不定积分的概念与性质

第四章不定积分例xxcossinxsin是xcos的原函数.)0(1lnxxxxln是x1在区间),0(内的原函数.如果在区间I内，定义：可导函数)(xF的即Ix，都有)()(xfxF或dxxfxdF)()(，那么函数)(xF就称为)(xf导函数为)(xf，或dxxf)(在区间I内原函数.一、原函数与不定积分的概念不定积分的概念与性质下页上页首页原函数存在定理：如果函数)(xf在区间I内连续，简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1)原函数是否唯一？例xxcossinxCxcossin（为任意常数）C那么在区间I内存在可导函数)(xF，使Ix，都有)()(xfxF.(2)若不唯一它们之间有什么联系？下页上页首页原函数存在定理关于原函数的说明：（1）若，则对于任意常数，)()(xfxFCCxF)(都是)(xf的原函数.（2）若和都是的原函数，)(xF)(xG)(xf则CxGxF)()(（为任意常数）C证)()()()(xGxFxGxF0)()(xfxfCxGxF)()(（为任意常数）C下页上页首页关于原函数的说明任意常数积分号被积函数不定积分的定义：在区间I内，CxFdxxf)()(被积表达式积分变量函数)(xf的带有任意常数项的原函数称为)(xf在区间I内的不定积分，记为dxxf)(.下页上页首页不定积分的定义例1求.54dxx解,545xx.554Cxdxx解例2求.112dxx,11arctan2xx.arctan112Cxdxx下页上页首页例1例2例3设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为),(xfy根据题意知,2xdxdy即)(xf是x2的一个原函数.,22Cxxdx,)(2Cxxf由曲线通过点（1，2）,1C所求曲线方程为.12xy下页上页首页例3函数)(xf的原函数的图形称为)(xf的积分曲线.显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知),()(xfdxxfdxd,)(])([dxxfdxxfd,)()(CxFdxxF.)()(CxFxdF结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.下页上页首页实例xx11.11Cxdxx启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.)1(二、基本积分表下页上页首页基本积分表kCkxkdx()1(是常数););1(1)2(1Cxdxx;ln)3(Cxxdx说明：,0x,lnCxxdx])[ln(,0xx,1)(1xxx,)ln(Cxxdx,||lnCxxdx简写为.lnCxxdx下页上页首页基本积分表dxx211)4(;arctanCxdxx211)5(;arcsinCxxdxcos)6(;sinCxxdxsin)7(;cosCxxdx2cos)8(xdx2sec;tanCxxdx2sin)9(xdx2csc;cotCx下页上页首页基本积分表xdxxtansec)10(;secCxxdxxcotcsc)11(;cscCxdxex)12(;Cexdxax)13(;lnCaaxxdxsinh)14(;coshCxxdxcosh)15(;sinhCx下页上页首页基本积分表例4求积分解dxx32)1(dxx32)1(dxxxx)331(642Cxxxx7537153下页上页首页例4dxxgxf)]()([)1(;)()(dxxgdxxf证dxxgdxxf)()(dxxgdxxf)()().()(xgxf等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、不定积分的性质下页上页首页dxxkf)()2(.)(dxxfk（k是常数，)0k例5求积分解.)1213(22dxxxdxxx)1213(22dxxdxx22112113xarctan3xarcsin2C下页上页首页例5例6求积分解dxxx22cossin1dxxx22sin1cos1Cctgxtgxdxxx22cossin1下页上页首页例6例7求积分解.)1(21222dxxxxdxxxx)1(21222dxxxxx)1(12222dxxdxx22111.arctan1Cxx下页上页首页例7例8求积分解.2cos11dxxdxx2cos11dxx1cos2112dxx2cos121.tan21Cx说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.下页上页首页例8例9已知一曲线)(xfy在点))(,(xfx处的切线斜率为xxsinsec2，且此曲线与y轴的交点为)5,0(，求此曲线的方程.解,sinsec2xxdxdydxxxysinsec2,costanCxx,5)0(y,6C所求曲线方程为.6costanxxy下页上页首页例9基本积分表(1)不定积分的性质原函数的概念：)()(xfxF不定积分的概念：CxFdxxf)()(求微分与求积分的互逆关系四、小结下页上页首页思考题符号函数0,10,00,1sgn)(xxxxxf在内是否存在原函数？为什么？),(下页上页首页思考题思考题解答不存在.假设有原函数)(xF0,0,0,)(xCxxCxCxxF但)(xF在0x处不可微，故假设错误所以在内不存在原函数.),()(xf结论每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.下页上页首页思考题解答一、填空题：1、一个已知的函数，有______个原函数，其中任意两个的差是一个______；2、)(xf的________称为)(xf的不定积分；3、把)(xf的一个原函数)(xF的图形叫做函数)(xf的________，它的方程是)(xFy，这样不定积dxxf)(在几何上就表示________，它的方程是CxFy)(；4、由)()('xfxF可知，在积分曲线族CxFy)()(是任意常数C上横坐标相同的点处作切线，这些切线彼此是______的；5、若)(xf在某区间上______，则在该区间上)(xf的原函数一定存在；练习题下页上页首页练习题6、dxxx______________________；7、xxdx2_______________________；8、dxxx)23(2_________________；9、dxxx)1)(1(3_____________；10、dxxx2)1(=____________________.二、求下列不定积分：1、dxxx2212、dxxxx32532下页上页首页练习题3、dxx2cos24、dxxxx22sincos2cos5、dxxxx)11(26、xdxxxx2222sec1sin三、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程.下页上页首页练习题一、1、无穷多,常数；2、全体原函数；3、积分曲线,积分曲线族；4、平行；5、连续；6、Cx2552；7、Cx2332；8、Cxxx223323；9、Cxxxx2325332523、10、Cxxx252352342.练习题答案下页上页首页练习题答案二、1、Cxxarctan；2、Cxx3ln2ln)32(52；3、Cxx2sin；Cxx)tan(cot.4；5、Cxx427)7(4；6、Cxarcxcottan.三、Cxyln.下页上页首页答案