数值积分课件-(《计算方法》)

数值计算方法2020/4/71第7章数值积分§1插值型求积公式§2复化求积公式§3龙贝格(Romberg)求积方法数值计算方法2020/4/72§1插值型求积公式在一元函数的积分学中,我们已经熟知,若函数f(x)在区间［a,b]上连续且其原函数为F(x),则可用牛顿―莱布尼兹公式()()()bafxFbFa(7―1)来求定积分。数值计算方法2020/4/73公式(7―1)虽然在理论上或在解决实际问题中都起了很大的作用,但它并不能完全解决定积分的计算问题。因为定积分的计算常常会碰到以下三种情况:(1)被积函数f(x)的原函数F(x)不易找到。许多很简单的函数,例如2sin1,,lnxxexx其原函数都不能用初等函数表示成有限形式。数值计算方法2020/4/74(2)被积函数f(x)没有具体的解析表达式。其函数关系由表格或图形表示,无法求出原函数。41badxx其被积函数的原函数就比较复杂,从数值计算角度来看,计算量太大。411x(3)尽管f(x)的原函数能表示成有限形式但其表达式相当复杂。例如定积分数值计算方法2020/4/75图7.1如图7.1,若用左矩形近似地代替曲边梯形,则得到左矩形公式(7―2)()()()bafxdxbafa数值计算方法2020/4/76同样可得到右矩形公式：()()()bafxdxbafb(7―3)数值计算方法2020/4/77图7.2如图7.2,若用梯形的面积近似地代替曲边梯形的面积,则得到计算定积分的梯形公式()[()()]2babafxdxfafb(7―4)数值计算方法2020/4/78如图7.3,若用抛物线代替曲线f(x),则可得到抛物线公式(或辛普生公式)()[()4()()]2babaabfxdxfaffbb(7―5)图7.3数值计算方法2020/4/79此外,众所周知的梯形公式:I(f)≈(b-a)[f(a)+f(b)]/2和Simpson公式:I(f)≈(b-a)[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)]/6则分别可以看作用a,b,c=(a+b)/2,三点高度的加权平均值[f(a)+f(b)]/2和[f(a)+4f(c)+f(b)]/6作为平均高度f(ξ)的近似值.数值计算方法2020/4/710更一般地,取区间[a,b]内n+1个点{xi},(i=0,1,2,…n)处的高度{f(xi)}(i=0,1,…,n)通过加权平均的方法近似地得出平均高度f(ξ),这类求积方法称为机械求积:)()()(0ibaniixfabdxxf数值计算方法2020/4/711或写成:数值积分公式求积系数求积节点)()(0kbankkxfAdxxf(1)数值计算方法2020/4/712记)2()()(0knkknxfAfI)3(,)()()()()(0bankkknxfAdxxffIfIfR称(2)为数值求积公式,(3)为求积公式余项(误差).构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有(i)确定求积系数Ak和求积节点xk；(ii)求积公式的误差估计和收敛性为了构造形如式(2)的求积公式,需要提供一种判定求积方法精度高低准则数值计算方法2020/4/713求积公式的代数精度定义1称求积公式(2)具有m次代数精度,如果它满足如下两个条件:(i)对所有次数≤m次的多项式,有(ii)存在m+1次多项式,使得)(xPm0)()()(mnmmPIPIPR)(1xPm0)()()(111mnmmPIPIPR定义1中的条件(i),(ii)等价于:0)()()0(,0)()()()(1mknkkxRiimkxIxIxRi数值计算方法2020/4/714插值型求积公式在积分区间[a,b]上取n+1个节点xi，i=0,1,2,…,n,作f(x)的n次代数插值多项式（拉格朗日插值公式）:则有为插值余项于是有njjjnxfxlxL0)()()()()()(xRxLxfnn)()!1()()(1)1(xwnfxRnn数值计算方法2020/4/715取称(4)式为插值型求积公式,其中求积系数Ak由(5)式确定.bajnjbajbanbanbadxxRxfdxxldxxRdxxLdxxf)()()()()()(0(4)(5)babaknkkdxxlxfdxxf)()()(0Ak0()()nbikaikiikxxAdxxx由节点决定，与f(x)无关。数值计算方法2020/4/716数值计算方法2020/4/717推论1求积系数满足:0(1)0[]()()[()()]()()(1)!nbbkknaaknnbxkakRffxdxAfxfxLxdxfxxdxn误差定理1形如的求积公式至少有n次代数精度该公式为插值型（即：）nkkkxfA0)(bakkdxxlA)(abAnjj0数值计算方法2020/4/718现用第六章介绍的插值多项式Pn(x)来代替被积函数f(x),即有1.1牛顿―柯特斯公式(Newton―Cotes)()()bbaafxdxxdx()()bbnaafxdxPxdx取节点为等距,即a=x0＜x1＜…＜xn=b建立数值积分公式最基本的思想是选取一个既简单又有足够精度的函数φ(x),用φ(x)代替被积函数f(x),于是有数值计算方法2020/4/719利用拉格朗日插值多项式10,0,1,2,,10,1,2,,kkibahxxknnxxihin()()()nnfxpxRx(7―6)其中000(1)1()()()()()()(,)(1)!nnnkniiiiikikkinnnxxPxlxyyxxfRxxabn(7―7)数值计算方法2020/4/720这里yi=f(xi),对式(7―6)两边积分得(1)1000()()()1[]()()(1)!