高考复习--简单的三角恒等变换

简单的三角恒等变换第六节返回考点一三角函数式的化简返回[典例](1)sin180°＋2α1＋cos2α·cos2αcos90°＋α等于()A．－sinαB．－cosαC．sinαD．cosα(2)化简：sin2α＋βsinα－2cos(α＋β)．[解](1)原式＝－sin2α·cos2α2cos2α－sinα＝－2sinαcosα·cos2α2cos2α－sinα＝cosα.(2)原式＝sin2α＋β－2sinαcosα＋βsinα＝sin[α＋α＋β]－2sinαcosα＋βsinα＝sinαcosα＋β＋cosαsinα＋β－2sinαcosα＋βsinα＝cosαsinα＋β－sinαcosα＋βsinα＝sin[α＋β－α]sinα＝sinβsinα.D返回[解题技法]1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则2．三角函数式化简的方法(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．返回[题组训练]1．化简：sin2α－2cos2αsinα－π4＝________.解析：原式＝2sinαcosα－2cos2α22sinα－cosα＝22cosα.答案：22cosα2．化简：2cos2α－12tanπ4－αcos2π4－α.解：原式＝cos2α2sinπ4－αcosπ4－α＝cos2αsinπ2－2α＝cos2αcos2α＝1.返回考点二三角函数式的求值返回考法(一)给角求值[典例]cos10°1＋3tan10°cos50°的值是________．[解析]原式＝cos10°＋3sin10°cos50°＝2sin10°＋30°cos50°＝2sin40°sin40°＝2.[答案]2返回[解题技法]三角函数给角求值问题的解题策略一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题，另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．返回考法(二)给值求值[典例]已知sinα＋π4＝210，α∈π2，π.求：(1)cosα的值；[解](1)由sinα＋π4＝210，得sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝210，化简得sinα＋cosα＝15，①又sin2α＋cos2α＝1，且α∈π2，π②由①②解得cosα＝－35.返回[典例]已知sinα＋π4＝210，α∈π2，π.(2)sin2α－π4的值．[解]∵α∈π2，π，cosα＝－35，∴sinα＝45，∴cos2α＝1－2sin2α＝－725，sin2α＝2sinαcosα＝－2425，∴sin2α－π4＝sin2αcosπ4－cos2αsinπ4＝－17250.返回[解题技法]三角函数给值求值问题的基本步骤(1)先化简所求式子或已知条件；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．返回考法(三)给值求角[典例]若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈π4，π，β∈π，3π2，则α＋β的值是()A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4返回[解析]∵α∈π4，π，∴2α∈π2，2π，∵sin2α＝55，∴2α∈π2，π.∴α∈π4，π2且cos2α＝－255.又∵sin(β－α)＝1010，β∈π，3π2，∴β－α∈π2，5π4，cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α＝－31010×－255－1010×55＝22，又∵α＋β∈5π4，2π，∴α＋β＝7π4.[答案]A返回[解题技法]三角函数给值求角问题的解题策略(1)根据已知条件，选取合适的三角函数求值．①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是0，π2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围是－π2，π2，选正弦函数较好．(2)注意讨论所求角的范围，及解题过程中角的范围．返回[题组训练]1．求值：cos20°cos35°1－sin20°＝()A．1B．2C.2D.3解析：原式＝cos20°cos35°|sin10°－cos10°|＝cos210°－sin210°cos35°cos10°－sin10°＝cos10°＋sin10°cos35°＝222cos10°＋22sin10°cos35°＝2cos45°－10°cos35°＝2cos35°cos35°＝2.答案：C返回2．已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝33，则cos2α＝()A．－53B．－59C.59D.53解析：法一：因为sinα＋cosα＝33，所以(sinα＋cosα)2＝13，即2sinαcosα＝－23，即sin2α＝－23.又因为α为第二象限角且sinα＋cosα＝330，所以sinα0，cosα0，cosα－sinα0，cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)0.