小波理论的新进展和发展趋势

小波理论的新进展和发展趋势计研111李宏涛1、引言传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生了。小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（MultiscaleAnalysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。小波理论是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到认可一样。幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的统一方法--多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（TenLecturesonWavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。与Fourier变换、视窗Fourier变换（Gabor变换）相比，具有良好的时频局部化特性，因而能有效的从信号中提取资讯，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（MultiscaleAnalysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，因而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。2、小波分析及其优、缺点与Fourier变换相比，小波变换是空间(时间)和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。数学家认为，小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、Fourier分析、样调分析、数值分析的完美结晶；信号和信息处理专家认为，小波分析是时间—尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果。信号分析的主要目的是寻找一种简单有效的信号变换方法，使信号所包含的重要信息能显现出来。小波分析属于信号时频分析的一种，在小波分析出现之前，傅立叶变换是信号处理领域应用最广泛、效果最好的一种分析手段傅立叶变换是时域到频域互相转化的工具，从物理意义上讲，傅立叶变换的实质是把这个波形分解成不同频率的正弦波的叠加和。正是傅立叶变换的这种重要的物理意义，决定了傅立叶变换在信号分析和信号处理中的独特地位。傅立叶变换用在两个方向上都无限伸展的正弦曲线波作为正交基函数，把周期函数展成傅立叶级数，把非周期函数展成傅立叶积分，利用傅立叶变换对函数作频谱分析，反映了整个信号的时间频谱特性，较好地揭示了平稳信号的特征。小波变换是一种新的变换分析方法，它继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随频率改变的时间一频率窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征，因此，小波变换在许多领域都得到了成功的应用，特别是小波变换的离散数字算法已被广泛用于许多问题的变换研究中。从此，小波变换越来越引进人们的重视，其应用领域来越来越广泛。3、小波理论的应用新进展事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图象处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。3.1小波分析用于信号与图象压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图象的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。图像经过小波变换后生成的小波图像的数据总量与原图像的数据量相等，即小波变换本身并不具有压缩功能。之所以将它用于图像压缩，是因为生成的小波图像具有与原图像不同的特性，表现在图像的能量主要集中于低频部分，而水平、垂直和对角线部分的能量则较少；水平、垂直和对角线部分表征了原图像在水平、垂直和对角线部分的边缘信息，具有明显的方向特性。低频部分可以称作亮度图像，水平、垂直和对角线部分可以称作细节图像。对所得的四个子图，根据人类的视觉生理和心理特点分别作不同策略的量化和编码处理。人眼对亮度图像部分的信息特别敏感，对这一部分的压缩应尽可能减少失真或者无失真，例如采用无失真DPCM编码；对细节图像可以采用压缩比较高的编码方案，例如矢量量化编码，DCT等。目前比较有效的小波变换压缩方法是Shapiro提出的小波零树编码方案。零树编码算法是目前公认的效率最高的小波系数处理算法，可以在相同的压缩倍数下得到最好的复现图像质量，而且是嵌入式编码，能非常精确地控制压缩倍数。这一点对于序列图像压缩是至关重要的，因为如果不能精确地控制压缩倍数，无论是网络传输还是文件存储都会有很大的问题。具体算法过程是一幅图像经过二维离散小波变换后，可以得到指定分解尺度下的小波系数。