固体物理练习(2011)附答案

一、简要回答以下问题：(每小题6分，共30分)1.试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。解：晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。另外，晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。2.试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯和氢键的基本特征。解：（1）离子键：无方向性，键能相当强；（2）共价键：饱和性和方向性，其键能也非常强；（3）金属键：有一定的方向性和饱和性，其价电子不定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”；（4）范德瓦尔斯键：依靠瞬时偶极距或固有偶极距而形成，其结合力一般与7r成反比函数关系，该键结合能较弱；（5）氢键：依靠氢原子与2个电负性较大而原子半径较小的原子（如O，F，N等）相结合形成的。该键也既有方向性，也有饱和性，并且是一种较弱的键，其结合能约为50kJ/mol。3.什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？解：声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子，它是一种玻色子，服从玻色－爱因斯坦统计，即具有能量为)(qwj的声子平均数为11)()/()(TkqwjBjeqn对于一给定的晶体，它所对应的声子种类和数目不是固定不变的，而是在一定的条件下发生变化。4.周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q的取值将会怎样？解：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为Na的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j个原子和第jtN个原子的运动情况一样，其中t＝1，2，3…。引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q只能取一些分立的不同值。如果晶体是无限大，波矢q的取值将趋于连续。5.金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。6、简立方基本特征：晶胞常数为a，包括一个原子，半径为r，点阵内最近原子距离为a，配位数为6。故ra2，则致密度为：334/30.526ra7、面心立方基本特征：晶胞常数为a，包括四个原子，半径为r，点阵内最近原子距离为a22，配位数为12。故ra222，则致密度为：334(4/3)20.746ra8、体心立方基本特征：晶胞常数为a，包括两个原子，半径为r，点阵内最近原子距离为a23，配位数为8。故ra223，则致密度为：332(4/3)30.688ra密排六方基本特征：晶胞常数为a，包括六个原子，半径为r，点阵内最近原子距离为a=2r，配位数为12。2223322acr，则2/138ac，则致密度为：74.06223334623car9、米勒指数）六角晶系中见P343，晶面常用四个指数(h,k,l,m)表示，它们代表一个晶面在六角形半面基矢321,,aaa轴上的截距为lakaha321,,；在六度轴上的截距为mc，试写出654321522313131,,'0AAAAAAABABBAAAA和的面指数。)1211(,1,21,1,10:31面指数为的截距为解AA)1000(1,,,)0011(,,1,1)0211(,21,1,165432155221331面指数为的截距为面指数为的截距为面指数为的截距为AAAAAAABBABBAA10、倒格子的实际意义是什么？一种晶体的正格矢和相应的倒格矢是否有一一对应的关系？解：倒格子的实际意义是由倒格子组成的空间实际上是状态空间（波矢K空间），在晶体的X射线衍射照片上的斑点实际上就是倒格子所对应的点子。设一种晶体的正格基矢为1a、2a、3a，根据倒格子基矢的定义：c/2a2r][2][2][2213132321aabaabaab式中是晶格原胞的体积，即][321aaa，由此可以唯一地确定相应的倒格子空间。同样，反过来由倒格矢也可唯一地确定正格矢。所以一种晶体的正格矢和相应的倒格矢有一一对应的关系。9、二、试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。(20分)解：我们知体心立方格子的基矢为：)(2)(2)(2321kjiakjiakjiaaaa（3分）根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为：)(2][2)(2][2)(2][2213132321jiaabkiaabkjaabaaa(5分)由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。同理可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子，所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。