随机过程复习题及答案1

2.52.52.52.5(P93)(P93)(P93)(P93)已知集合S={1，2，3，4，5}，试给出三个定义于集合S上的Borel集。解：根据Borel集的定义，可以在S上定义如下Borel集：_B1={∅,S}B2={∅,S,{1},{2,3,4,5}}_B3={S的所有子集}其中集合B3一共有32个元素，包括空集和全集。2.17(P94)(P94)(P94)(P94)某实验室从ABC三个芯片制造商处购得某芯片，数量比为1：2：2.已知ABC三个芯片制造商的芯片次品率分别为0.001，0.005和0.01。若该实验室随机使用的某芯片是次品，向该次品芯片购自制造商Z或C的概率分别是多少？解：用符号D表示芯片为次品这个事件，ABC分别表示芯片购自ABC三个芯片制造商，由Bayes共识知道(/)()(/)(/)()(/)()(/)()PDAPAPADPDAPAPDBPBPDCPC=++P又由题意知道，_P(A)=1/5,P(B)=2/5,P(C)=2/5_P(D|A)=0.001,P(D|B)=0.005,P(D|C)=0.01代入上式计算得到P(A|D)=1/31同样道理，可以得到(/)()(/)(/)()(/)()(/)()PDCPCPCDPDAPAPDBPBPDCPC=++=20312.26(P95)2.26(P95)2.26(P95)2.26(P95)设随机变量X的分布函数为20,0(),011,1XxFxAxxx⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩，试求：1）系数A；2）X落在区间（0.3，0.7）内的概率；3）X的概率函数解：1）X的概率密度函数为'2,01()()0,XXAxxfxFxelse≤≤⎧==⎨⎩因为()1xfxdx∞−∞=∫，所以A=12)(0.30.7)(0.7)(0.3)0.4XXPXFF=−=(用积分做规范)3）由概率分布函数和概率密度函数之间的关系知道'2,01()()0,XXxxfxFxelse≤≤⎧==⎨⎩2.272.272.272.27（P95P95P95P95）设N是样本空间为S={0，1，2….}的几何分布的随机变量，试求：1）P{Nk};2)N的概率分布函数；3）N为偶数的概率几何分布是指在事件某一次发生之前，该事件不发生的次数。每个事件都是一个单独的伯努力实验。解：1111）2）3）{}2012(1)2kkPNkppp∞===−=−∑2.30(P95)2.30(P95)2.30(P95)2.30(P95)设随机变量X的概率密度函数为||()xXfxAe−=，试求：1）系数A；2）X落在区间（0，1）内的概率；3）X的概率分布函数解：1）由()1Xfxdx∞−∞=∫知道，得到2A=1A=0.52)由概率密度函数的性质知道11011(01)(1)22xpXedxe−−==−∫3）由概率分布函数和概率密度函数之间的关系知道||1,012()121,02xxtXxexFxedtex−−∞−⎧≤⎪⎪==⎨⎪−⎪⎩∫2-39设随机变量X和Y的联合概率密度函数为0,0,0,0,),(2222=−−bayxbyeaxeyxfbyax试求：①联合概率分布函数；②}{YXP；③边界概率函数)(xfX和)(yfY。解：1）由概率分布函数和概率密度之间的关系知道dudvvufyxFyxXY),(),(∞−∞−∫∫={⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎩⎪⎨⎧==−−∫∫∫∫−−−−0,0),1)(1(,00,0,,00,0,),(,0222222220000yxeeyxdudvbveaueyxdudvvufbyaxbvavyxyx其他其他其他2）将联合概率密谋函数),(yxf在区域0yx上积分即得}{YXP，因此babdxaxeedxeaxdybyeYXPaxbxaxxby+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−==−∞−−∞−∫∫∫20200222222121][}{3）同样道理，将联合概率密度函数),(yxf在区域|x-y|1上积分即得}1|{|−YXP，该积分区域如图所示，为直线Y=X-1和Y=X+1在第一象限所围的区域。用全空间的积分值1减去),(yxf在1S和2S上的积分，即得积分值暂略=−−=−∫∫∫∫∞∞+−−∞−−−0122110222222][][1}1|{|XbyaxXbyaxdybyedxaxedybyedxaxeYXP4）积分得到∫∫∞−∞−====020222),()(),()(byYaxXbyedxyxfyfaxedyyxfxf2-40二维随机向量（X，Y）的概率函数为试求：1）k；2）（X，Y）的联合概率分布函数；3）X和Y的边界概率密度函数。解：1）由知k=1；2）当0≤x或者0≤y时，显然0),(=yxF；当1x且1y时，1),(=yxF；当1≥x且10y时，2)1(])([),(100+=+=∫∫yydxdttxyxFy同理，当1≥y且10x时，当10x且10y时，所以3）积分可得：10,21)(10,21)(+=+=yyyfxxxfYX2-41随机向量（X，Y）的联合概率密度函数为yxXYeeyxf22),(−−=0,0yx试求：1）2880802)1(2}8{−−−−−==≤+∫∫edxdyeeYXPxyx)2)42(2(422}{3212}{312}{8100221001002002−+==−==−==∫∫∫∫∫∫∞−−−∞+−−∞−−crfedxdyeeYXPedxdyeeYXPdxdyeeYXPyyxyyxyyxπ2-42设随机向量（X，Y，Z）的联合概率密度函数为1,,0),(),,(≤≤++=zyxzyxkzyxfXYZ试求：①k；②),|(yxzfZ。