人版必修五“解三角形”精选难题和答案解析

WORD完美格式专业知识编辑整理人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.锐角△𝐴𝐵𝐶中，已知𝑎=√3，𝐴=𝜋3，则𝑏2+𝑐2+3𝑏𝑐的取值范围是(  )A.(5，15]B.(7，15]C.(7，11]D.(11，15]2.在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，且满足sin𝐴=2sin𝐵cos𝐶，则△𝐴𝐵𝐶的形状为(  )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形3.在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=60∘，𝑏=1，𝑆△𝐴𝐵𝐶=√3，则𝑎−2𝑏+𝑐sin𝐴−2sin𝐵+sin𝐶的值等于(  )A.2√393B.263√3C.83√3D.2√34.在△𝐴𝐵𝐶中，有正弦定理：𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=定值，这个定值就是△𝐴𝐵𝐶的外接圆的直径.如图2所示，△𝐷𝐸𝐹中，已知𝐷𝐸=𝐷𝐹，点M在直线EF上从左到右运动(点M不与E、F重合)，对于M的每一个位置，记△𝐷𝐸𝑀的外接圆面积与△𝐷𝑀𝐹的外接圆面积的比值为𝜆，那么(  )A.𝜆先变小再变大B.仅当M为线段EF的中点时，𝜆取得最大值C.𝜆先变大再变小D.𝜆是一个定值5.已知三角形ABC中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐶边上的中线长为3，当三角形ABC的面积最大时，AB的长为(  )A.2√5B.3√6C.2√6D.3√56.在△𝐴𝐵𝐶中，𝑎，𝑏，𝑐分别为内角𝐴，𝐵，𝐶所对的边，𝑏=𝑐，且满足sin𝐵sin𝐴=1−cos𝐵cos𝐴.若点O是△𝐴𝐵𝐶外一点，∠𝐴𝑂𝐵=𝜃(0𝜃𝜋)，𝑂𝐴=2𝑂𝐵=2，平面四边形OACB面积的最大值是(  )A.8+5√34B.4+5√34C.3D.4+5√327.在△𝐴𝐵𝐶中，𝑎=1，𝑏=𝑥，∠𝐴=30∘，则使△𝐴𝐵𝐶有两解的x的范围是(  )A.(1，2√33)B.(1，+∞)C.(2√33，2)D.(1，2)8.△𝐴𝐵𝐶的外接圆的圆心为O，半径为1，若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗，且|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|，则△𝐴𝐵𝐶的面积为(  )A.√3B.√32C.2√3D.19.在△𝐴𝐵𝐶中，若sin𝐵sin𝐶=cos2𝐴2，则△𝐴𝐵𝐶是(  )第2页，共19页A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形10.在△𝐴𝐵𝐶中，已知∠𝐶=60∘.𝑎，𝑏，𝑐分别为∠𝐴，∠𝐵，∠𝐶的对边，则𝑎𝑏+𝑐+𝑏𝑐+𝑎为(  )A.3−2√3B.1C.3−2√3或1D.3+2√311.设锐角△𝐴𝐵𝐶的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且𝑎=1，𝐵=2𝐴，则b的取值范围为(  )A.(√2，√3)B.(1，√3)C.(√2，2)D.(0，2)12.在△𝐴𝐵𝐶中，内角𝐴，𝐵，𝐶所对边的长分别为𝑎，𝑏，𝑐，且满足2𝑏cos𝐵=𝑎cos𝐶+𝑐cos𝐴，若𝑏=√3，则𝑎+𝑐的最大值为(  )A.2√3B.3C.32D.9二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）13.设△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别为𝑎，𝑏，𝑐且𝑎cos𝐶+12𝑐=𝑏，则角A的大小为______；若𝑎=1，则△𝐴𝐵𝐶的周长l的取值范围为______．14.在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴，∠𝐵，∠𝐶所对边的长分别为𝑎，𝑏，𝑐.