利用快速算法，将二维的小波变换分解为两个一维的运算，分别用高通与低通滤波器，进行一级分解与重构,进一步分解得到的变换系数在高尺度与低尺度之间有一定的相关性，Shapiro正是利用了这种相关性将零树引入小波编码中，EZW思想可以表述如下：一个小波系数x，对于一个给定的阈值T，如果|x|T，则称x是不重要的。如果大尺度下某系数是不重要的，而且在它的“孩子”，就是小尺度相应位置的系数中，也都是不重要的，则称小波系数形成一个零树，此时在大尺度上的那个系数称为零树根ZTR；如果该系数小于阈值，但它的“孩子”中却有重要系数，则称为孤立零，记为IZ；当该系数大于阈值时，称为重要系数，根据符号的不同，分别记为正重要系数POS和负重要系数NEG。这四种情况下的系数形成了重要系数图，它的流程图如图5所示。这种编码方案从大尺度到小尺度依次进行，按照Z扫描排序。最终得到的重要系数对应四种符号，即ZTR、IZ、POS、NEG，可以考虑用两个比特来表示它们。另外为了达到给定的精度还有一个辅助图来标记重要系数的精确重构值。具体的步骤如下：(1)对图像进行N级小波分解，求得系数图。(2)对最大尺度的LLN计算出均值，确定初始量化阈值T0。(3)用初始阈值对各级小波系数进行如上零树判断，确定符号，记入重要系数编码表内；这里IZ、ZTR的重构值为0，POS的重构值为T0+T0/2，NEG的重构值为-(T0+T0/2)。当出现零树根的系数时，它所衍生出的系数在下个小尺度编码时不考虑，只需扫描标记为孤立零、重要系数的即可，这样可以提高编码效率。(4)为了完成嵌入编码，实现逐次逼近量化，对检出的重要值，即POS、NEG，可以进一步精确确定它们的重构值：如果重要值xT0+T0/2，则记为POS1，重构值为T0+T0/2+T0/4；如果重要值T0xT0+T0/2，则记为POS0，重构值为T0+T0/2-T0/4，；如果重要值-(T0+T0/2)x-T0，则记为NEG0，重构值为-(T0+T0/2)+T0/4，；如果重要值x-(T0+T0/2)，则记为NEG1，重构值为-(T0+T0/2)-T0/4，；将POS1和NEG1记为“1”，POS0和NEG0记为“0”，记在辅助表中。用（x-精细重构值）代替原来的系数x，形成剩余系数图。(5)将阈值T0减半，再进行如上操作，直到剩余系数图中的值均为零或达到给定的要求为止。3.2小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。在信号处理领域，对原始信号进行变换，从变换的结果和过程中提取信号的特征，获得更多的信息，而这些信息是原来信号没有直接提供的（隐含的），目前，已经有许多变换应用于信号处理，最基本的是频域变换和时域变换，最熟悉的莫过于傅里叶变换FourierTransform），然而，傅里叶变换只能分别对信号的时域和频域进行观察，不能把二者有机地结合起来。为了解决此问题，引入了短时傅里叶变换(FourierTransform），该变换能够给出信号的时间和频率的二维分布，在短时傅里叶变换中，其窗口宽度是一个恒定的值，不能根据信号局部特征调整其窗口宽度。为此，引入了小波变换，解决了以上问题。小波分析方法是一种窗口大小（即窗口面积）固定但其形状可改变、时间窗和频率窗都可改变的时频局部分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以被誉为数学显微镜。在大尺度下，可以将信号的低频信息（全局）表现出来，在小尺度下，可以将信号的高频（局部）特征反映出来。小波分析的图像最基本的特征是边缘,因此图像处理中研究最多是边缘检测.图像的边缘点是指图像信号强度发生急剧变化的位置,它包含了图像的绝大部分信息.边缘检测对于图像处理和计算机视觉来说,是一个重要课题.一般情况下,图像在不同的尺度下表现出不同的边缘特性.近几十年来,对边缘检测已产生不少经典算法,如梯度算子、Sobel算子、拉普拉斯算子、Kinsch算子和Roserfeld算子等.但近二十年间,随着计算机技术、VLSI技术的迅速发展,有关图像处理方面的研究已取得了很大的发展.尤其是近年来迅速发展起来的小波(wavelet)理论,为图像处理带来了新的理论和方法.基于小波变换的方法在图像边缘检测应用中取得了非常良好的效果.边缘检测的基本要求是:低错判率和高定位精度.低错判率要求不漏掉实际边缘,不虚报边缘;高定位精度要求把边缘以等于或小于一个像素的宽度确定在它的实际位置上.边缘检测是图像分析的重要内容.小波理论为图像边缘检测提供了一个多尺度逼近.用不同尺度函数平滑信号,且从它们的一阶导数或二阶导数中检测剧烈的变化点.一个低通滤波器的脉冲响应应该为平滑函数.多尺度边缘检测方法是先磨光原信号,再由磨光后信号的一阶或者二阶导数检测出原信号的剧变点(也就是边缘了).在高分辨率下,细节较多,边缘较粗;在较低分辨率下,细节被平滑掉,能得到效果较好的图像边缘,可以较清晰地分辨出图像轮廓特征.特别是小波变换的多分辨率分析,能为检测出的边缘提供由粗到细的不同尺度的结果,可以方便地根据需要选取适当的精度.小波具有良好的时频局部性,很利于检测图像边缘,3.3在工程技术等方面的应用：包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面。小波变换在生物医学信号处理中的应用１生物医学应用领域的小波性质小波可分解为以下二部分：重复信息（可进行连续小波变换［ＣＷＴ］或小波帧变换）和非重复信息（正交、半正交或双正交基波信号）。重复信号通常作为