曲线的参数方程-PPT课件

2020/4/7郑平正制作一.曲线的参数方程高二数学选修4-4高二数学选修4-4第二讲参数方程1.参数方程的概念1、参数方程的概念：如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时时机呢？提示：即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？？救援点投放点1、参数方程的概念：xyAo设飞机在点A将物资投出机舱，记物资投出机舱时为时刻0，在时刻t时物资的位置为M(x,y).则x表示物资的水平位移量，y表示物资距地面的高度。如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？在经过飞行航线（直线）且垂直于地平面的平面上建立平面直角坐标系，其中x轴为地平面与这个平面的交线，y轴经过点A.由于水平位移量x与高度y是两种不同的运动得到的，因此直接建立x,y所要满足的关系式并不容易。1、参数方程的概念：xy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿ox作初速度为100m/s的匀速直线运动；如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？（2）沿oy反方向作自由落体运动。xy500o0,y令10.10.ts得100,1010.xtxm代入得.1010所m以，飞行员在离救援点的水平距离约为时投放物资，可以使其准确落在指定位置txy解：物资出舱后，设在时刻，水平位移为，垂直高度为，所以2100,1500.2xtygt)2（g=9.8m/s1、参数方程的概念：如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的函数。二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。(),().xftygt（2）并且对于t的每一个允许值,由方程组(2)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。关于参数几点说明：参数是联系变数x,y的桥梁,1、参数方程的概念：一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数1.参数方程中参数可以有物理意义,几何意义,也可以没有明显意义。2.同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样3.在实际问题中要确定参数的取值范围例1:已知曲线C的参数方程是（1）判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系；（2）已知点M3(6,a)在曲线C上,求a的值。23,()21.xttyt为参数解：（1）把点M1(0,1)代入方程组，解得：t=0,因此M1在曲线C上。把点M2(5,4)代入方程组，方程组无解，因此M2不在曲线C上。（2）因为M3（6，a)在曲线C上。263,21.tat解得：t=2,a=9∴a=92、方程所表示的曲线上一点的坐标是（）sin(cosxy为参数）A、（2，7）；B、C、D、（1，0）12(,);3311(,);221、曲线与x轴的交点坐标是()A、（1，4）；B、C、D、21(43xttyt为参数）25(,0);16(1,3);25(,0);16BD训练1：已知曲线C的参数方程是点M(5,4)在该曲线上.（1）求常数a;（2）求曲线C的普通方程.212,().xttyat为参数,aR解:(1)由题意可知:1+2t=5at2=4解得:a=1t=2∴a=1(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为:x=1+2ty=t2由第一个方程得:12xt代入第二个方程得:21(),2xy2(1)4xy为所求.训练2：思考题：动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向的速度分别为5和12,运动开始时位于点P(1,2),求点M的轨迹参数方程。解：设动点M(x,y)运动时间为t，依题意，得tytx12251所以，点M的轨迹参数方程为tytx12251参数方程求法:（1）建立直角坐标系,设曲线上任一点P坐标为(x,y)（2）选取适当的参数（3）根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点P坐标与参数的函数式（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程小结：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数(),().xftygt（2）并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程（2）就叫做这条曲线的参数方程，系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。2.圆的参数方程yxorM(x,y)0M(,)tMMxyt如果在时刻，点转过的角度是，坐标是，那么＝，OMr设＝，那么由三角函数的定义有：cos,sinxyttrrcos{()sinxrttyrt即为参数Or这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程。