已知𝑎+√2𝑐=2𝑏，sin𝐵=√2sin𝐶，则sin𝐶2=______．15.已知△𝐴𝐵𝐶中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若𝑎−𝑏=𝑐cos𝐵−𝑐cos𝐴，则△𝐴𝐵𝐶的形状是______．16.在△𝐴𝐵𝐶中，若𝑎2𝑏2=tan𝐴tan𝐵，则△𝐴𝐵𝐶的形状为______．17.在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，若(𝑎−𝑏)sin𝐵=𝑎sin𝐴−𝑐sin𝐶，且𝑎2+𝑏2−6(𝑎+𝑏)+18=0，则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=______．18.如果满足∠𝐴𝐵𝐶=60∘，𝐴𝐶=12，𝐵𝐶=𝑘的三角形恰有一个，那么k的取值范围是______．19.已知△𝐴𝐵𝐶的三个内角𝐴，𝐵，𝐶的对边依次为𝑎，𝑏，𝑐，外接圆半径为1，且满足tan𝐴tan𝐵=2𝑐−𝑏𝑏，则△𝐴𝐵𝐶面积的最大值为______．三、解答题（本大题共11小题，共132.0分）20.在锐角△𝐴𝐵𝐶中，𝑎，𝑏，𝑐是角𝐴，𝐵，𝐶的对边，且√3𝑎=2𝑐sin𝐴．(1)求角C的大小；(2)若𝑎=2，且△𝐴𝐵𝐶的面积为3√32，求c的值．21.在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐.已知𝑎sin𝐵=√3𝑏cos𝐴．(1)求角A的大小；(2)若𝑎=√7，𝑏=2，求△𝐴𝐵𝐶的面积．WORD完美格式专业知识编辑整理22.已知△𝐴𝐵𝐶中，内角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别为𝑎，𝑏，𝑐，且满足𝑎sin𝐴−𝑐sin𝐶=(𝑎−𝑏)sin𝐵．(1)求角C的大小；(2)若边长𝑐=√3，求△𝐴𝐵𝐶的周长最大值．23.已知函数𝑓(𝑥)=√3sin𝑥cos𝑥−cos2𝑥−12，𝑥∈𝑅．(1)求函数𝑓(𝑥)的最小值和最小正周期；(2)已知△𝐴𝐵𝐶内角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，且𝑐=3，𝑓(𝐶)=0，若向量𝑚⃗⃗⃗=(1，sin𝐴)与𝑛⃗⃗=(2，sin𝐵)共线，求𝑎，𝑏的值．24.已知△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵𝐶，𝑎=cos𝐵，𝑏=cos𝐴，𝑐=sin𝐶(1)求△𝐴𝐵𝐶的外接圆半径和角C的值；(2)求𝑎+𝑏+𝑐的取值范围．25.△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别是𝑎，𝑏，𝑐且满足(2𝑎−𝑐)cos𝐵=𝑏cos𝐶，(1)求角B的大小；(2)若△𝐴𝐵𝐶的面积为为3√34且𝑏=√3，求𝑎+𝑐的值．第4页，共19页26.已知𝑎，𝑏，𝑐分别为△𝐴𝐵𝐶的三个内角𝐴，𝐵，𝐶的对边，𝑎=2且(2+𝑏)(sin𝐴−sin𝐵)=(𝑐−𝑏)sin𝐶(1)求角A的大小；(2)求△𝐴𝐵𝐶的面积的最大值．27.已知函数𝑓(𝑥)=2cos2𝑥+2√3sin𝑥cos𝑥(𝑥∈𝑅)．(Ⅰ)当𝑥∈[0，𝜋]时，求函数𝑓(𝑥)的单调递增区间；(Ⅱ)若方程𝑓(𝑥)−𝑡=1在𝑥∈[0，𝜋2]内恒有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围．28.已知A、B、C是△𝐴𝐵𝐶的三个内角，向量𝑚⃗⃗⃗=(cos𝐴+1，√3)，𝑛⃗⃗=(sin𝐴，1)，且𝑚⃗⃗⃗//𝑛⃗⃗；(1)求角A；(2)若1+sin2𝐵cos 2𝐵−sin 2𝐵=−3，求tan𝐶．29.在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别是𝑎，𝑏，𝑐，已知sin𝐶+cos𝐶=1−sin𝐶2(1)求sin𝐶的值(2)若𝑎2+𝑏2=4(𝑎+𝑏)−8，求边c的值．WORD完美格式专业知识编辑整理30.