)00(()[]()li()mxuxffxuxxux0()fx4当时,为右导数0x0()fx000()()limxfxxfxx当时,为左导数0x0()fx000()()limxfxxfxx—2.左导数右导数()fx可导的充分必要条件：000-()=()=()=fxAfxfxA5如:0yxx在处是否可导？0yxx在处不可导，0x因为它在的邻域内无定义.0yxx又如:在处有定义,可导吗?00(0)(0)limlimxxyfxfxx0lim1,xxx0limxyx不存在，0limxxx0lim1,xxx0yxx在不可导.3.导函数的定义：若函数)(xf在区间I上每一点处都可导，则任意点处的导数，叫导函数.6导函数的定义0()(())limxffxxxfxx23()ln[1sin()]()arctan(),().fxxaxaxfa求例设函数:23()ln[1sin()]()arctan()faaaaaa0,()()l()imxafxfaaafx23ln[1sin()]()arctan()0limxaxaxaxxa23ln[1sin()]()arctan()limlimxaxaxaxaxxaxa23sin()limlimarctan()xaxaxaxxa231arctan().a解74.可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导，必不可导.不连续思考：00()yfxxx函数在处可导,能否得到它在的一个邻域内连续？2,:()0xxfxx当为有理数时如，当为无理数时0.x它在处可导0.x不能得到它在的一个邻域内连续0()(0)(0)limxfxffx2200lim0,xxxx(当为有理数)0()(0)(0)limxfxffx2000lim0,xxx(当为无理数)0x它在处可导，0x故它在处连续，80x它在处可导，0x故它在处连续，0x但它在之外任何点处不连续.注意：00xx函数在处可导,不能得到在的一个邻域内连续.2,:()0xxfxx当为有理数时如，当为无理数时90(3)(),fxx如果在处连续则00()limxxfxAxx0lim()0xxfx，0()0,fx0();fxA00()lim(1)kxxfxAkxx0lim()0xxfx，0()0,fx0()=fx0．0-100()1limkxxfxxxxx00-100()-()1limkxxfxfxAxxxx，0()=fx0.10)(C0)(x1x）（R)(sinxxcos)(cosxxsin)(xexe)(xaaaxln)(lnxx1)(logxaaxln1)(tanxx2sec)(cotxx2csc)(cscx)(secxxxtansecxxcotcsc)(arcsinx211)(arccosxx211x211)(arctanxx211)cotarc(xx二、求导的基本公式11三、求导法则()()()()uxvxuxvx[()()]()()()()uxvxuxvxuxvx2)(vvuvuvu2)1(vvv(其中)0v1.函数和、差、积、商的求导法则2.复合函数的求导法则xuxuyyddd.dddyyuxux或123.反函数的求导法则1(),()fxy1.xyyx即注意：使用求导法则的前提是“各自可导”.四、高阶导数1.定义：如果函数)(xf的导数)(xf在点x处可导，即))((xfxxfxxfx)()(lim0存在则称))((xf为函数)(xf在点x处的二阶导数.13记作二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.相应地，)(xf称为零阶导数，)(xf称为一阶导数.一般地，函数)(xf的n-1阶导数的导数称为函数)(xf的n阶导数..d)(d,dd,),(2222xxfxyyxf.d)(d,dd,),()()(nnnnnnxxfxyyxf2.高阶导数的计算：(C为常数)直接法和间接法14(3)乘积该公式称为莱布尼兹公式，它和二项式公式有类似的记忆11()......nnnknkknnnnnuvuCuvCuvCv()()1(1)()()()()......nnnknkknnnnnuvuvCuvCuvCuv3.高阶导数的基本公式()()xnxee，()()!nnxn，()(sin)sin(),2nnxx()(cos)cos(),2nnxx()()lnxnxnaaa，()1(1),(1)nnnnxx()()(1)(2)...(1),ananxaaaanx()()()0!().!()!nnknkkknnknuvCuvCknk其中15更一般地：()[sin()]sin()2nnaxbaaxbn()1(1).()nnnnanaxbaxb()[cos()]cos()2nnaxbaaxbn()1!