非标准分析经典数学一种延伸

非标准分析——经典数学的一种延伸逻辑学12硕吕相洋第二次数学危机在17世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科。牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者，他们的功绩主要在于：创立了朴素的微分法和积分法；有明确的计算步骤；微分法和积分法互为逆运算……由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为当时解决问题的重要工具。18世纪的数学思想的确是不严密的、直观的，强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念不清楚；无穷大概念不清楚；发散级数求和的任意性等等；符号的不严格使用；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。在微积分大范围应用的同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。关键问题就是无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次数学危机。消失的量的灵魂04422*222)2()2(')(222222量的灵魂”贝克莱戏称为“消失的什么，尼茨）的无穷小到底是而略去了，牛顿（莱布为被视的“无穷小”在后面又前面被作为非零项除掉fxxf•直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。波尔查诺给出了连续性的正确定义；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发，认识到函数不一定要有解析表达式；他抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量；并且定义了导数和积分；狄里赫利给出了函数的现代定义。在这些工作的基础上，威尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极限的定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。•19世纪70年代初，威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。在严格化后的微积分理论中，无穷小不再是一个固定的量，而是以零为极限的变量。44lim22*22lim2)2(lim)2(')(022202202fxxf但古典极限理论的较为繁复，而在工程师、物理学家、化学家的语言中使用“瞬时”、“微元”这样的不够精确的概念并没有影响的结果的正确性。实无穷的复活——逻辑学家的意外发现（一阶逻辑广义完全性定理）如果形式语言L的一个语句集是一致的，那么这个语句集有一个模型。（紧致性定理）如果L的语句集K的任意有穷子集一致，那么K一致。的真超集。是，从而显然，，个，记为存在模型，选取其中一紧致RRRRwRHKM***:性定理由为一个新的个体常量。w取遍所有实遍所rw,r:集合成的为以下无穷个语句所组H的一个模型，K是R设实数域也是。，是无穷小，那么如也有无限多个无穷小，如中有无限多个无穷大，当然，中的数，称为无穷小。具有这种性质的于是对每个每个大于所有实数，所以对有乘法逆元，由于中的每个非零数也都有证明），根据转换原理（随后将法逆元，的每个非零元素都有乘由于mmmwwRRrwrRrrwrRrwRR322,1**|/1|,0,,/1,0,*挪威逻辑学家Skolem最先发现描述自然数集的计数公理（如一阶Peano公理）不仅以自然数为其“标准”模型，他由此否定自然数集N，而R.robinson把skolem的思想开拓到实数域，为无穷小演算奠定了严格的逻辑基础，它兼容算术的非标准模型，因此他称这一课题为非标准分析，其开拓性的工作，具有不可磨灭的历史功绩。•可以认为，NSA实际上是对标准分析进行“理想元素”的添加，如前所述，无穷大与无穷小并非不可思议，NSA的第一个功绩便是延续数学史上扩张数系的研究。•令人奇怪的是，在直线上塞进无理数之后，扩充实数系的工作被忽视了长达百余年。上的一个子集。恒等于则最后通过嵌入：成立，则对于充分大的使如果存在上的序关系定义如下：定义加法和乘法：所在等价类，，分别表示命上的代数运算，为了定义所成的集实数集乃是所有等价类其定义为：上的等价关系是所成的集，并设序列有理数是全体理论，设序列构造实数的回忆从有理数RQaaaabanbaQRbababababaRQRbaQCauchyQCantorCauchynnnnnnnnnnnnnnNnnnNN,,,,**,}{b}{a,,/0)(lim}{b}{a}{aNnnNnnNnnNnnNnn更精细的等价类划分。需要序列极限是不够的，还的构造思想，仅仅区分要发展同。因此人们，但它们的收敛速度不都等同于实数和进性态的差异，例如：这是并没有考虑序列渐列归入同一类，的同一点（实数）的序将尽可能多的收敛到只是极限，于是必须的过程中，人们关心的构造理论，在由的实数剖析一下上定义何种等价关系，关键在于在的一个子集。等同于映射使义，再通过嵌入上的加法和乘法类似定之后，等价类全体上定义了某种等价关系在来构造效仿上述过程，由Cantor0}n1{}n1{**,*2RRQCantorRRRRRRRNNN一些失败的尝试不能构成域。，有零因子，例如：但是容易验证，说，化为同一等价类。则两序列相等，换句话项外皆相同，即如果两个序列除有限余有穷等价关系SNnnSNSRaR/},0,1,0,1,0{}b{}1,0,1,0,1{}{/,}{b}{a}{b}{a}ba|{n,R}{b,}{a*1948nnnnnnNnnuNuuRIuRHewittEdwin记为：。