在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别为𝑎，𝑏，𝑐，且满足：(𝑎+𝑐)(sin𝐴−sin𝐶)=sin𝐵(𝑎−𝑏)(𝐼)求角C的大小；(𝐼𝐼)若𝑐=2，求𝑎+𝑏的取值范围．第6页，共19页答案和解析【答案】1.D2.A3.A4.D5.A6.A7.D8.B9.B10.B11.A12.A13.60∘；(2，3]14.√2415.等腰三角形或直角三角形16.等腰三角形或直角三角形17.−27218.0𝑘≤12或𝑘=8√319.3√3420.解：(1)△𝐴𝐵𝐶是锐角，𝑎，𝑏，𝑐是角𝐴，𝐵，𝐶的对边，且√3𝑎=2𝑐sin𝐴．由正弦定理得：√3sin𝐴=2sin𝐶⋅sin𝐴∵△𝐴𝐵𝐶是锐角，∴sin𝐶=√32，故𝐶=𝜋3；(2)𝑎=2，且△𝐴𝐵𝐶的面积为3√32，根据△𝐴𝐵𝐶的面积𝑆=12𝑎𝑐sin𝐵=12×2×𝑏×sin𝜋3=3√32解得：𝑏=3．由余弦定理得𝑐2=𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏cos𝐶=4+9−2×3=7∴𝑐=√7．故得c的值为√7．21.(本题满分为14分)解：(1)∵𝑎sin𝐵=√3𝑏cos𝐴，由正弦定理得sin𝐴sin𝐵=√3sin𝐵cos𝐴.…(3分)又sin𝐵≠0，从而tan𝐴=√3.…(5分)由于0𝐴𝜋，所以𝐴=𝜋3.…(7分)(2)解法一：由余弦定理𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐cos𝐴，而𝑎=√7，𝑏=2，𝐴=𝜋3，…(9分)得7=4+𝑐2−2𝑐=13，即𝑐2−2𝑐−3=0．因为𝑐0，所以𝑐=3.…(11分)故△𝐴𝐵𝐶的面积为𝑆=12𝑏𝑐sin𝐴=3√32.…(14分)解法二：由正弦定理，得√7sin𝜋3=2sin𝐵，从而sin𝐵=√217，…(9分)又由𝑎𝑏知𝐴𝐵，WORD完美格式专业知识编辑整理所以cos𝐵=2√77．故sin𝐶=sin(𝐴+𝐵)=sin(𝐵+𝜋3)=sin𝐵cos𝜋3+cos𝐵sin𝜋3=3√2114.…(12分)所以△𝐴𝐵𝐶的面积为12𝑏𝑐sin𝐴=3√32.…(14分)22.解：(1)由已知，根据正弦定理，𝑎sin𝐴−𝑐sin𝐶=(𝑎−𝑏)sin𝐵得，𝑎2−𝑐2=(𝑎−𝑏)𝑏，即𝑎2+𝑏2−𝑐2=𝑎𝑏．由余弦定理得cos𝐶=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏=12．又𝐶∈(0，𝜋)．所以𝐶=𝜋3．(2)∵𝐶=𝜋3，𝑐=√3，𝐴+𝐵=2𝜋3，∴𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=√3√32=2，可得：𝑎=2sin𝐴，𝑏=2sin𝐵=2sin(2𝜋3−𝐴)，∴𝑎+𝑏+𝑐=√3+2sin𝐴+2sin(2𝜋3−𝐴)=√3+2sin𝐴+2(√32cos𝐴+12sin𝐴)=2√3sin(𝐴+𝜋6)+√3∵由0𝐴2𝜋3可知，𝜋6𝐴+𝜋65𝜋6，可得：12sin(𝐴+𝜋6)≤1．∴𝑎+𝑏+𝑐的取值范围(2√3，3√3].23.解：(1)由于函数𝑓(𝑥)=√3sin𝑥cos𝑥−cos2𝑥−12=√32sin2𝑥−1+cos2𝑥2−12=sin(2𝑥−𝜋6)−1，故函数的最小值为−2，最小正周期为2𝜋2=𝜋．(2)△𝐴𝐵𝐶中，由于𝑓(𝐶)=sin(2𝐶−𝜋6)−1=0，可得2𝐶−𝜋6=𝜋2，∴𝐶=𝜋3．再由向量𝑚⃗⃗⃗=(1，sin𝐴)与𝑛⃗⃗=(2，sin𝐵)共线可得sin𝐵−2sin𝐴=0．再结合正弦定理可得𝑏=2𝑎，且𝐵=2𝜋3−𝐴．故有sin(2𝜋3−𝐴)=2sin𝐴，化简可得tan𝐴=√33，∴𝐴=𝜋6，∴𝐵=𝜋2．再由𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶可得𝑎sin𝜋6=𝑏sin𝜋2=3sin𝜋3，解得𝑎=√3，𝑏=2√3．24.解：(1)由正弦定理𝑐sin𝐶=2𝑅=1，∴𝑅=12．再由𝑎=cos𝐵，𝑏=cos𝐴，可得cos𝐵sin𝐴=cos𝐴sin𝐵，故有sin𝐴cos𝐴=sin𝐵cos𝐵，即sin2