试验设计及数据分析第一次作业习题答案

..习题答案1．设用三种方法测定某溶液时，得到三组数据，其平均值如下：x1̅=(1.54±0.01)mol/Lx2̅̅̅=(1.7±0.2)mol/Lx3̅̅̅=(1.537±0.005)mol/L试求它们的加权平均值。解：根据数据的绝对误差计算权重：𝑤1=10.012，𝑤2=10.22，𝑤3=10.0052因为𝑤1:𝑤2:𝑤3=400:1:1600所以𝑋̅=1.54×400+1.7×1+1.537×1600400+1+1600=1.5376812．试解释为什么不宜用量程较大的仪表来测量数值较小的物理量。答：因为用量程较大的仪表来测量数值较小的物理量时，所产生的相对误差较大。如3．测得某种奶制品中蛋白质的含量为(25.3±0.2)g/L，试求其相对误差。解：E𝑅=∆𝑚𝑚=0.225.3=0.79%4．在测定菠萝中维生素C含量的测试中，测得每100g菠萝中含有18.2mg维生素C，已知测量的相对误差为0.1%，试求每100g菠萝中含有维生素C的质量范围。解：E𝑅=∆𝑚𝑚=0.1%，所以∆m=m×E𝑅=18.2×0.1%=0.0182𝑚𝑔所以m的范围为18.1818mgm18.2182𝑚𝑔或依据公式𝑚𝑡=𝑚×(1±|𝐸𝑅|)=18.2×(1±0.1%)mg5．今欲测量大约8kPa（表压）的空气压力，试验仪表用1）1.5级，量程0.2MPa的弹簧管式压力表；2）标尺分度为1mm的U型管水银柱压差计；3）标尺分度为1mm的U形管水柱压差计。求最大绝对误差和相对误差。解：1）压力表的精度为1.5级，量程为0.2MPa，则|∆𝑥|𝑚𝑎𝑥=0.2×1.5%=0.003𝑀𝑃𝑎=3𝐾𝑃𝑎𝐸𝑅=∆𝑥𝑥×100%=38×100%=3.75×10−1=37.5%2）1mm汞柱代表的大气压为0.133KPa，..所以|∆𝑥|𝑚𝑎𝑥=0.133𝐾𝑃𝑎𝐸𝑅=∆𝑥𝑥×100%=0.1338×100%=1.6625×10−2=1.6625%3）1mm水柱代表的大气压：ρgh，其中g=9.80665m/s2，通常取g=9.8m/s2则|∆𝑥|𝑚𝑎𝑥=9.8×10−3𝐾𝑃𝑎𝐸𝑅=∆𝑥𝑥×100%=9.8×10−38×100%=1.225×10−36．在用发酵法生产赖氨酸的过程中，对产酸率（%）作6次评定。样本测定值为3.48，3.37，3.47，3.38，3.40，3.43，求该组数据的算术平均值、几何平均值、调和平均值、标准差s、标准差𝛿、样本方差𝑠2、总体方差𝑠𝛿2、算术平均误差∆和极差R。解：7．A与B两人用同一种分析方法测定金属钠中的铁，测得铁含量（μg/g）分别为：分析人员A：8.0，8.0，10.0，10.0，6.0，6.0，4.0，6.0，6.0，8.0分析人员B：7.5，7.5，4.5，4.0，5.5，8.0，7.5，7.5，5.5，8.0试问A与B两人测定铁的精密度是否有显著性差异？（α=0.05）解：依题意，检验A与B两人测定铁的精密度是否有显著性差异，采用F双侧检验。根据试验值计算出两种方法的方差以及F值：𝑠𝐴2=3.73，𝑠𝐵2=2.30𝐹=𝑠𝐴2𝑠𝐵2=1.62数据计算公式计算结果3.48算术平均值𝑥̅=x1+x2+⋯+x𝑛𝑛3.4216673.37几何平均值𝑥𝐺̅̅̅=√x1x2⋯x𝑛𝑛3.4214073.47调和平均值𝐻=𝑛1x1+1x2+⋯+1x𝑛=𝑛∑1x𝑖𝑛𝑖=1或1𝐻=1x1+1x2+⋯+1x𝑛𝑛=∑1x𝑖𝑛𝑖=1𝑛3.4211483.38标准样本差𝑠=√∑(x𝑖−𝑥̅)𝑛𝑖=1𝑛−1=√∑d𝑖2𝑛𝑖=1𝑛−1=√∑x𝑖2−(∑x𝑖)𝑛𝑖=12/𝑛𝑛𝑖=1𝑛−10.0462243.40总体标准差𝛿=√∑(x𝑖−𝑥̅)𝑛𝑖=1𝑛=√∑d𝑖2𝑛𝑖=1𝑛=√∑x𝑖2−(∑x𝑖)𝑛𝑖=12/𝑛𝑛𝑖=1𝑛0.0421973.43样本方差𝑠20.002137总体方差𝛿20.001781算术平均误差∆=∑|x𝑖−𝑥̅|𝑛𝑖=1𝑛=∑|d𝑖|𝑛𝑖=1𝑛0.038333极差𝑅=𝑥𝑚𝑎𝑥−𝑥𝑚𝑖𝑛0.11..