（2分）三、已知由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的态密度可表示为（10）2122)(2)(mN。式中m是格波的最高频率。求证它的振动模总数恰好等于N。解：由题意可知该晶格的振动模总数为0()mNd(3分)122202()mmNd（2分）NNNmm)02(2arcsin20（5分）四、利用刚球密堆模型，求证球可能占据的最大体积与总体积之比为（20分）（1）简单立方6；（2）体心立方83；（3）面心立方62（4）六角密积62；（5）金刚石163。解：（1）在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数Ra2，则简立方的致密度（即球可能占据的最大体积与总体积之比）为：6)2(3413413333RRaR（4分）（2）在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数3/4Ra，则体心立方的致密度为：83)3/4(3423423333RRaR（4分）（3）在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数Ra22，则面心立方的致密度为：62)22(3423443333RRaR（4分）（4）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数Ra2，Rac)3/64()3/62(，则六角密积的致密度为：62)3/64(4)2(363464363462323RRRcaR（4分）（5）在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数Ra)3/8(，则金刚石的致密度为：163)3/8(34834833333RRaR（4分）五、计算题1、用钯靶KX射线投射到NaCl晶体上，测得其一级反射的掠射角为5.9°，已知NaCl晶胞中Na＋与Cl－的距离为2.82×10-10m，晶体密度为2.16g/cm3。求：（1）X射线的波长；阿伏加德罗常数。（20分）解：（1）由题意可知NaCl晶胞的晶胞参数10101064.51082.22am，又应为NaCl晶胞为面心立方结构，根据面心立方结构的消光规律可知，其一级反射所对应的晶面族的面指数为（111），而又易求得此晶面族的面间距为10102221111026.331064.5111adm（5分）又根据布拉格定律可知：91011110702.69.5sin1026.32sin2dm（5分）（2）由题意有以下式子成立NaClAMaN43（5分）∴23310364458.56.03810(5.6410)2.1610NaClAMNa（5分）2、一维晶格，晶格由两种离子组成，间距为R0，计算晶格的Madelung常数α。解：任取某一离子为原点，根据Njja11（+代表与参考离子异号，-代表与参考离子同号）则：41312112∵4321ln432xxxxx，当x=1时，41312112ln，故2ln23、写出量子谐振子系统自由能，证明在经典极限，自由能为：KThwKTUFqqoln证：经典极限,0时由教本P143hheKTVUFKThqq)/1ln(21)(KTweqKTwq1/00lnKTwuFq4、一晶体原胞基矢大小ma10104，mb10106，mc10108，基矢间夹角90，90，120。试求：（1）倒格子基矢的大小；（2）正、倒格子原胞的体积；（3）正格子(210)晶面族的面间距。解：(1)由题意可知，该晶体的原胞基矢为：ai1a)2321(2jiabkac3由此可知：][2321321aaaaab=abcbc23)2123(2ji=)31(2jia][2321132aaaaab=abcac232j=j322b][2321213aaaaab=abcab23232k=kc2所以1b＝22)31(12a＝110108138.134ma2b＝2)32(2b＝110102092.134mb3b＝212c＝110107854.02mc(2)正格子原胞的体积为：][321aaa＝)]()2321([)(kjiicba＝328106628.123mabc倒格子原胞的体积为：][321bbb＝)](2)32(2[)31(2kjjicba＝3303104918.1316mabc(3)根据倒格子矢量与正格子晶面族的关系可知，正格子(210)晶面族的面间距为：hhdK2=3210122bbb=ji)3434(42baa=mbaa1022104412.1)3131()1(1425、矢量a，b，c构成简单正交系。证明晶面族)(hkl的面间距为222)()()(1clbkahdhkl解：由题意可知该简单正交系的物理学原胞的基矢为：kajaiacba321由此可求得其倒格子基矢为：kkaaaaabjjaaaaabiiaaaaabcababcbacabcabcabc2)(2][][22)(2][][22)(2][][2321213321132321321根据倒格子矢量的性质有：32122bbbKlkhdhklhkl222)()()(12222clbkahlckbhakji5、由N个原子（离子）所组成的晶体的体积可写成3rNNvV。式中v为每个原子（离子）平均所占据的体积；r为粒子间的最短距离；为与结构有关的常数。试求下列各种结构的值：求：简单立方点阵；面心立方点阵；体心立方点阵；金刚石点阵；NaCl点阵；解：（1）在简单立方点阵中，每个原子平均所占据的体积33rav，故1；（2）在面心立方点阵中，每个原子平均所占据的体积33322)2(4141rrav，故2