()bbbnnaaannbbnkinaaikikkiniinifxdxpxdxRxdxxxdxyfxdxxxnayRf数值计算方法2020/4/721为牛顿―柯特斯(Newton-Cotes)求积公式,Rn(f)为牛顿―柯特斯求积公式的余项。0(1)17-81()()()7-9(1)!nbkiakikkibnnnaxxadxxxRffxdxn（）（）我们称0()7-10nbiiaifxdxay（）数值计算方法2020/4/722()000()nnbnnkiiakkikkikixxbaskadxdsbacxxnik令x=x0+sh,0≤s≤ndx=hds=(b-a)/nds(7―11)0,1,2,,in()00001(1)()!()!nnnikkininnkkiskCdsnikskdsinin数值计算方法2020/4/723(1)12(1)00()()()(1)!()(),(,)(1)!nbnannnnjfRfwxdxnhfsjdsabnNewton-Cotes公式的误差为:与x有关注意:由(7-11)式确定的Cotes系数只与i和n有关,与f(x)和积分区间[a,b]无关,且满足:()01nniiC(7-9)数值计算方法2020/4/724称Ci(n)为柯特斯求积系数。很显然,当n=1时,可算得1(1)001(1)101(1)212CsdsCsds此时式(7―10)为()[()()]2babafxdxfafb(7―12)这是梯形公式。数值计算方法2020/4/725当n=2时,可得2(2)002(2)102(2)2011(1)(2)4614(2)2611(1)46CssdsCssdsCssds于是()[()4()()]62babaabfxdxfaffb(7―13)这是抛物线(Simpson)公式。数值计算方法2020/4/726当n=3时,3(3)003(3)103(3)203(3)3011(1)(2)(3)18813(2)(3)6813(1)(3)6811(1)(2)188CsssdsCsssdsCsssdsCsssds代入(7―10)式得到求积公式0123()[()3()3()()]7-148babafxdxfxfxfxfx（）数值计算方法2020/4/727类似地可分别求出n=4,5,…时的柯特斯系数,从而建立相应的求积公式。具体结果见表7―1。从表中可以看出,当n≤7时,柯特斯系数为正;从n≥8开始,柯特斯系数有正有负。因此,当n≥8时,误差有可能传播扩大,牛顿―柯特斯求积公式不宜采用。柯特斯系数Ci(n)仅与n和i有关,与被积函数f(x)无关,且满足()01nniiC(7―15)事实上,式(7―10)对f(x)=1是准确成立的。数值计算方法2020/4/728表7―1数值计算方法2020/4/729定理当阶数n为偶数时,Newton-Cotes公式(8)至少具有n+1次代数精度.证明只需验证当n为偶数时,Newton-Cotes公式对f(x)=xn+1的余项为零.由于f(x)=xn+1,所以f(n+1)(x)=(n+1)!.由式(7-9)得nnjndtjthfR002)()(引进变换t=u+n/2,因为n为偶数,故n/2为整数,于是有2202)2()(nnnjndujnuhfR据此可断定R(f)=0,因为上述被积函数是个奇函数.数值计算方法2020/4/730Newton-Cotes公式的数值稳定性现在讨论舍入误差对计算结果产生的影响.设用公式近似计算积分时,其中计算函数值f(xj)有误差εj(j=0,1,2,…,n).设计算Cj(n)没有误差,中间计算过程中的舍入误差也不考虑,则在式(10)的计算中,由εj引起的误差为njjnjnxfCabfI0)()()()(badxxffI)()((10)数值计算方法2020/4/731njjnjnjjjnjnjjnjnCabxfCabxfCabe0)(0)(0)()())(()()()(如果Cj(n)都是正数,并设||max0jnj)(||)(||0)(abCabenjnjn故en是有界的,即由εj引起的误差受到控制,不超过ε的(b-a)倍,保证了数值计算的稳定性.而当n7时,Cj(n)将出现负数,njnjC0)(||保证数值稳定性.因此高阶公式不宜采用,有实用价值的仅仅是几种低阶的求积公式.将随n增大,因而不能则有数值计算方法2020/4/732解利用梯形公式10.5xdx10.510.5(0.51)20.4267767xdx利用抛物线公式10.510.5(0.540.751)60.43093403xdx例1试分别用梯形公式和抛物线公式计算积分:原积分的准确值31120.50.520.430964413xdxx数值计算方法2020/4/733现对牛顿―柯特斯求积公式所产生的误差作一个分析。由式(7―9),牛顿―柯特斯求积公式的余项为(1)11()()()(1)!bnnnaRffxdxn1.2误差估计易知,牛顿―柯特斯求积公式(7―10)对任何不高于n次的多项式是准确成立的。这是因为f(n+1)(ξ)≡0故Rn(f)≡0数值计算方法2020/4/734牛顿―柯特斯求积公式的代数精确度至少为n。通常在基点个数相等的情况下,代数精确度愈高,求积公式就愈精确。一般说来,若某个求积公式对于次数不