高等数学第六章定积分应用综合测试题

第六章定积分应用测试题A卷一、填空题（20分）1、定积分2220aaxaxdx表示一平面图形的面积，这一图形的边界曲线方程是.2、设一放射性物质的质量为mmt，其衰变速度dmqtdt，则从时刻1t到2t此物质分解的质量用定积分表示为.3、抛物线232yxx与Ox轴所围成图形的面积.4、由极坐标方程所确定的曲线及,所围扇形的面积为.二、选择题（20分）1、曲线ln,ln,ln(0)yxyaybab及y轴所围图形的面积A，则A[]（A）lnlnlnbaxdx;（B）baexeedx;（C）lnlnbyaedy;（D）lnabeexdx.2、曲线xye下方与该曲线过原点的切线左方及y轴右方所围成的图形面积A[].（A）10xeexdx;（B）1lnlneyyydy;（C）1exeexdx;（D）10lnlnyyydy.3、曲线2ln(1)yx上102x一段弧长s[].（A）1222011()1dxx;（B）1222011xdxx;（C）1220211xdxx;（D）122201ln(1)xdx.4、矩形闸门宽a米，高h米，垂直放在水中，上沿与水面齐，则闸门压力F[].（A）0hahdh;（B）0aahdh;（C）012hahdh;（D）02hahdh.三、解答题1、（10分）求曲线23(4)yx与纵轴所围成图形的面积.2、（10分）求由圆22(5)16xy绕x轴旋转而成的环体的体积.3、（10分）试证曲线sin(02)yxx的弧长等于椭圆2222xy的周长.4、（10分）设半径为1的球正好有一半浸入水中，球的密度为1，求将球从水中取出需作多少功？5、（20分）设直线yax与抛物线2yx所围成图形的面积为1S，它们与直线1x所围成的图形面积为2S.并且1a.如图6.25.（1）试确定a的值，使12SS达到最小，并求出最小值；（2）求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.X2S1SA1yax2yxY图6.25第六章定积分应用测试题B卷一、填空题（20分）1、求曲线222,82xyxy所围图形面积A（上半平面部分），则A.2、曲线3cos,1cosrr所围图形面积A.3、求曲线sin,1cos,xttyt从0t到t一段弧长s.4、曲线0,,2,0xyaaxaxay与直线及所围成的图形绕Ox轴旋转一周所得旋转体的体积V.二、选择题（20分）1、曲线1,,2yyxxx所围图形的面积为A，则A[]（A）2l1()xdxx;（B）2l1()xdxx;（C）22ll1(2)(2)dyydyy;（D）22ll1(2)(2)dxxdxx.2、摆线sin,01cos,xattayat一拱与x轴所围成的图形绕x轴旋转的旋转体体积V[]（A）22201cosatdt;（B）22201cossinaatdatt;（C）22201cossinatdatt;（D）22201cosaatdt.3、星形线33cossinxatyat的全长s[]（A）2204sec3cossintattdt;（B）0224sec3cossintattdt;（C）202sec3cossintattdt;（D）022sec3cossintattdt.4、半径为a的半球形容器，每秒灌水b，水深0hha，则水面上升速度是[]（A）20hdydydh;（B）220hdayadydh;（C）20hdbydydh;（D）20(2)hdbayydydh.三、解答题1、（13分）由两条抛物线22,yxyx所围成的图形.（1）计算所围成图形的面积A；（2）将此图形绕x轴旋转，计算旋转体的体积.2、（15分）由曲线23yx，直线2x及x轴所围图形记作D，（1）求D绕y轴旋转所得旋转体的体积；（2）求D绕直线3x旋转所得旋转体的体积；（3）求以D为底且每个与x轴垂直的截面均为等边三角形的立体的体积.3、（12分）曲线24cos2r与x轴在第一象限内所围图形记作D，试在曲线24cos2r上求一点M，使直线OM把D分成面积相等的两部分.4、（10分）设某潜水艇的观察窗的形状为长、短半轴依次为,ab的半椭圆，短轴为其上沿，上沿与水面平行，且位于水下c处，试求观察窗所受的水压力.5.