()t其中参数有明确的物理意义质点作匀速圆周运动的时刻yxorM(x,y)0Mt考虑到＝，也可以取为参数，cos{()sinxryr于有为参数是Or这也是圆心在原点，半径为的圆的参数方程其中参数的几何意义是:00OMOOMOM绕点逆时针旋转到的位置时，转过的角度。0(,),,,PxyrPOP如果点的坐标为圆半径为sincosryrx①并且对于的每一个允许值,由方程组①所确定的点P(x,y),都在圆O上.5o思考1：圆心为原点，半径为r的圆的参数方程？rp0P(x,y)我们把方程组①叫做圆心在原点、半径为r的圆的参数方程，是参数.,,Pxy根据三角函数定义点的横坐标、纵坐标都是的函数即11cossinxryr又?,)()(),(:22221那么参数方程是什么呢为的圆的标准方程、半径为圆心为思考rbyaxrbaOv(a,b)oP(x,y)1),(111yxP(a,b)r1(,),OabrOr圆心为、半径为的圆可以看作由圆心为原点、半径为的圆平移得到cossinxarybrbyyaxx111111(,)(,),OPxyOPxy设圆上任意一点是圆上的点平移得到的,由平移公式有圆的参数方程的一般形式00(,)oxyr圆心在点半径为的圆的参数方程2220000cos{()s()()inxxyxxryyyrr对应的普通方程为为参数圆心为原点，半径为r的圆的参数方程：222cossinxryrxyr（为对应的普通方程为参数）由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值范围。sincosryrxx2+y2=r2222)()(rbyaxsincosrbyrax注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系。2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。例2如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。yoxPMQ(,),MxyxOP解：设点的坐标是，(2cos,2sin),P则点由中点坐标公式得：2cos62x2sin2ycos3,cos3()sinMxy所以，点的轨迹的参数方程是为参数sin例2如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。cos3()sinMxy点的轨迹的参数方程是为参数思考：这里定点Q在圆O外，你能判断这个轨迹表示什么曲线？223)1Mxy消去，点的轨迹方程是:(如果定点Q在圆O上，轨迹是什么曲线？如果定点Q在圆O内，轨迹又是什么？221)1(1)Mxyx点的轨迹方程是:(22/2)1Mxay点的轨迹方程是:(3.参数方程和普通方程的互化cos3,()sinxMy由参数方程为参数直接判断点的轨迹的曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通方程，则比较简单。由参数方程得：cos3,sinxy2222sincos(3)1xyM所以点的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。22(3)1xy3.参数方程和普通方程的互化：（1）普通方程化为参数方程需要引入参数如：①直线L的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程.22,tytx（t为参数）②在普通方程xy=1中，令x=tan,可以化为参数方程.cot,tanyx（为参数）（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程如：①参数方程.sin,cosrbyrax消去参数可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2..42,tytx②参数方程（t为参数）可得普通方程：y=2x-4通过代入消元法消去参数t,（x≥0）注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.31sincos1()2)(1sin212xtxtyyt例、把下列参数方程化为普通方程，并说明各表示什么曲线？（）为参数（为参数）11xt解:(1)由1tx有12,yt代入23(1)yxx与参数方程等价的普通方程是23yx得到(1,1)()这是以为端点的一条射线包括端点yxo(1,1)类型一：参数方程化为普通方程代入消元法31sincos1()2)(1sin212xtxtyyt例、把下列参数方程化为普通方程，并说明各表示什么曲线？（）为参数（为参数）2(2)sincos1sin2,xyxy解：把平方后减去得到sincos2sin(),4x又[2,2],x2,[2,2].xyx与参数方程等价的普通方程为：这是抛物线的一部分。xoy22类型一：参数方程化为普通方程三角变换消元法步骤：1、消掉参数(代入消元，三角变形，配方消元)2、写出定义域（x的范围）参数方程化为普通方程的步骤在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y前后的取值范围保持一致。注意：练习：参数方程)20()sin1(21|,2sin2cos|yx表示（）（A）双曲线的一支，这支过点（1，21）：（B）抛物线的一部分，这部分过（211，）；（C）双曲线的一支，这支过点（–1，21）；（D）抛物线的一部分，这部分过（–1，21）B分析一般思路是：化参数方程为普通方程求出范围、判断。解x2=2)2sin2(cos=1+sin=2y，普通方程是x2=2y，为抛物线。)42sin(2|2sin2cos|