解：①32123)(),,(101010=⇒==++=∫∫∫∫∫∫∞∞−∞∞−∞∞−kkdxdydzzyxkdxdydzzyxfXYZ②21)(32)(32),,(),(10++=++==∫∫∞∞−yxdzzyxdzzyxfyxfXYZXY()4321)(32)(32),(),,(,|++++=++++==yxzyxyxzyxyxfzyxfyxzfXYXYZZ2-43已知X、Y、Z为互相独立的随机变量，且其概率密度函数分别为)(xfX、)(yfY、)(zfZ，试求：①}2,2,5|{|2≥ZYXP；②}2),,{min(ZYXP；③}6),,{max(ZYXP；④随机变量),,max(ZYXU=和),,min(ZYXV=的概率密度函数。解：1）由随机变量的独立性知道2）由随机变量的独立性知道3）类似于2）有4）先计算概率分布函数2.44已知二维Gauss随机向量的联合概率密度函数为证明:由X和Y的对称性知道,只要对随机变量X证明结论即可,对Y则类似可得.由概率密度函数的相容性原理知道(2.45,2-46)没有解答。2.49设随机向量(X,Y)的概率密度函数为22220000,,,,22220000),),),),sin(sin(sin(sin()))),,,,((((ππππππππ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤++++====yyyyxxxxyyyyxxxxAAAAyyyyxxxxffffXYXYXYXY求：1）系数A；2）均值YXmm,；3）方差22,YXσσ；4）协相关矩XYC和相关系数YXρ解：1）[[[[]]]]22221111)])])])]1111((((1111[[[[coscoscoscossinsinsinsinsinsinsinsincoscoscoscos))))2222cos(cos(cos(cos(coscoscoscos))))cos(cos(cos(cos())))sin(sin(sin(sin()))),,,,((((1111222200002222000022220000222200002222000022220000222200002222====−−−−−−−−====−−−−====++++====++++−−−−====++++−−−−====++++========∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫AAAAAAAAyyyyyyyyAAAAdydydydyyyyyyyyyAAAAdydydydyyyyyyyyyAAAAdydydydyyyyyxxxxAAAAdxdydxdydxdydxdyyyyyxxxxAAAAdxdydxdydxdydxdyyyyyxxxxffffRRRRXYXYXYXYππππππππππππππππππππππππππππππππ2.53没有解答2-67（P99）已知()Xt是零均值Gauss随机过程，且其自相关函数为12||212(,)ttXCtteσ−−=，试求()Xt和()Xts+的联合概率密度函数。解：由12||212(,)ttXCtteσ−−=得12||12(,)ttxtteρ−−=0xm=12σσσ==分别代入下面公式112211112222(,;,)exp{[()2()()()]}12122112222(1)2112xmxmxmxmfxxttXρσσσσρπσσρ−−−−=−−+−−2-68(P99)2-69(P99)2-70(P99)设[]Xn为独立同分布随机变量序列，定义离散时间随机过程[1][2]...[][]XXXnMnn+++=试求[]Mn的均值、方差和协方差。2-71(P100)2.73P100设Y(t)=X(t)﹣aX(t+s),已知X(t)是宽平稳随机过程，则Y(t)是否宽平稳随机过程？若X(t)是一个正态随机过程，试给出Y(t)的一维概率密度函数。解：X(t)是宽平稳过程，则不妨设Xm=ρ,XR(t1,t2)=E{X(t1)X(t2)}=XR(t2﹣t1),那么Ym(t)=E{Y(t)}=E{X(t)﹣aX(t+s)}=E{X(t)}﹣aE{X(t+s)}=(1﹣a)ρ,是常数；YR(t1,t2)=E{Y(t1)Y(t2)}=E{[X(t1)﹣aX(t1+s)][X(t2)﹣aX(t2+s)]}=E{X(t1)X(t2)﹣aX(t1)X(t2+s)-aX(t1+s)X(t2)+2aX(t1+s)X(t2+s)}=E{X(t1)X(t2)}﹣aE{X(t1)X(t2+s)}﹣aE{X(t1+s)X(t2)}+2aE{X(t1+s)X(t2+s)}=XR(t2﹣t1)﹣aXR(t2+s﹣t1)﹣aXR(t2﹣t1﹣s)+2aXR(t2﹣t1)又s是常量，所以YR(t1,t2)只与t2﹣t1有关，综上Y(t)宽平稳随机过程。X(t)是正态随机过程，不妨设E{X(t)}=µ,Var{X(t)}=2σ;很明显Y(t)也是一个正态随机过程，且E{Y(t)}=E{X(t)﹣aX(t+s)}=(1﹣a)µVar{Y(t)}=Var{X(t)﹣aX(t+s)}=(1+2a)2σ;所以，Yf(y)=2212(1)aπσ+222[(1)](1)yaaeµσ−−−+,−∞﹤y﹤+∞。2.75p100设X(t)和Y(t)是两个零均值、具有相同协方差函数XC(τ)、且相互独立的宽平稳随机过程，定义Z(t)=X(t)cosωt+Y(t)sinωt。①判断Z(t)是否宽平稳过程。②若X(t)和Y(t)都是正态过程，试求Z(t)的概率密度函数。解：由已知，Xm=Ym(t)=0，XC=YC=XC(τ);XR(t1,t2)=XC(t1,t2)+Xm(t1)Xm(t2)=XC(τ),同理，YR(t1,t2)=XC(τ)。Zm(t)=E{X(t)cosωt+Y(t)sinωt}=E{X(t)}cosωt+E{Y(t)}sinωt=0,是常数；ZR(t1,t2)=E{Z(t1)Z(t2)}=E{[X(t1)cosωt1+Y(t1)sinωt1][X(t2)cosωt2+Y(t2)sinωt2]}=E{X(t1)X(t2)}cosωt1cosωt2+E{X(t1)Y(t2)}cosωt1siωt2+E{X(t2)Y(t1)sinωt1cosωt2}+E{Y(t1)Y(t2)}sinω