(10分)求曲线xxy22，0y，1x，3x所围成的平面图形的面积S，并求该平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积。综合测试题A卷答案一、填空题1、上半圆22yax，直线yax和直线2ax；2、21ttqtdt；3、323；4、212d.二、选择题1、C;2、A;3、B；4、A.三、解答题1、先求交点，令0x得264y，故128,8yy，及曲线与纵轴交点为0,8,0,8.又234xy，所以2883883(4)255Sxdyydy.2、因为2516,yx而44x，所求环体体积是由半圆2516,yx与半圆2516yx绕x轴旋转生成的旋转体体积之差，即4222224[(516)(516)]160Vxxdx.3、因为椭圆方程为2222xy，即2212xy，则其参数方程为2cos02sinxttyt，由椭圆关于,xy轴的对称性，所以周长2222210042sincos41sinsttdttdt.而曲线sin(02)yxx的弧长22222004141cossydxdx2xt22041sintdt.故12ss.4、将球提出水面的力等于露出水面部分的重量，其数值等于球露出水面部分的体积：32022(1)(),333hhzdzh其中h为球心向上移动距离（01h），故将球从水中取出所作的功为310221113()()33321212hWhdh.5、解（1）当01a时（如图一）122120aaSSSaxxdxxaxdx23322101()()2332323aaaxxxaxaa.令2102Sa，得12a，又120,2S则12S是极小值及最小值.其值为111122.3626222S当0a时，0122120aSSSaxxdxxaxdx31623aa，2211(1)222aSa0，S单调减少，故0a时，S取得最小值，此时13S.综合上述，当12a时，12S为所求最小值，最小值为226.(2)112442210211()()22xVxxdxxxdx15533120121121655630xxxx.综合测试题B卷答案一、填空题1、2222(8)2xxdx；2、223203112(1cos)(3cos)22dd；3、0atdt；4、22()aaadxx..二、选择题1、C;2、B;3、B；4、D三、解答题1、（1）3312120021333xAxxdxx.（2）25141003.2510xxVxxdx2、（1）D绕y轴旋转所得旋转体的体积12104243yVdy（2）D绕直线3x旋转所得旋转体的体积222023324Vxxdy（3）以D为底且与x轴垂直呈等边三角形的的立体的平行截面的面积为2241933sin3234Sxxxx因此平行截面的面积为Sx的立体体积24309723345Vxdx.3、设000,Mr为曲线上一点，则截下部分的曲边扇形面积0021000114cos2sin222SrddD的面积24400114cos2122Srdd.由条件112SS，即得01sin22，所以012.对应的04cos236r，故点M的极坐标为23,12.4、建立如图6.26所示的坐标系椭圆方程为22221xyab，则220022aabPgcxydxgcxaxdxa令sinxat，则22012sincos243Pgabcattdtgabca.其中为水的密度，g为重力加速度.5.解：所求面积21SSS，(图6.27)dxxxS2121)2(32)311()384()31(2132xx。32233222)31()2(xxdxxxSByAX图6.26o3xx12y)3,3(131S2S34)438()99(。221SSS。平面图形1S绕y轴旋转一周所得旋转体体积dyyydyyV)122()11(012011611)]212(34[])1(34212[01232yyy，平面图形2S绕y轴旋转一周所得旋转体体积dyyydyyV)122(27)11(27302302643)34332296(27])1(34212[2730232yyy，故所求旋转体的体积964361121VVV。解法2：（薄壳法）dxxxxdxxxxdxxfxV32221231)2(2)2(2)(2dxxxdxxx32232132)2(2)2(232342143]324[2]432[2xxxx。9)]316416()354481[(2)]4132()416316[(2图6.27