2015年港澳台联考数学模拟题

178994464732015年中华人民共和国普通高等学校联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试模拟试题数学这份试卷共三个大题，共27小题.满分150分.考试时间为120分钟.考生注意：这份试卷共三个大题，所有考生做一、二题，在第三题（21、22、23）题中任选两题；理工考生做24、25题；文史考生做26、27题。第一部分选择题(共50分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1,2}A,则满足{1,2,3}AB的集合B的个数是（）.A．1B．3C．4D．82．如果复数iaaaaz)23(222为纯虚数，那么实数a的值为（）.A．－2B．1C．2D．1或－23．计算机是将信息转换成二进制进行处理的.二进制即“逢二进一”，如2(1101)表示二进制数，将它转换成十进制形式是321012120212=13，那么将二进制数211611111）（个转换成十进制形式是（）.A．1722B．1622C．1621D．15214．若函数32()22fxxxx的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)=－2f(1.5)=0.625f(1.25)=－0.984f(1.375)=－0.260f(1.4375)=0.162f(1.40625)=－0.054那么方程32220xxx的一个近似根（精确到0.1）为（）.A．1.2B．1.3C．1.4D．1.55．下图是2007年在广州举行的全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）.A．84，4.84B．84，1.6C．85，1.6D．85，426．定义运算ab=)()(babbaa，则函数f(x)=12x的图象是（）.7．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：191622yx，点A、B是它的两个焦点，当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发（不过椭圆的顶点），经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的最短路程是（）.A．20B．18C．16D．以上均有可能8．已知函数①xxfln3)(；②xexfcos3)(；③xexf3)(；④xxfcos3)(.其中对于)(xf定义域内的任意一个自变量1x都存在唯一个自变量)()(,212xfxfx使=3成立的函数是（）.A．③B．②③C．①②④D．④9．设函数()log()(0,1)afxxbaa的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则ab等于A．6B．5C．4D．310．设向量,,abc满足0abc，且,1,2abab，则2cA．1B．2C．4D．511．设221:200,:02xpxxqx，则p是q的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．一次函数()gx满足()98ggxx,则()gx是().A.()98gxxB.()32gxxxyo1xyo1xyo1xyo1ABC3C.()34gxxD.()32gxx或()34gxx第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，满分32分.13．已知向量(4,0),(2,2),ABAC则BCAC与的夹角的大小为.14．通过点A(1,-1,2)和点B(-1,0,2)的直线方程为.15．下图的矩形，长为5，宽为2.在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗.则我们可以估计出阴影部分的面积为.16．已知点P(x,y)满足条件3),(02,,0xzkkyxxyx若为常数y的最大值为8，则k.17．曲线的极坐标方程sin4化为直角坐标方程为.18．函数46yxx的最小值为.19．如图，⊙O的直径AB=6cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，若CPA30°，PC=。20．设f(x)=x8+3,求f(x)除以x+1所得的余数为。三、解答题：在第三题（21、22、23）题中任选两题；理工考生做24、25题；文史考生做26、27题。解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．21．（本小题满分14分）将A、B两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：（I）共有多少种不同的结果？（II）两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种？(III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率为多少？AOBPC422．（本小题满分14分）在△ABC中，已知角A为锐角，且AAAAAAAf222cos)2(sin)22(sin)22sin()2sin(]1)2[cos()(.（I）求f(A)的最大值；（II）若2,1)(,127BCAfBA，求△ABC的三个内角和AC边的长.23．（本小题满分14分）如图，P—ABCD是正四棱锥，1111ABCDABCD是正方体，其中2,6ABPA新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（1）求证：11PABD；（2）求平面PAD与平面11BDDB所成的锐二面角的余弦值；（3）求1B到平面PAD的距离新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆524．