相等，或几乎处处相等和，则称如果的集，设表示全体实数序列所成上的一个非主超滤，命是设定义的代数性质。富的点集，又保有良好构造了丰泛认同，用超幂方法既的超幂方法，已获得广数域年创造的构造超实于在逐步的探索中，由的元素叫做超自然数。别的，的元素叫做超实数，特或记为所在的等价类的非标准扩张。为超实数系或称，即的等价类的全体记为将按照定义一下定义：性质，于是有，同时也将具有某些新的很多良好的代数性质后将证明，它保有相当多”的新元素，以法的粗造性，会产生“实数构造方的代数结构里避免了的元素的等价类，在新划分价关系，事实上以可能是我们所期望的等可以看出，零因子，再注意到：的排除了上的等价关系，且成功为证，由超滤的性质，容易验uNuNuNNuNuuNuNNRxRRRRRRRRCantorRuR/*,*x}{x*/**{1}}n1n1|{nnn2中的标准实数。的元素为的标准实数，特别，称的元素为则称则规定如果定义（集的自然嵌入）中的自然嵌入映射。到为：称的等价类。表示常序列）（规定中的常序列，即看作约定把对于任意定义的元素特征。的代数性质以及：试看嵌入映射RNRAARARRRRrrrrrrrrrrrRrRrRRRRN**A},a|a{,***},,{,***},,{,*,****的保序同构。到是且自然嵌入映射是一个线性有序域系后容易验证，在补充了运算以及序关是指是指是指，规定设定义成为一个线性有序域。构以及序关系，使代数结，上定义在为真嵌入映射。，即可见在是非主超滤，所以不存由于中命证明：在的真扩张。是定理RRRuyxuzyxuzyxRzyxRRRRxaRaunxRRRNnN**}yx|N{n}z贩yx|N{n·}zyx|N{n*,,****,*,},{nnnnnnnn*}1{0,||,,*,,}3,2,1{,,,*,*****0,0,||***naaraRrRaaraRraraRrRaNNNNnRRxRRxxxxxRR，例如记为为无穷小，则称均有如果对每个设为负无穷大。则称成立如果对每个为正无穷大，例如则称成立如果对每个设）定义（无穷大和无穷小。，，简记为，例如们简化一些记号，产生误解的情况下，我为叙述的简便，在不至为非标准自然数。称为非标准实数，中的元素，称和为了区分如果如果定义定义。中的元素引进绝对值的，可以对线性有序化鉴于上的等价关系。为和∽容易验证，不是有限接近的。与彼此有限接近，而，，为超自然数，则例如，）（）是指的星系（有限接近，并记作和是有限数，则称如果∽）是指的单子（∽无限小接近，并记作和，则称∽如果设定义RnnyxRyxGxyxyxyxyxRyxmxyxyxyxRyx*/3}|*{galaxy.}|*{)(monad.0*,。便不是上确界了，矛盾的一个上界限，但是则另一方面，如果矛盾。由无穷小定义易见上确界，设的是。若不然，设有上界，但没有上确界事实上，确乎没有边界。成的集合，作为全体正负无穷小所被模糊的云雾所围绕。即称为的哲学名词，在法语里）是单子（aaamamamaamamammx,2/)0(2/),0(),0(2),0()0()0()0(,haloleibnizmonad不是相等，便是相交。任意两个单子推论则且），设我们只证（无穷小。积仍是，无穷小与有限数的乘的一个理想，这就是说是）（的一个子环。是）全体无穷小集（绩仍是有限数。有限数的和、差以及成说，的一个序子环，也就是）是（的集）全体有限超实数所成（定理)(),(4r|st|r,|t-s|r|ts|r/2,|t|r/2,|s|,),0(,1)0()0(3*)0(2*012ymxmRrGtsGmRmRG亦导致同样的矛盾。时，＜同样，当）的实数一定小于决定矛盾（小于由这与＞时，当。，满足存在为无穷小，若不然，便即证∽可证分割决定了唯一的中的一个作为则是有限的，命证：设和。准实数与一个无穷小之可唯一地表示为一个标均因此，每个有限超实数∽便是也就是说，不是无限接近于唯一的一个每个有限超实数有限超实数基本定理,2,r/2,rxrx||R||,,x}rR,r|{rx},rR,r|{r*,,,212122221111xrrrxrxDDrxrxrxRrDedekindRDDDDRxrxrxRrx)()()()()()()()()()()(0,00,)(*ystxstyxystxstyxstystxstxystystxstyxstGyxRGstRGrxstxrxrRx时，当），（的保序环同态，即对于）到（是标准部分映射定理叫做标准部分映射。）（映射记作的标准部分，为的唯一标准实数∽为有限数，称满足设非标准模型•NSA的应用应竟可能涵盖经典数学的所有研究对象，而经典数学的定义都是用的集合论语言。所以我们先引入足以包括经典数学所有研究对象的标准结构——超结构。•从超结构出发，用纯粹的集合论方法构造其对应的超幂型非标准模型，则得到的非标准模型涵盖经典数学。从而可将经典数学置于NSA体系下研究。xyXVyXxXVXnnXVXVXVXXVXVXVXXVXVXVPXVXVXXVXVREXEnnNnnnnnn),(,)(.)1)(()()()()()()()())(()()()()(,1010则对所有”，即如果的个体是所谓的“原子即中的元素外我们约定，不需要高阶量词了，此这样定义论域，我们就中的实体具有秩称的个体，的实体也叫做的实体，的元素叫做上的超结构称为如下：归纳定义累积幂集并假定本点集），度空间或拓扑空间的基为任一非空集（比如测命定义（超结构）超结构的某些性质•∅为实体•每个Vn(X)为实体•实体的元素为实体•实体的子集为实体•实体的幂集为实体•V(X)的有限子集为实体•实体的有序n元组及Cartesian积为实体•n元关系和n元函数，其定义域和值域为实体者，它们本身亦为实体。实体的例子