自动化车床管理的数学建模问题

题目：自动化车床管理的数学建模问题摘要本文讨论了自动化车床连续加工零件的工序定期检查和刀具更换的最优策略。我们根据原始数据利用EXCEL软件进行统计分析，得出刀具正常工作时长的函数，建立了以期望损失费用为目标函数的数学模型。问题一，我们假设所有的检查为等间距，以检查到的零件是否为次品来判定工序是否正常，若一直未出现故障则当加工到定期换刀时刻就换刀，利用概率论的相关知识，求出一个周期内的期望损失费用)(LE和期望零件个数)(TE，建立了以零件的期望损失费L为目标函数的随机优化模型，求解得检查间隔310t，换刀间隔1248t，每个零件的期望损失费用7.3693L。问题二，不管工序是否正常都有可能出现正品和次品，在问题一的基础上调整了检查间隔中的不合格品所带来的损失费用，同时加上了因误检停机而产生的费用，求出期望损失费用)(LE和期望零件个数)(TE，建立了以每个零件的期望损失费用L为目标函数的随机优化模型，求解得出检查间040t，换刀间隔1240t，每个零件的期望损失费用10.779L。问题三，在问题二的基础上将工序正常工作的时间长由开始的近似等于刀具无故障工作的时间长，改进为刀具无故障工作时间长的95%，其它的故障近似服从均匀分布，求出一个周期内的期望损失费用)(LE和零件个数)(TE，建立了以每个零件的期望损失费用L为目标的随机优化模型，求解得出检查间041t，换刀间隔1246t，期望损失费用7.9118L。关键词：自动化车床管理检查间隔换刀间隔1一、问题重述一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占90%，其他故障仅占10%。工序出现故障是完全随机的，假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同。工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。现积累有150次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如附件表。现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。已知生产工序的费用参数如下：故障时产出的零件损失费用f=300元/件；进行检查的费用t=20元/次；发现故障进行调节使恢复正常的平均费用d=3000元/次（包括刀具费）；未发现故障时更换一把新刀具的费用k=1200元/次。1）假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品，试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略。2）如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有1%为不合格品；而工序故障时产出的零件有25%为合格品，75%为不合格品。工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次。对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略。3）在（2）的情况，可否改进检查方式获得更高的效益。附：150次刀具故障记录（完成的零件数）3114609754637086663987715324745387406514584074204672074573377594885094865392187155096475653146135305785993195746477304815975896281323166014844403724774975912435871726688653626783823896737498364683845486435635267494874176495702145273085537437476196565253726076207263796052805867638516534925286075905907795766512495607239274496443256197343205997544335219711755825495493758022565575296785676566275027085315034526775245392123095736733984085924474634155942二、问题分析由题中信息可知，由于刀具损坏等原因会使工序出现故障,工序出现故障完全是随机的，即在生产任意一个零件时都有可能发生故障。工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障,如果检查过于频繁,那么工序就会经常处于正常状态而少生产出不合格品,然而,这将使检查费用过高;检查间隔过长,虽然可以减少检查费用,但由于不能及时发现故障而可能导致大量不合格品出现,必将提高每个零件的平均损失费用。根据题目信息，刀具加工一定件数的零件后将定期更新刀具，从而我们可以通过确定最佳检查间隔和换刀间隔来减少损失。2.1对问题一的分析根据题目要求，我们假定所有的检查都为等间隔检查，因为未发生故障时生产的零件都是合格品，所以当发现零件不合格时就认为工序发生了故障，从而停机检查并使其恢复正常。若一直未发生故障，则当加工到定期更换刀具时刻，不管是否发生了故障都进行换刀。计算平均费用可分为两种情况：（1）在换刀之前未发生故障，记平均损失费用为1L，（2）在换刀之前发生了故障，记平均损失费用为nL。然后以每个零件的期望损失费用为目标函数，运用MATLAB等软件进行编程求解使其最小。2.2对问题二的分析根据题目中所给的条件，我们还是假定所有的检查都为等间隔检查，因为未发生故障时次品率为1%，发生故障时的正品率为25%，所以不能单凭是否检查到次品来判定工序是否正常，在工序正常时有可能误判，这样就会产生误检停机费用，计算平均费用分为两种情况：（1）在换刀之前未发生故障，损失费用记为1p，（2）在换刀之前发生了故障，损失费用记为2p，然后以每个零件的期望损失费用为目标函数，运用MATLAB软件等进行编程求解使其最小。