（本小题满分15分，文史类考生不做）已知圆C：224xy.（1）直线l过点1,2P，且与圆C交于A、B两点，若||23AB，求直线l的方程;（2）过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量OQOMON，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.25．（本小题满分15分，文史类考生不做）已知数列{an}的前n项为和Sn，点),(nSnn在直线21121xy上.数列{bn}满足11),(023*12bNnbbbnnn且，前9项和为153.（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）设)12)(112(3nnnbac，数列{cn}的前n和为Tn，求使不等式57kTn对一切*Nn都成立的最大正整数k的值.626．（本小题满分15分，理工类考生不做）已知圆C：224xy.（1）直线l过点1,2P，且与圆C交于A、B两点，若||23AB，求直线l的方程;27．（本小题满分15分，理工类考生不做）已知数列{an}的前n项为和Sn，点),(nSnn在直线21121xy上.数列{bn}满足11),(023*12bNnbbbnnn且，前9项和为153.求数列{an}、{bn}的通项公式；7参考答案一、选择题1.解析：{1,2}A，{1,2,3}AB，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合{1,2}A的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有224个。故选择答案C。2．解析：0230222aaaa即2a，故选择答案A3．解析：15141016216(1111)1212121221，答案：C4.解析：f(1.40625)=－0.0540，f(1.4375)=0.1620且都接近0，由二分法可知其根近似于1.4。答案：C5．解析：5个有效分为84，84，86，84，87；其平均数为85。利用方差公式可得方差为1.6．答案：C6.解析：信息迁移题是近几年来出现的一种新题型，主要考查学生的阅读理解能力．本题综合考查了分段函数的概念、函数的性质、函数图像，以及数学阅读理解能力和信息迁移能力．当x＜0时,2x＜1,f(x)=2x；x＞0时,2x＞1,f(x)=1．答案：A7．解析：由椭圆定义可知小球经过路程为4a，所以最短路程为16，答案：C8．解析：②④是周期函数不唯一，排除；①式当1x=1时，ln10不存在2x使得成立，排除；答案：A二、填空题：13．解析：．(2,2),cos,0,,90ACBCBCACBCACBCACBC14．解析：02112-1-xzy或2121ztytx题号123456789101112CDAB答案CACCCACACDAD815．解析：利用几何概型52325300138。16．解析：画图，联立方程20yxxyk得33kxky，代入3()8,633kkk17．解析：由24sin，得22222,(2)4xyyxy18．解析：4y2102xx时，；46y2x时，；6y2102xx时，；所以函数的最小值为219．解析：连接OC，PC是⊙O的切线，∴∠OCP=Rt∠．∵CPA30°，OC=2AB=3，∴03tan30PC，即PC=33．20.解析：由余数定理f(-1)=(-1)8+3=4.4三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．21.14分解:（I）共有3666种结果（II）若用(a,b)来表示两枚骰子向上的点数，则点数之和是3的倍数的结果有:（1,2），（2,1），（1,5），（5,1），（2,4），（4,2），（3,3），（4,5），（5,4），（3,6），（6,3），（6,6）共12种（III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率是：P＝31361222、14分解：（I）AAAAAAAAAAAAf22222coscos2cos2sincos2cos2sin2cos2cos2sin)12(cos)(.21)42sin(22)12cos2(sin21cos2sin212AAAAA∵角A为锐角，.45424,20AA)(,242AfA时当取值最大值，其最大值为.212分（II）由.22)42sin(,121)42sin(221)(AAAf得9.125.3,127.4,4342CBBAAA又分在△ABC中，由正弦定理得：.6sinsin.sinsinABBCACBACABC分23、14分解法一：以11BA为x轴，11DA为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系（1）设E是BD的中点，P—ABCD是正四棱锥，∴ABCDPE又2,6ABPA，∴2PE∴)4,1,1(P∴11(2,2,0),(1,1,2)BDAP∴110BDAP即11PABD（2）设平面PAD的法向量是(,,)mxyz，(0,2,0),(1,1,2)ADAP∴02,0zxy取1z得(2,0,1)m，又平面11BDDB的法向量是(1,1,0)n∴10cos,5mnmnmn∴10cos5（3）1(2,0,2)BA∴1B到平面PAD的距离1655BAmdm解法二：（1）设AC与BD交点为O，连PO；∵P—ABCD是正四棱锥，∴PO⊥面ABCD，∴AO为PA在平面ABCD上的射影，又ABCD为正方形，∴AO⊥BD，由三垂线定理知PA⊥BD，而BD∥B1D1；∴11PABD（2）由题意知平面PAD与平面11BDDB所成的锐二面角为二面角A-PD-B；∵AO⊥面PBD，过O作OE垂直PD于E，连AE，则由三垂线定理知∠AEO为二面角A-PD-B的平面角；可以计算得，10cos5（