高教版中职数学《正弦定理与余弦定理》

1.3正弦定理与余弦定理第1章三角计算及其应用创设情境兴趣导入CBAcabsinsinabABcc，我们知道，在直角三角形ABC(如图)中，，即sinsinabccAB，，90Csin1C由于,所以，于是sinccC．所以sinsinsinabcABC．动脑思考探索新知ABCyabcxj当三角形为钝角三角形时，不妨设角A为钝角，如图所示，以A为原点，以射线AB的方向为x轴正方向，建立直角坐标系，则BCBAAC，两边取与单位向量j的数量积，得BCBABCBABC（）=+．jjjj由于9090BCBBAACA，，，，，jjj设与角A，B，C相对应的边长分别为a，b，c，故cos(90)0cos(90)aBbA，sinsinaBbA，即所以sinsinabAB．即sinsinsinabcABC．动脑思考探索新知当三角形为锐角三角形时，同样可以得到这个结论.于是得到正弦定理：在三角形中，各边与它所对的角的正弦之比相等.即sinsinsinabcABC．利用正弦定理可以求解下列问题：（1）已知三角形的两个角和任意一边，求其他两边和一角.（2）已知三角形的两边和其中一边所对角，求其他两角和一边.巩固知识典型例题ABC301356BCc，，例1已知在中，，求b．解由于sinsinbcBC，所以16sin6sin30232sinsin13522cBbC．巩固知识典型例题ABC3015230Aab，，例2已知在中，，求B．解由于sinsinabAB，所以130sin30sin3022sin2152152bABa．baBA30180B由，知，故，所以45B135B或．巩固知识典型例题ABC4530152Aab，，例3已知在中，，求B．解sin152sin451sin302bABa．baBA30180B由，知，故，所以45B135B或．已知三角形的两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，要讨论这个角的取值范围，避免发生错误.运用知识强化练习105,6Ca.35B.ABC4530AB，31．已知中，，b=，求C和a.ABC60A12．已知中，，a=12，b=8，求B（精确到）．动脑思考探索新知BAC如图所示，在△ABC中，BCACAB，所以)BCBCACABACAB（）（222ACABACAB222cosACABACABA222cosbcbcA．2222cosabcbcA即同理可得2222cosbacacB2222coscababC动脑思考探索新知余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其余两边的平方和减去这两边与其夹角余弦乘积的两倍.即2222cosabcbcA2222cosbacacB2222coscababC(1．8)90C222cab显然，当时，有．这就是说，勾股定理是余弦定理的特例．动脑思考探索新知公式（1.8）经变形后可以写成222cos2bcaAbc222cos2acbBac222cos2bcCaba（1．9）利用余弦定理可以求解下列问题：(1)已知三角形的两条边和它们的夹角，求第三边和其他的两个角；(2)已知三角形的三边，求三个角.巩固知识典型例题ABC6083Abc，，例4在中，，求a．分析这是已知三角形的两条边和它们的夹角，求第三边的问题，可以直接应用余弦定理．解2222cosabcbcA2283283cos6049,7a．所以巩固知识典型例题ABC例5在中，a=6，b=7，c=10，求ABC中的最大角1）.和最小角（精确到分析三角形中大边对大角，小边对小角．解由于a＜b＜c，所以C最大，A最小，由公式（1.9），有2222226710cos22670.1786bcCaba，所以100,C2222227106cos227100.8071bcaAbc，所以36A．运用知识强化练习7b.35B.15031．在△ABC中，B=，a=3，c=2，求b.2.在△ABC中，三边之比::3:5:7abc，求三角形最大内角.理论升华整体建构2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC余弦定理：；；．正弦定理、余弦定理的内容：sinsinsinabcABC正弦定理：；自我反思目标检测学习行为学习效果学习方法自我反思目标检测90B.在△ABC中，a=20，b=29，c=21，求角B．继续探索活动探究读书部分：阅读教材相关章节书面作业：教材习题1.3（必做）学习与训练1.3（选做）实践调查：编写一道有关余弦定理或正弦定理的习题