2-6-一维无限深方势阱

2-6一维无限深方势阱~1~2-6一维无限深方势阱1.一维自由粒子一维情形的薛定谔方程为222d,,2dixtVxxttmx(1)分离变量后，得到定态薛定谔方程222d2dVxxExmxψψ(2)对于自由粒子，0Vx，薛定谔方程(1)变为222d,,2dixtxttmx(3)而定态薛定谔方程(2)变为222d2dxExmxψψ(4)我们曾经验证过一维平面波ipxEte是方程(3)的解。现在，我们通过求解方程来得到这个解。从物理上考虑，E代表粒子的动能，因此我们推测0E才有意义。先假设0E，令22mEk(5)则方程(4)化为222d0dxkxxψψ(6)这是个二阶微分方程，对于确定的E（或k）值，两个线性无关的解可选为ikxe和ikxe(7)二者对应同一个能量值，因此能量E是二重简并的。将(7)式添上时间因子iEtitee，得ikxte和ikxte(8)可以看出，两个解分别代表向右和向左传播的平面波。参数k的含义是波数，两个解对应的波矢k分别为xke和xke。注意，通常将(8)式统一写为ikxte，此时k是波矢k的分量，可以取正值，也可以取负值。2-6一维无限深方势阱~2~和三维自由粒子一样，现在用(8)式的两个平面波的适当线性叠加，也可以得到驻波解cositkxe和sinitkxe，它们同样是方程的两个线性无关的解，并且属于能量本征值E。对于自由粒子，我们通常选择指数形式的解(8)式进行讨论，它们对应确定的动量值，其动量大小为pk。讨论(1)我们还漏掉一种情况，即0E。此时，方程(4)变成了0xψ，其通解为xAxBψ。由于线性项Ax是发散的，必须排除，因此让0A。由于0E，时间因子1iEte，因此,xtB。这当然也是不能归一化的，我们可以选择1B，它是平面波(8)在0k的特殊情形。(2)以上基于物理上的考虑，假设0E。从求解方程的角度来看，0E有没有意义？此时，我们令2mE，注意0，此时方程(4)化为222d0dxxxψψ(9)这个方程的两个线性无关解为xe和xe。它们分别在x和x时发散，因此不是模平方可积的，从而不代表物理上有意义的状态。由此可知，在量子力学中，自由粒子的能量是非负的，这和经典力学情形一样。通过傅里叶变换，可以得到平面波的动量分布。设粒子的动量pp，得到1,2πipxEtpxte，其中22pEm(10)其中选择了合适的归一化系数。对,0px进行傅里叶变换，得11,0,0dd2π2πiipxppxpcpxexexpp(11)注意函数是个偶函数，因此pppp。函数形式的动量分布，正是动量具有确定值的体现。2.一维无限深方势阱设粒子在如下势场中运动0,,xaVxxa(12)2-6一维无限深方势阱~3~这种势场称为一维无限深方势阱，势阱宽度为2a，如图1所示。图1一维无限深方势阱在势阱外（xa），Vx，此时波函数只能为0，0xψ。这个结果，我们将在后面讨论有限深方势阱时证明。在势阱内（xa），0Vx，粒子满足的定态薛定谔方程为222d2dxExmxψψ(13)这和自由粒子满足的薛定谔方程相同，只是限制在势阱内部而已。因此，这一段方程的解和自由粒子的解相同，可以取为ikxe和ikxe，也可以取为coskx和sinkx。不过应当注意，虽然参数k仍由(5)式定义，但由于波函数限制在势阱内，因而不具有确定的波数和动量（见后面讨论）。因此，这里k只是一个与能量E有关的参数，其含义见后面讨论。对于束缚在势阱内的粒子，取三角函数的解计算会更方便。因此，方程的通解在势阱内的部分可写为sincos,xAkxBkxxaψ(14)由于波函数是连续的，因此在势阱两端，必须满足如下条件0aaψψ(15)注意，并非对于任何k值或E，波函数都能满足条件(15)，能够满足需要的E值就是能量本征值。利用条件(15)，可得sincos0aAkaBkaψ(16)sincos0aAkaBkaψ(17)由此可得sin0cos0AkaBka(18)首先，,AB不能同时取非零值。其次，如果,AB同时为零，则波函数在势阱内外处处为零，2-6一维无限深方势阱~4~这是薛定谔方程在任何情况下都有的平庸解。它是一个非平方可积的函数，而且也不像平面波那样在数学上很重要，因此今后我们不再提这个无用的平庸解。因此，我们得到了两组解0,cos0Aka(19)0,sin0Bka(20)由此可知，满足要求的k值为π,1,2,2nkan(21)相应的能量本征值为2222π8nnEma(22)当n为奇数时，取第一组解πcos,2nnxBxxaaψ(23)当n为偶数时，取第二组解πsin,2nnxAxxaaψ(24)0n时，依然得到平庸解。