数字信号处理-陈后金-第2章离散Fourier变换3

利用DFT分析信号频谱问题的提出四种信号频谱之间的关系利用DFT分析连续非周期信号频谱混叠现象、泄漏现象、栅栏现象DFT参数选取工程实际应用1.连续时间非周期信号)(txttxXtxtde)()j()(jtx(t)0X(j)0图1连续非周期信号及其频谱问题的提出2.连续时间周期信号)(txT问题的提出TtnTTdtetxTnXtx0j0)(1)()(t0)(tTxT-TX(n0)0图2连续周期信号及其频谱3.离散时间非周期信号][kx问题的提出kkkxXkxjje][)e(][kx[k]0X(ej)0......π2πππ2图3离散非周期信号及其频谱问题的提出4.离散时间周期信号][~kx102j][~][~][~NkmkNekxmXkx0][~kxkN-N图4离散周期信号及其频谱m][~mX0N-N......问题的提出如何利用数字方法分析信号的频谱？ttxXtxtde)()j()(jTtnTTttxTnXtxde)(1)()(0j0kkkxXkxjje][)e(][10π2je][~][~][~NkmkNkxmXkx问题的提出有限长序列xN[k]的傅立叶变换DFT10π2je][][][NkmkNNNNkxmXkx0]x[kkN-1Nm][mX0N-1NDFT可以直接计算周期序列的DFS问题的提出可否利用DFT分析以上四种信号的频谱？基本原理利用信号傅立叶变换具有的信号时域与频域之间的对应关系，建立信号的DFT与四种信号频谱之间的关系。时域的离散化时域的周期化频域周期化频域离散化tx(t)0X(j)0t0)(~txkx[k]00][~kxk四种信号的时域与频域对应关系X(ej)0......22m][~mX0N-N......X(n0)0FTFSDTFTDFS)(tx抽样离散化][kx周期化][~kx)(jXmmA)(jeX22TA利用DFT分析连续非周期信号的频谱DFT实现假设连续信号持续时间有限，频带有限mN][mXTAmN][mXTAN][mXTA~利用DFT分析连续非周期信号的频谱1.无限长，其频带有限)(tx][mX][kx加窗22)(jeXN022)(jeX0TAm)j(X0Amm][mX01N)(tx抽样][kxNDFT利用DFT分析连续非周期信号的频谱2.有限长，其频带无限)(tx)j(X0A22)(jeX0m][mX01N)(tx抽样][kx][mXDFT利用DFT分析连续非周期信号的频谱3.无限长，其频带无限)(tx][kxN加窗出现三种现象：混叠、泄漏、栅栏)j(X0A22)(jeX022)(jeXN0m][mX01N][kx)(tx抽样][mXDFT混叠现象、泄漏现象、栅栏现象1.混叠现象：减小抽样间隔T，抗混滤波)j(X0A0A22)(j0eX)j(X0A0mm)(tx抗混滤波抽样间隔T))2(1j(1))(j(1)(samnTXTnXTeXnnj)(0tx抽样][0kx][mXDFT混叠现象、泄漏现象、栅栏现象2.泄漏现象：选择合适的窗函数)()()(jjjeWeXeXNN][][][][kwkxkxkxNN加窗][mXDFT其中：凯塞窗布拉克曼窗哈明窗汉宁窗矩形窗][kwN混叠现象、泄漏现象、栅栏现象2.泄漏现象：选择合适的窗函数矩形窗其它001][Nkkw窗函数一：时域波形幅度频谱0510152025303500.20.40.60.81-1-0.500.51010203040矩形窗：其它001][Nkkw)(jeWNNN2N4N2主瓣旁瓣旁瓣021jje)2/sin()2/sin(]}[{DTFT)e(NNNNkRWN/π4ΔN/π2Δw矩形窗：其它001][Nkkw主瓣在处有一个峰值，表示其主要是由直流分量组成。由于矩形窗函数在其两个端点的突然截断，使得频谱中存在许多高频分量。π32)2/π3(1)2/π3sin()2/π3sin()()(0j/π3jNNNNeWeWNdB46.13)()(log200j/π3j10eWeWAN混叠现象、泄漏现象、栅栏现象2.泄漏现象：选择合适的窗函数汉宁窗（Hanning）窗函数二：其他00)/π2cos(5.05.0][NkNkkw混叠现象、泄漏现象、栅栏现象2.泄漏现象：选择合适的窗函数汉宁窗（Hanning）窗函数二：时域波形幅度频谱0510152025303500.20.40.60.81-1-0.500.5105101520混叠现象、泄漏现象、栅栏现象2.泄漏现象：选择合适的窗函数哈明窗（Hamming）窗函数三：其他00)/π2cos(46.054.0][NkNkkw混叠现象、泄漏现象、栅栏现象2.泄漏现象：选择合适的窗函数哈明窗（Hamming）窗函数三：时域波形幅度频谱0510152025303500.20.40.60.81-1-0.500.5105101520混叠现象、泄漏现象、栅栏现象2.泄漏现象：选择合适的窗函数布拉克曼窗（Blankman）窗函数四：其他00)/π4cos(08.0)/π2cos(5.042.0][NkNkNkkw混叠现象、泄漏现象、栅栏现象2.泄漏现象：选择合适的窗函数布拉克曼窗（Blankman）窗函数四：时域波形幅度频谱0510152025303500.20.40.60.81-1-0.500.51051015混叠现象、泄漏现象、栅栏现象2.泄漏现象：选择合适的窗函数凯塞窗（Kaiser）窗函数五：NkINkIkw0,)()/21(1(][020混叠现象、泄漏现象、栅栏现象2.