()(1),()nnnnanaxbaxb16五、几类特殊函数的导数1.隐函数求导法2.幂指函数的求导法幂指函数的求导方法有两种：若幂指函数为，)0)(()()()(xuxuxfxv)(ln)()(lnxuxvxf)()()()(ln)()()(xuxuxvxuxvxfxf方法1：对数求导法，两端对x求导：])()()()(ln)([)()()(xuxuxvxuxvxuxfxv直接求导法17变形为,)()(ln)(xuxvexf然后用复合函数求导法求导.若幂指函数为，)0)(()()()(xuxuxfxv])()()()(ln)([)()()(xuxuxvxuxvxuxfxv)(ln)()(lnxuxvxf)()()()(ln)()()(xuxuxvxuxvxfxf幂指函数的求导方法有两种：方法1：对数求导法，两端对x求导：方法2：利用复合函数求导法183.由参数方程所确定的导数，)]([1xy,0)(,)(),(ttytx且都可导再设函数由复合函数及反函数的求导法则得txtyxydddddd,)()(中在方程tytx即)(tx设函数具有单调连续的),(1xt反函数22ddddddyytxxt33d=dyxdd,ddytxt44d=dyxdd,ddytxt19六、应用1.几何应用(1)几何意义：是y=f(x)在点)(0xf))(,(00xfx处切线的斜率.(2)切线、法线的方程：切线的方程：法线的方程：000()(),yyfxxx00001(),()0.()yyxxfxfx特别地，0()=0fx若，切线方程为0=()yfx；法线方程：0=xx0()=fx若，切线方程为0=xx0=().yfx法线方程：202.物理应用d,dsvt瞬时速度：瞬时加速度：22dd.ddvsatt七、奇偶函数、周期函数的导数1.可导的偶函数的导数为奇函数，(0)=0.f且即，()fx设为偶函数，(0)f且存在，(0)=0.f则2.可导的奇函数的导函数为偶函数.3.可导的周期函数的导函数仍为同周期函数.特别地，(+)=()fxTfx设，0()fx存在，00()=().fxTfx则21八、含绝对值的函数的可导性0lim(),xxgx1.设存在00()gxxxx且在处可导0lim()=0.xxgx特别情况：00xxx在处不可导，000()xxxxx在处可导.0()=0fx2.设，0()fx存在，0()fxx则在处可导0()0.fx22九、微分的概念1.定义：设函数)(xfy在某区间内有定义，0x及xx0在这个区间内，，)(xxAy其中A是不依赖于x的常数，)(x是比x高阶的无穷小，那么称函数)(xfy在点0x是可微的，自变量增量x的微分，记作0dxxy或.)(d0xxxf即xAyxx0d(微分的实质)而xA叫做函数)(xfy在点0x相应于微分yd叫做函数增量y的线性主部.如果)()(00xfxxfy可表示为：23由定义知:可微)(xoxAy)(dxoy2.可微的充要条件函数)(xf在点0x可微的充要条件是：函数)(xf在点0x处可导，且).(0xfA4.可导与可微的关系:可微可导连续有极限d()dyfxx3.微分的计算公式:24d()dyfxx1)基本初等函数的微分公式0)(dCxxxdcos)(sindxxxdsec)(tand2xxxxdtansec)(secdxxxd)(d1xxxdsin)cos(dxxxdcsc)(cotd2xxxxdcotcsc)(cscdxaaaxxdln)(dxaxxadln1)(logdxxxd11)(arcsind2xxxd11)(arctand2xeexxd)(dxxxd1)(lndxxxd11)(arccosd2xxxd11)cotarc(d25.微分运算公式与法则251)微分的四则法则：设u(x),v(x)均可微,则1)d()dduvuv(C为常数)2)微分法则xxfyd)(d2)d()dCuCu3)d()dduvvuuv[()]yfx则复合函数的微分为：dud()dyfuu2)复合函数的微分法则：结论：无论u是自变量还是中间变量，形式总是()yfx函数的微分uufyd)(d()()dfuxx这种特性称为一阶微分形式的不变性260000()()()limfxfxfx狗狗狗解典型例题分析题型一、已知导数求极限200001()()(),lim.xfxxxfxfxx求例设存在原式=2000()()limxfxxxfxx2()xx2()xx0022002()()()=lim()limxxfxxxfxxxxxx0=()1=fx0().fx00000()()()l()imfxfxfxfx狗一般的:若狗存在狗2720(sincos)(1)0(1)lim.(1)tanxxfxxffex若且存在,求解原式=220(sin