线性代数第一章线性方程组与矩阵重点

线性代数第一章线性方程组与矩阵一、高斯消元法解线性方程组例1解线性方程组123123123226231xxxxxxxxx①②③1231231231232323123226-1+-2+1324348xxxxxxxxxxxxxxxx解；①③①②③①②①③①②③12323312323311324241213242xxxxxxxxxxxx②③①②③③阶梯形方程组之后从最后一个方程开始回代，便得方程组的解123102xxx定义1对线性方程组所作的下述三种变换，统称为方程组的初等变换：（1）交换方程组中某两个方程的置；（2）给某个方程乘上一个非零常数；（3）用一个非零常数乘某个方程后加到另一个方程上.线性方程组的初等变换的重要特性是它不改变线性方程组的解.定理1经初等变换后所得的方程组与原方程组同解.高斯消元法的本质就是通过对方程组进行适当的初等变换，将原方程组转化为相对简单的阶梯形的同解方程组，从而比较容易地判断原方程组是否有解.例2解线性方程组1231231232342303542xxxxxxxxx123232305402xxxxx上述方程组通过三种初等变换可化为下面阶梯形方程组无解例3解线性方程组123123123222336xxxxxxxxx上述方程组通过三种初等变换可化为下面阶梯形方程组1232323600xxxxx1234263xkxkxk无穷解由上述三个例子得到线性方程组解的情况：1.最后一个方程是（左侧为零，右侧不为零），(是非零常数)此时原方程组无解.2.最后一个方程左侧不等于零，则原方程组有解.此时又可分成两种情形.设阶梯形方程组中有个系数不全为零的方程（也称为个真方程）.0crrrc(1)若，即真方程的个数与未知量的个数相同，则方程组有唯一解.(2)若，即真方程的个数小于未知量的个数，则方程组有无穷多解.rnrn二、矩阵及矩阵的初等变换定义2由mn个数ija1,2,,;1,2,,imjn……排成的m行n列的数表称为一个mn矩阵，记为111212122212nnmmmnaaaaaaaaa.其中ija称为矩阵第i行第j列的元素.矩阵通常用大写英文字母A、B、C等表示.上述矩阵可简记为ijAa或ijmnAa.定义3对矩阵的行所作的下述三种变换，称为矩阵的初等行变换：（1）互换矩阵某两行的位置；（2）用非零常数乘矩阵某行所有元素；（3）用一个非零常数乘矩阵某行所有元素后加到另一行对应元素上.为了书写方便，我们把第一种变换记为ijrr，第二种变换记为ikr，第三种变换记为jirkr.若定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换，相应地记为ijcc，ikc和jickc.矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换统称为矩阵的初等变换.矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换统称为矩阵的初等变换.阶梯形方程组所对应的增广矩阵称为行阶梯形矩阵.可见，行阶梯形矩阵应满足：（1）如果存在零行（元素全为零的行），则零行全在非零行的下方；（2）当非零行的首非零元（第一个不为零的元素）位于第j列时，则该行以下每一行（若存在）的前j个元素全为零.满足下面条件的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵：非零行的首非零元为1，且它所在列的其它元素都为零.三、矩阵的秩及线性方程组解的判定定义4矩阵A经过初等行变换化为行阶梯形矩阵后，行阶梯形矩阵中非零行的行数称为矩阵A的秩，记作RA.元素全等于0的矩阵称为零矩阵，记作O.规定零矩阵的秩为0.非齐次线性方程组与齐次线性方程组解的判定定理2n个未知量的非齐次线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵A与增广矩阵A有相同的秩，且当RARAn时方程组有唯一解，当RARArn时方程组有无穷多个解.定理3n个未知量的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵A的秩小于n.例1123123123123312213231xxxxxxxxxxxx例2215928232-30425324321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx例305105036302432143214321xxxxxxxxxxxx练习题1.讨论取什么值时，下列方程组有解，有唯一解？有无穷多组解？无解？在有解时，求出其解.111321321321xxxxxxxxx2.已知12,是方程组1231312332312104xxaxxxxaxx的两个不同的解，求a.3.如果齐次方程组1231231232023(2)020xxxxxaxxaxx只有零解，求a.