根据显著性水平α=0.05，df𝐴=9，df𝐵=9查F分布表得𝐹0.975(9，9)=0.248，𝐹0.025(9，9)=4.03。所以𝐹0.975(9，9)𝐹𝐹0.025(9，9)，A与B两人测定铁的方差没有显著差异，即两人测定铁的精密度没有显著性差异。分析人员A分析人员B87.587.5104.510465.56847.567.565.588F-检验双样本方差分析分析人员A分析人员B平均7.26.55方差3.7333333332.302778观测值1010df99F1.621230398P(F=f)单尾0.24144058F单尾临界3.1788931048．用新旧两种工艺冶炼某种金属材料，分别从两种冶炼工艺生产的产品中抽样，测定产品中的杂质含量（%），结果如下：旧工艺（1）：2.69，2.28，2.57，2.30，2.23，2.42，2.61，2.64，2.72，3.02，2.45，2.95，2.51；新工艺（2）：2.26，2.25，2.06，2.35，2.43，2.19，2.06，2.32，2.34试问新冶炼工艺是否比旧工艺生产更稳定，并检验两种工艺之间是否存在系统误差？（α=0.05）解：工艺的稳定性可用精密度来表征，而精密度可由极差、标准差或方差等表征，这里依据方差来计算。𝑠12=0.0586，𝑠22=0.0164，由于𝑠12𝑠22，所以新的冶炼工艺比旧工艺生产更稳定。（依据极差：𝑅1=3.02−2.28=0.74，𝑅2=2.43−2.06=0.37，同样可以得到上述结论）（依据标准差𝑠1=0.242103，𝑠2=0.128106）检验两种工艺之间是否存在系统误差，采用t检验法。1）先判断两组数据的方差是否有显著性差异。根据试验数据计算出各自的平均值和方差：𝑥1̅̅̅=2.5685，𝑠12=0.0586𝑥2̅̅̅=2.2511，𝑠22=0.0164..故𝐹=𝑠12𝑠22=0.05860.0164=3.5731已知n1=13，n2=9，则df1=12，df2=8，根据显著性水平α=0.05，查F分布表得𝐹0.05(12，8)=3.28，𝐹𝐹0.05(12，8)，两方差有显著差异。旧工艺新工艺2.692.262.282.252.572.062.302.352.232.432.422.192.612.062.642.322.722.343.022.452.952.51F-检验双样本方差分析旧工艺新工艺平均2.5684615382.251111111标准差0.2421034960.128105859方差0.0586141030.016411111观测值139df128F3.571610854P(F=f)单尾0.039724983F单尾临界3.283939006t-检验:双样本异方差假设旧工艺新工艺平均2.5684615382.251111111方差0.0586141030.016411111观测值139假设平均差0df19tStat3.988050168P(T=t)单尾0.000393697t单尾临界1.729132812..P(T=t)双尾0.000787395t双尾临界2.0930240542）进行异方差t检验𝑡=𝑥1̅̅̅−𝑥2̅̅̅√𝑠12𝑛1+𝑠22𝑛2==3.988𝑑𝑓=(𝑠12𝑛1⁄+𝑠22𝑛2⁄)2(𝑠12𝑛1⁄)2(𝑛1+1)+(𝑠22𝑛2⁄)2(𝑛2+1)−2=(0.058613+0.01649)2(0.058613)2(13+1)+(0.01649)2(9+1)−2≈22.4667−2≈20根据显著性水平α=0.05，查单侧t分布表得𝑡0.025(20)=2.086，所以|𝑡|𝑡0.025(20)，则两种工艺的平均值存在差异，即两种工艺之间存在系统误差。