高考向量难题精选及详解

11.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且2,DCBD2,CEEA2,AFFB则ADBECF与BC()A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直2.设(,1)Aa，(2,)Bb，(4,5)C为坐标平面上三点，O为坐标原点，若OA与OB在OC方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（）（A）453ab（B）543ab（C）4514ab（D）5414ab3.设(0,0)O,(1,0)A,(0,1)B,点P是线段AB上的一个动点,APAB,若OPABPAPB,则实数的取值范围是A112B2112C12122D2211224.已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则Aa⊥eBa⊥(a－e)Ce⊥(a－e)D(a＋e)⊥(a－e)5..已知非零向量AB→与AC→满足(AB→|AB→|+AC→|AC→|)·BC→=0且AB→|AB→|·AC→|AC→|=12,则△ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形6.已知O，N，P在ABC所在平面内，且,0OAOBOCNANBNC，且PAPBPBPCPCPA，则点O，N，P依次是ABC的A重心外心垂心B重心外心内心C外心重心垂心D外心重心内心7.已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.π2D.2π38.平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝()A．－2B．－1C．1D．29.若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝()A．2B.2C．1D.2210.已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.11.如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，BG→＝2GO→，若CD→∥AG→，且AD→＝15AB→＋λAC→(λ∈R)，则λ的值为________．212.在△ABC所在的平面上有一点P满足PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则△PBC与△ABC的面积之比是________．3答案1.由定比分点的向量式得:212,1233ACABADACAB12,33BEBCBA12,33CFCACB以上三式相加得1,3ADBECFBC所以选A.2.选A．由OA与OB在OC方向上的投影相同，可得：OAOCOBOC即4585ab，453ab．3.(1)(1,),(1)(1,1),(,)APABOPOAOBPBABAPABAPAB2(1,)(1,1)(,)(1,1)2410OPABPAPB解得:221122,因点P是线段AB上的一个动点,所以01,即满足条件的实数的取值范围是2112,故选择答案B.4.由|a－te|≥|a－e|得|a－te|2≥|a－e|2展开并整理得222210,,(2)480taetaetRaeae由得,得()0eae,即()aae,选(C)5.已知非零向量AB→与AC→满足(||||ABACABAC)·BC→=0，即角A的平分线垂直于BC，∴AB=AC，又cosA||||ABACABAC=12，∠A=3，所以△ABC为等边三角形，选D．6.解析：,0OAOBOCOABCNANBNCOABC由知为的外心；由知，为的重心;00,,,.PAPBPBPCPAPCPBCAPBCAPBAPBCPC，，同理，为ABC的垂心，选7.解析由(a＋2b)·(a－b)＝|a|2＋a·b－2|b|2＝－2，得a·b＝2，即|a||b|cos〈a，b〉＝2，cos〈a，b〉＝12.故〈a，b〉＝π3.答案B8.解析∵a＝(1,2)，b＝(4,2)，∴c＝m(1,2)＋(4,2)＝(m＋4,2m＋2)．又∵c与a的夹角等于c与b的夹角，∴cos〈c，a〉＝cos〈c，b〉．∴c·a|c||a|＝c·b|c||b|.即5m＋85|c|＝8m＋2025|c|，解得m＝2.答案D9∵(a＋b)⊥a，|a|＝1，∴(a＋b)·a＝0，∴|a|2＋a·b＝0，∴a·b＝－1.又∵(2a＋b)⊥b，∴(2a＋b)·b＝0.4∴2a·b＋|b|2＝0.∴|b|2＝2.∴|b|＝2，选B.10.|b|＝22＋12＝5，由λa＋b＝0，得b＝－λa，故|b|＝|－λa|＝|λ||a|，所以|λ|＝|b||a|＝51＝5.答案511.因为CD→∥AG→，所以存在实数k，使得CD→＝kAG→.CD→＝AD→－AC→＝15AB→＋(λ－1)AC→，又由BO是△ABC的边AC上的中线，BG→＝2GO→，得点G为△ABC的重心，所以AG→＝13(AB→＋AC→)，所以15AB→＋(λ－1)AC→＝k3(AB→＋AC→)，由平面向量基本定理可得15＝k3，λ－1＝k3，解得λ＝65.答案6512.因为PA→＋PB→＋PC→＝AB→，所以PA→＋PB→＋PC→＋BA→＝0，即PC→＝2AP→，所以点P是CA边上靠近A点的一个三等分点，故S△PBCS△ABC＝PCAC＝23.答案23