n取负整数也会满足条件(19)或(20)，但得到的波函数最多与相应正整数标记的波函数相差一个负号，和后者描述同一个量子态，因此我们限制n为正整数。两种情况的波函数可以合并为一个表达式ππsin,220,nnnAxxaaxxaψ(25)其中1,2,n，这里我们补写了波函数阱外部分，它恒等于零。薛定谔方程是个线性方程，因此有个未确定的常数因子A。可以利用归一化条件来确定这个常数的模2222ππdsind122anannxxAxxAaaψ(26)选择A为实数，由此得到1Aa(27)因此1ππsin,220,nnnxxaaxaxaψ(28)讨论(1)能量本征函数随着n的增加是奇偶交替的：n是奇数时，nxψ是偶函数；n是偶数时，nxψ是奇函数。以后会知道，当VxVx时，能量本征态具有确定的对称性。2-6一维无限深方势阱~5~(2)势阱内（不包括势阱两端）波函数的零点称为节点。随着能量的增加，波函数的节点逐次增加1，基态无节点，nxψ有1n个节点。注意，波函数的节点不可能同时为极值点。因为极值点意味着波函数的二阶导数大于零（极小值）或者小于零（极大值），而根据定态薛定谔方程(2)，波函数的节点处二阶导数等于零。因此，节点是波函数与x的交点而不是切点。(3)容易证明（作为练习题），不同的本征函数相互正交1，即当nm时d0nmxxxψψ(29)通常把正交性和归一性合并为nmnmxxdxψψ(30)称本征函数组,1,2,nxnψ是正交归一的。(4)本征函数组,1,2,nxnψ是完备的。也就是说，任何在势阱内的连续函数fx都可以用这组函数来展开0nnnfxcxψ(31)其中dnncxfxxψ(32)注意(31)式仅在势阱内成立，我们并未定义fx在势阱外的值，而等号右端在势阱外为零。稍后我们将说明这个完备性为什么成立。(5)将势阱往右平移a，即势阱内部的范围变为0~2a，由此得到不对称势阱。等价的说法是，把坐标原点选在势阱左端。很明显，坐标原点的重新选择不影响能级。能量本征函数可以由(28)式做替换xxa得到1πsin,0220,0,2nnxxaxaaxxaψ(33)势阱宽度仍为2a，可以做参数替换2aa将势阱宽度变为a，此时能级和能量本征函数变为2222π2nnEma(34)1正交性的定义将在第三章给出。2-6一维无限深方势阱~6~2πsin,00,0,nnxxaxaaxxaψ(35)当然，也可以通过求解定态薛定谔方程来得到这个结果。对于这种不对称势阱，上述关于本征态的性质，比如节点数、正交归一性、完备性都成立，这些性质和坐标原点和势阱参数的选择无关。而函数的奇偶性，变成了关于势阱中心反对称或者对称。本征函数组(35)的完备性是显而易见的，因为根据傅里叶级数的理论，在0~a上的连续函数，都可以用正弦函数(35)来展开。从细节上讲，傅里叶级数是对周期函数进行展开，所用的三角函数也是定义在无穷区间上的周期函数。比如，已知函数fx在0~a上的定义，先将fx作奇延拓，即在~0a上，定义fxfx，然后将函数以2a为周期延拓到整个实轴上。因为是奇函数，所以傅里叶级数中只出现正弦，基波周期为2a。这里我们只关注势阱内部分，将fx用本征函数组(35)展开。当然，也可以对fx作偶延拓，再作周期性延拓，这样会得到余弦级数；或者直接以a为周期作周期性延拓，得到标准形式的傅里叶级数，此时基波的周期为a而不是2a。不过，这两种情况和这里的能量本征函数无关。(6)仍然回到~aa范围的势阱的讨论。将能量本征函数添上时间因子niEte，可得定态波函数（仅写出阱内部分）ππ,sin,22nniiEtEtnnnnxtxeAxexaaψ(36)利用欧拉公式，可以将其改写为指数形式12ππ,expexp,22nnnininxtCxEtCxEtxaaa(37)我们已经将相因子π2ninei吸收到了新的常数12,CC中111211,22nnnCiCiaa(38)(37)式右端两项分别代表向右和向左传播的“平面波”，二者叠加形成驻波。这里加引号的意思是，这两项不是真正的平面波，而只是平面波的一段。真正的平面波必须是无限长的，对应确定的动量值。(37)式右端两项都不具有确定的动量值，这通过傅里叶变换就能看出来。和自由粒子一样，我们对0t时刻的波函数进行变换即可2-6一维无限深方势阱~7~ππ2212111,0,0d2πdd2π2πππ12π22ipxininpxpxaaaaaanncpxexCCexexanniFpFpaa(39)其中sin//paFppa(40)由此可见，动量不具有确定值，而是有一个分布。动量分布可以看作是分别以π2npa与π2npa为中心两个“衍射函数”π2nFpa与π2nFpa的叠加。由此可知，参数k的含义是两个“衍射函数”的中心相应的波数。