泄漏现象：选择合适的窗函数凯塞窗（Kaiser）窗函数五：时域波形幅度频谱0510152025303500.20.40.60.81-1-0.500.5105101520窗函数类型主瓣宽度旁瓣峰值衰耗(dB)矩形4/N-13Hanning8/N-31Hamming8/N-41Blackman12/N-57Kaiser（）10/N-5786.5混叠现象、泄漏现象、栅栏现象2.泄漏现象：选择合适的窗函数常用窗函数特性例：为了说明时域加窗对连续信号频谱分析的影响，现分析一无穷长的余弦信号的频谱。tttx),cos()(0)]()([π)j(00XkkkTkx),cos()cos(][00)]()([π)e(0202jX][kx)(tx][kxN加窗抽样][mXDFT][][][kwkxkxNN)]()([5.0)e(00jNNNWWX][kx)(tx][kxN加窗抽样][mXDFT)j(X000()())j(32X000频率泄漏)j(64X000频率泄漏例：已知一连续信号为若以抽样频率Hz对该信号进行抽样，试求由DFT分析其频谱时，能够分辨此两个谱峰所需的最少样本点数。)2cos()2cos()(21tftftxHz1001fHz1202f600samf)/2cos()/2cos()(][sam2sam1fkffkftxkxkTt12fffsam222fffTN30/samffNN2w矩形窗例：已知一连续信号为若以抽样频率Hz对该信号进行抽样，试求由DFT分析其频谱时，能够分辨此两个谱峰所需的最少样本点数。)2cos()2cos()(21tftftxHz1001fHz1202f600samf利用矩形窗计算有限长余弦信号频谱N=30;%数据的长度L=512;%DFT的点数f1=100;f2=120;fs=600;%抽样频率T=1/fs;%抽样间隔ws=2*pi*fs;t=(0:N-1)*T;x=cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t);X=fftshift(fft(x,L));w=(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi);plot(w,abs(X));ylabel(‘幅度谱’);例：已知一连续信号为若以抽样频率Hz对该信号进行抽样，试求由DFT分析其频谱时，能够分辨此两个谱峰所需的最少样本点数。)2cos()2cos()(21tftftxHz1001fHz1202f600samf-300-200-100010020030005101520幅度谱频率(Hz)-300-200-10001002003000246810幅度谱频率(Hz)信号样点数N=30信号样点数N=20加矩形窗例：已知一连续信号为若以抽样频率Hz对该信号进行抽样，试求由DFT分析其频谱。)2cos(15.0)2cos()(21tftftxHz1001fHz1502f600samf利用Hamming窗计算有限长余弦信号频谱N=50;%数据的长度L=512;%DFT的点数f1=100;f2=150;fs=600;%抽样频率T=1/fs;%抽样间隔ws=2*pi*fs;t=(0:N-1)*T;f=cos(2*pi*f1*t)+0.15*cos(2*pi*f2*t);wh=(hamming(N))';f=f.*wh;F=fftshift(fft(f,L));w=(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi);plot(w,abs(F));ylabel('幅度谱')例：已知一连续信号为若以抽样频率Hz对该信号进行抽样，试求由DFT分析其频谱。)2cos(15.0)2cos()(21tftftxHz1001fHz1502f600samf-300-200-100010020030001020频率(Hz)幅度谱-300-200-100010020030001020幅度谱频率(Hz)-300-200-100010020030001020频率(Hz)幅度谱-300-200-100010020030001020频率(Hz)幅度谱矩形窗N=25矩形窗N=50海明窗N=25海明窗N=50混叠现象、泄漏现象、栅栏现象3.栅栏现象：序列后补零，ZFFT1,,1,0,|)e(][π2jNmXmXmNN][kxN)(jeXN)Hz(ΔsamcNff混叠现象、泄漏现象、栅栏现象3.栅栏现象：序列后补零，ZFFT1010][][LkNNkkxkxNLNLLff),Hz(Δsamc}2,3,3,2{][kx}0,0,0,0,2,3,3,2{][1kxkkkkekxekxkxeXj-30j-j][][]}[{DTFT)()21cos623cos4(23.j-ekmkkmNNkekxekxmX42j-302j-10][][][j}1,0,j1,10{解：例：j}1,0,j1,10{mmeeXmX223.j-42j)21cos623cos4()(][，m=0,1,2,3}2,3,3,2{][kx}0,0,0,0,2,3,3,2{][1kx解：例：kkkkekxekxkxeXj-701j-11j1][][]}[{DTFT)()21cos623cos4(23.j-ekkekxj-301][，m=0,1,2,…,7kmkkmkkmNNkekxekxekxmX82j-3082