所以cos2α＝－1－sin22α＝－1－－232＝－53.返回答案：A法二：由cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)，且α为第二象限角，得cosα－sinα0，因为sinα＋cosα＝33，所以(sinα＋cosα)2＝13＝1＋2sinαcosα，得2sinαcosα＝－23，从而(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝53，则cosα－sinα＝－153，所以cos2α＝33×－153＝－53.返回3．已知锐角α，β满足sinα＝55，cosβ＝31010，则α＋β等于()A.3π4B.π4或3π4C.π4D．2kπ＋π4(k∈Z)解析：由sinα＝55，cosβ＝31010，且α，β为锐角，可知cosα＝255，sinβ＝1010，故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝255×31010－55×1010＝22，又0α＋βπ，故α＋β＝π4.答案：C返回考点三三角恒等变换的综合应用返回[典例](2018·北京高考)已知函数f(x)＝sin2x＋3sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间－π3，m上的最大值为32，求m的最小值．[解](1)因为f(x)＝sin2x＋3sinxcosx＝12－12cos2x＋32sin2x＝sin2x－π6＋12，所以f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.(2)由(1)知f(x)＝sin2x－π6＋12.由题意知－π3≤x≤m，所以－5π6≤2x－π6≤2m－π6.要使f(x)在区间－π3，m上的最大值为32，即sin2x－π6在区间－π3，m上的最大值为1，所以2m－π6≥π2，即m≥π3.所以m的最小值为π3.返回[解题技法]三角恒等变换综合应用的解题思路(1)将f(x)化为asinx＋bcosx的形式；(2)构造f(x)＝a2＋b2aa2＋b2·sinx＋ba2＋b2·cosx；(3)和角公式逆用，得f(x)＝a2＋b2sin(x＋φ)(其中φ为辅助角)；(4)利用f(x)＝a2＋b2sin(x＋φ)研究三角函数的性质；(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．返回[题组训练]1．已知ω0，函数f(x)＝sinωxcosωx＋3cos2ωx－32的最小正周期为π，则下列结论正确的是()A．函数f(x)的图象关于直线x＝π3对称B．函数f(x)在区间π12，7π12上单调递增C．将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度可得函数g(x)＝cos2x的图象D．当x∈0，π2时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－32返回解析：因为f(x)＝sinωxcosωx＋3cos2ωx－32＝12sin2ωx＋32cos2ωx＝sin2ωx＋π3，所以T＝2π2ω＝π，所以ω＝1，所以f(x)＝sin2x＋π3.对于A，因为fπ3＝0，所以不正确；对于B，当x∈π12，7π12时，2x＋π3∈π2，3π2，所以函数f(x)在区间π12，7π12上单调递减，故不正确；对于C，将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度所得图象对应的函数y＝fx－π6＝sin2x－π6＋π3＝sin2x，所以不正确；对于D，当x∈0，π2时，2x＋π3∈π3，4π3，所以f(x)∈－32，1，故正确．故选D.答案：D返回2．已知函数f(x)＝4sinxcosx－π3－3.(1)求函数f(x)的单调区间；解：f(x)＝4sinxcosx－π3－3＝4sinx12cosx＋32sinx－3＝2sinxcosx＋23sin2x－3＝sin2x＋3(1－cos2x)－3＝sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3.令2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．令2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π2(k∈Z)，得kπ＋5π12≤x≤kπ＋11π12(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递减区间为kπ＋5π12，kπ＋11π12(k∈Z)．返回2．已知函数f(x)＝4sinxcosx－π3－3.(2)求函数f(x)图象的对称轴和对称中心．解：令2x－π3＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ2＋5π12(k∈Z)，所以函数f(x)的对称轴方程为x＝kπ2＋5π12(k∈Z)．令2x－π3＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ2＋π6(k∈Z)，所以函数f(x)的对称中心为kπ2＋π6，0(k∈Z)．