8-5隐函数存在定理与隐函数微分法

第八章第五节机动目录上页下页返回结束隐函数存在定理与隐函数微分法一、一个方程的情形二、方程组的情形本节讨论:1)方程在什么条件下才能确定隐函数.例如,方程当C0时,能确定隐函数;当C0时,不能确定隐函数;2)在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性及求导方法问题.机动目录上页下页返回结束一、一个方程的情形隐函数存在定理1：设函数),(yxF在点),(00yxP的某一邻域内具有连续的一阶偏导数，且0),(00yxF，0),(00yxFy，则方程0),(yxF在点),(00yxP的某一邻域内唯一确定了一个具有连续一阶导数的函数)(xyy，它满足条件)(00xyy，并有隐函数的求导公式yxFFdxdy0),(.1yxF机动目录上页下页返回结束证明：只推导公式。由条件，知0)](,[xyxF两边对x求导，得0dxdyyFxF而,0),(00yxFy解得yxFFdxdy机动目录上页下页返回结束例１验证方程0122yx在点)1,0(的某邻域内能唯一确定一个具有连续一阶导数的隐函数)(xyy，且满足1)0(y，并求)0(y，)0(y的值。解令1),(22yxyxF则,2xFx,2yFy,0)1,0(F,02)1,0(yF依定理知方程0122yx在点)1,0(的某邻域内能唯一确定一个具有连续一阶导数的隐函数)(xyy，且1)0(y。机动目录上页下页返回结束yxFFdxdy,yx,00xdxdy222yyxydxyd2yyxxy,13y.1022xdxyd则注意：此题在点)0,1(附近不满足定理的条件，不能确定隐函数)(xyy，但能唯一确定隐函数)(yxx机动目录上页下页返回结束3。求已知0220,,01sinxxxdxyddxdyyxey解1：例2：机动目录上页下页返回结束,1sin),(yxeyyxFx设,yeFxx,cosxyFy00xyxxFFdxdy则0cosxxxyye由条件易知0,0yx时1022ddxxy02)(cos)1sin)(())(cos(xxxxyyyyexyye用公式解2：0xy30dd22xxy0)0(,01sinyyxeyx两边对x求导两边再对x求导yyyycos)(sin2令x=0,注意此时1,0yy0,0xy代入，解得方程两边直接求导机动目录上页下页返回结束。求已知0220,,01sinxxxdxyddxdyyxey例2：解3：方程两边直接求微分机动目录上页下页返回结束。求已知0220,,01sinxxxdxyddxdyyxey例2：cos0xydyedxxdyydxdydx,cosxyyex01xdydx解得：，,0,0yx时又当2203xdydx解得：22dydx2()(cos)()(sin1)(cos)xxeyyxeyyyyx0,0,1xyy代入，隐函数存在定理2设函数),,(zyxF在点,(0xP),00zy的某一邻域内有连续的一阶偏导数，且,(0xF0),00zy，0),,(000zyxFz，则方程,,(yxF0)z在点),,(000zyxP的某一邻域内能唯一确定一个具有连续一阶偏导数的函数),(yxfz，它满足条件),(000yxfz，并有0),,(.2zyxFzxFFxzzyFFyz机动目录上页下页返回结束定理证明从略,仅就求导公式推导如下:0)),(,,(yxfyxF两边对x求偏导xFzxFFxzzyFFyz同样可得则zFxz0机动目录上页下页返回结束例3：设),(xyzzyxfz，求xz，yx，zy。思路：把z看成yx,的函数对x求偏导数得xz，把x看成yz,的函数对y求偏导数得yx，把y看成zx,的函数对z求偏导数得zy.解1方程两边同时求导，机动目录上页下页返回结束把z看成yx,的函数对x求偏导数得xz)1(1xzf),(2xzxyyzf整理得xz,12121fxyffyzf把x看成yz,的函数对y求偏导数得0),(2yxyzxzf整理得,2121fyzffxzfyx机动目录上页下页返回结束),(xyzzyxfz)1(1yxf把y看成zx,的函数对z求偏导数得)1(11zyf),(2zyxzxyf整理得zy.12121fxzffxyf机动目录上页下页返回结束),(xyzzyxfz解2方程的两边同时求微分，x、y、z看成相互独立的变量)()(21xydzxzdyyzdxfdzdydxfdz,1121212121dyfxyffxzfdxfxyffyzfdz,121212121dzfyzffxyfdyfyzffxzfdx.121212121dxfxzffyzfdzfxzffxyfdy机动目录上页下页返回结束),(xyzzyxfz解3利用公式，x、y、z看成相互独立的变量令),(),,(xyzzyxfzzyxF2121211fxyfFfxzfFfyzfFzyx解得zxFFxz,12121fxyffyzf,2121fyzffxzfxyFFyxyzFFzy.12121