备注：实验方差分析是单侧检验：因为方差分析不像差异显著检验，方差分析中关心的只是组间均方是否显著大于组内均方或误差均方。目的是为了区分组间差异是否比组内差异大的多，因为只有大得多，才能证明实验的控制条件是否造成了显著的差异，方差齐性中F检验要用到双侧检验，因为要看的是否有显著性差异，而没有说是要看有差异时到底是谁大于谁，所以没有方向性。9．用新旧两种方法测得某种液体的黏度（mPa∙s）如下：新方法：0.73，0.91，0.84，0.77，0.98，0.81，0.79，0.87，0.85旧方法：0.76，0.92，0.86，0.74，0.96，0.83，0.79，0.80，0.75其中旧方法无系统误差。试在显著性水平（α=0.05）时，检验新方法是否可行。解：检验新方法是否可行，即检验新方法是否有系统误差，这里采用秩和检验。先求出各数据的秩，如表所示。秩123456.56.589101112131415161718新0.730.770.790.810.840.850.870.910.98旧0.740.750.760.790.800.830.860.920.96此时，n1=9，n2=9，n=18，R1=1+5+6.5+9+11+12+14+15+18=91.5R2=2+3+4+6.5+8+10+13+16+17=79.5对于α=0.05，查秩和临界值表，得T1=66，T2=105，由于T1R1T2，故，两组数据无显著差异，新方法无系统误差，可行。..T检验成对数据的比较新方法旧方法di(−̅)0.730.76-0.030.002075310.910.92-0.010.000653090.840.86-0.020.00126420.770.740.030.000208640.980.960.021.9753E-050.810.83-0.020.00126420.790.7900.000241980.870.80.070.00296420.850.750.10.00713086∑0.140.01582222̅=∑0.015556=√∑(−̅)−0.04447221=0.34978145n=9=̅−×√1.04934436对于α=0.05，查表𝑡0.025(8)=2.306，所以|𝑡|𝑡0.025(8)，即两组数据无显著差异，新方法无系统误差，可行。10．对同一铜合金，有10个分析人员分析进行分析，测得其中铜含量（%）的数据为：62.20，69.49，70.30，70.65，70.82，71.03，71.22，71.25，71.33，71.38（%）。问这些数据中哪个（些）数据应被舍去，试检验？（α=0.05）解：1）拉依达（Paǔta）检验法○1检验62.20计算包括62.20在内的平均值x̅=69.967及标准偏差𝑠=2.79计算|d𝑝|=|x𝑝−x̅|=|62.20−69.967|=7.7672s=2×2.79=5.58比较|d𝑝|和2𝑠，|d𝑝|2𝑠，依据拉依达检验法，当α=0.05时，62.20应该舍去。○2检验69.49计算包括69.49在内的平均值x̅=70.83及标准偏差𝑠=0.615计算|d𝑝|=|x𝑝−x̅|=|69.49−70.83|=1.342s=2×0.615=1.23比较|d𝑝|和2𝑠，|d𝑝|2𝑠，依据拉依达检验法，当α=0.05时，69.49应该舍去。○3检验70.30..计算包括70.30在内的平均值x̅=70.9975及标准偏差𝑠=0.3798计算|d𝑝|=|x𝑝−x̅|=|70.30−70.9975|=0.69752s=2×0.3798=0.7596比较|d𝑝|和2