2.3对问题三的分析在实际情况下，在工序过程中，各个时间发生故障的概率是不同的，而第二问采取的等间隔检查就在一定程度上浪费了这个条件，而且在第二问中误检，漏检的概率比较大，因此我们针对这两点采取改进措施：非等距检查，连续检查法。3三、模型假设(1)检查时间和换刀时间忽略不计；(2)所有的故障都为刀具故障；(3)刀具故障服从正态分布：(4)每次只抽查一个零件检查；(5)s为整数，即0)mod(0,1tt(6)一道工序只需要一把刀具；四、变量说明f：每件不合格品的损失费用；t：每次检查的费用；d：发现故障进行调节使恢复正常的平均费用；k：未发现故障时更换一把新刀具的费用；0t：平均检查间隔；1t：定期换刀间隔；n：一个周期内的实际检查次数；h：工序正常而误认有故障停机产生的损失费用；L：每个零件的期望损失费用；)(xf：刀具寿命的概率密度函数；x：出现故障时已经生产的零件个数；)(LE：一个周期内的期望损失总费用；)(TE：期望零件个数；s：一个周期内的最多检查次数1L：在定期换刀之前未发生故障的损失费用nL：在定期换刀之前发生故障的损失费用4五、模型建立与求解5.1数据处理5.1.1刀具正常工作的时间长的概率密度函数题中附录给出了150次刀具故障的记录，我们利用了EXCEL软件对这些数据进行了相关的统计分析。我们采用了假设检验下的NPar检验来对其进行正态分布的检验，在显著性水平0.1时，发现刀具故障服从正态分布2,N，其中539.93,163.98。由此可知概率密度函数22212xfxe5图下面我们对正态分布进行检验：卡方检验6是一种用途很广的计数资料的假设检验方法。它属于非参数检验的范畴，主要是比较两个及两个以上样本率(构成比）以及两个分类变量的关联性分析。其根本思想就是在于比较理论频数和实际频数的吻合程度或拟合优度问题。利用2拟合检验法进行检验，我们用刀具寿命的最大值减去最小值，取70为区间长度，将其分成了12个区间，分别算它们的频数，其中由于最后两个区间的频数都为3，根据检验的原则，我们将它们合并为一个区间，再计算各数值在区间出现的概率，其中n=70,得到表1所示数据：表1：各区间内数据区间频数if2ifinpiinpf2130.5~200.5391.954.62200.5~270.57494.6910.45270.5~340.5101009.1010.99340.5~410.51214415.549.27410.5~480.51728921.6913.32480.5~550.52772924.6729.55550.5~620.53196124.6039.06620.5~690.51936120.0018.05690.5~760.51419613.5514.46760.5~830.54167.522.13830.5~900.5392.513.58900.5~975.5392.663.38在显著性水平0.05下，结果如下：21221158.861508.86iiifnnp，20.1914.684因为220.19，在可接受区间内，故服从正态分布。5.1.2刀具更换间隔7在定期更换刀具之前，我们采用了等间距检查的方式对零件进行检查，若出现故障则进行调节使其恢复正常，若没有检查出故障，则到了定期更换刀具时刻进行换刀，为了简化模型，我们假定在正常换刀之健康前进行的是整数次检查，即10mod,0tt。5.2模型一的建立与求解5.2.1模型一的建立如果在换刀之前未发生故障，则损失包括两部分：（1）检查费用st；（2）更换刀具费用k；则此种情况下总的损失为1Lstk；如果在换刀之前发生了故障，此时实际检查次数为1n，假设前n次检查生产的都是正品，个数为x，则次品的个数为01ntx，此时损失包括三部分：（1）检查费用为1nt；（2）发现故障进行调节使恢复正常的费用d；（3）损失费用01ntxf；则此种情况下总的损失费用为011nLntdntxf期望损失为：00010)1(1)()()(tssntntnndxxfLdxxfLLE期望零件个数：000110001sntstntnETstfxdxntfxdx每个零件的期望损失费用：ELLET即minELLET，要使期望损失费用达到最低，则等价于求最佳的01,tt，使L达到最小。5.2.2模型一的求解利用MATLAB对上述模型进行求解，可得到310t，1248t，7.3693L。即每生产31个零件检查一次，生产248个零件后进行定期换刀，每个零件的期望损失费用为7.3693。85.3模型二的建立与求解5.3.1模型二的建立如果在换刀之前未发生故障，则在换刀时刻已经生产的零件个数为1t，根据题中的信息，这些零件中的废品率为1%，则损失费用包括四部分：（1）检查费用：st；（2）误检停机费用：1%hs；（3）正常工作时的次品损失费用：11%tf；（4）更换刀具费用：k；则此种情况下总的损失费用为：111%1%Lstktfhs如果在换刀之前已经发生故障，假设第1n次检查出故障，则此时已经生产的零件个数为：01nt，前n次检查都是正常工作的，未发生故障时生产的零件个数为x0xnt，发生故障后生产的零件个数为：01ntx，根据题中信息，我们可知，正常工作时次品率为1%，发生故障时次品率为75%，则损失费用包括五部分：（1）检查费用：1nt；（2）误检停机费用：1%nh；（3）正常工作时的次品损失费用：1%xf；（4）发现故障进行调节使恢复正常的费用d；（5）发生故障后次品的损失费用：0175%ntxf则此种情况下总的损失费用为：0(1)1%1%[(1)]75%nLnthnxfdntxf期望损失为：00010)1(1)()()(tssntntnndxxfLdxxfLLE期望零件个数：000110001sntstntnETstfxdxntfxdx每个零件的期望损失费用：ELLET