fxzffxyf机动目录上页下页返回结束),(xyzzyxfz0),,(0),,(.1zyxGzyxF二、方程组的情形隐函数存在定理3：设),,(zyxF、),,(zyxG在点),,(000zyxP的某一邻域内有对各个变量的连续一阶偏导数，且0),,(000zyxF,0),,(000zyxG，偏导数所组成的雅可比行列式：0),(),(),,(),,(000000zyxzyxzGyGzFyFzyGFJ机动目录上页下页返回结束则方程组0),,(zyxF，0),,(zyxG在点),,(000zyxP的某一邻域内唯一确定了一组具有连续一阶导数的函数)(xyy，)(xzz，它们满足条件)(00xyy,)(00xzz,并有,),(),(1zyzyzxzxGGFFGGFFzxGFJdxdy,),(),(1zyzyxyxyGGFFGGFFxyGFJdxdz机动目录上页下页返回结束例4：求由方程组2)0,0(21222zyxzyzyx所确定函数)(xyy，)(xzz的导数dxdy，dxdz。解1:直接代入公式；解2:将所给方程的两边对求导得x0122dxdzdxdydxdzzdxdyyx解得zyyxdxdzzyzxdxdy2222机动目录上页下页返回结束解3将所给方程的两边求微分得022dzdydxzdzydyxdx解得dxzyyxdzdxzyzxdy2222zyyxdxdzzyzxdxdy2222机动目录上页下页返回结束2)0,0(21222zyxzyzyx0),,,(0),,,(.2vuyxGvuyxF隐函数存在定理4：设),,,(vuyxF，),,,(vuyxG在点),,,(0000vuyxP的某一邻域内有对各个变量的连续一阶偏导数，且0),,,(0000vuyxF,),,,(0000vuyxG0，并且偏导数所组成的雅可比行列式0),(),(PPvGuGvFuFvuGFJ机动目录上页下页返回结束则方程组0),,,(vuyxF，0),,,(vuyxG在点),,,(0000vuyxP的某一邻域内唯一确定一组具有连续一阶偏导数的函数),(yxuu，),(yxvv，它们满足条件),(000yxuu,vv0),(00yx，并有,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu机动目录上页下页返回结束vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu.),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv机动目录上页下页返回结束例5：设0yvxu，1xvyu，求xu，yu，xv和yv.解1:直接代入公式；解2:将所给方程的两边对求导并移项x,vxvxxuyuxvyxux机动目录上页下页返回结束解得：,22yxyvxuxu,22yxxvyuxv将所给方程的两边对求导，用同样方法得y,22yxyuxvyu.22yxyvxuyv机动目录上页下页返回结束解3将所给方程的两边求微分得,00vdxxdvudyyduvdyydvudxxdu,2222dyyxyuxvdxyxyvxudu解得：,2222dyyxyvxudxyxxvyudv0yvxu1xvyu反函数存在定理：设函数组)1(),(),(vuyyvuxx在点),(00vu的某一邻域内有连续的一阶偏导数，且0),(),(),(00vuvuyxJ，令),(000vuxx，),(000vuyy，则在点),(00yx的某一邻域内存在唯一的有连续的一阶偏导数的函数组机动目录上页下页返回结束满足函数组（1），且),(000yxuu，),(000yxvv，这时（2）称为（1）的反函数，并且vxJyuvyJxu11uxJyvuyJxv11)2(),(),(yxvvyxuu机动目录上页下页返回结束xuxv例6：计算极坐标变换sin,cosryrx的反变换的导数.xrx同样有22yxyyr22yxxy所以由于vyJ1uyJ1cos1rrsin1rryJ1cos22yxxryJ122yxyrr机动目录上页下页返回结束解1：也可直接用隐函数存在定理4的公式例6：计算极坐标变换sin,cosryrx的反变换的导数.,)sin(cos1xrxr同样有22yxyyr22yxxy解得机动目录上页下页返回结束解2：等式两边同时关于x求导，得xrxrcossin0xrcos22yxxxsin1r22yxy例6：计算极坐标变换sin,cosryrx的反变换的导数.cos(sin),dxdrrd故22yxyyr22yxxy解得机动目录上页下页返回结束解3：等式两边同时求微分，得sincosdydrrdcossindrdxdy2222xydxdyxyxysincosddxdyrr2222yxdxdyxyxyxr22,xxyx22,yxy.,0),(,sin,0),,(),,,(2dxduzfxyzexzyxfuy求且，具有一阶连续偏导数设