•2011-4-13•1习题课第一章:习题解答第二章:习题解答1•概率论(1)二项分布n重Bernoulli试验中,X是事件A在n次试验中发生的次数,P(A)=p,若()()(1),0,1,,kknknnPkPXkCppkn−===−=则称X服从参数为n,p的二项分布,记作~(,)XBnp0–1分布是n=1的二项分布•概率论二项分布的取值情况设13~(8,)XB.039.156.273.273.179.068.017.0024.00000123456788113388()()()(1),0,1,,8kkkPkPXkCk−===−=由图表可见,当时,23k=或0.273•分布取得最大值88(2)(3)0.273PP==此时的称为最可能成功次数kxP•0•1•2•3•4•5•6•7•8•概率论0.150.20.2524680.050.1•概率论设~(20,0.2)XB.01.06.14.21.22.18.11.06.02.01.002.00101234567891011~20P由图表可见,当时,4k=••x••••1•3•5•7•9••••0•2•4•6•8•10•20由图表可见,当时,分布取得最大值20(4)0.22P=0.22••概率论0050.10.150.251015200.05•2011-4-13•2•概率论•二项分布中最可能出现次数的定义与推导()(),PXkPXjjX=≥==若可取的一切值•则称为最可能出现的次数k-()(1-),0,1,,kknkknpPXkCppkn====记…1(1-)kppk-1(1)1(--1)kkppkppnk=≤1(1-)(1)1(-)kkppkppnk++=≥(1)1(1)npknp+−≤≤+•概率论当(n+1)p=整数时,在k=(n+1)p与(n+1)p–1处的概率取得最大值当(n+1)p≠整数时,在k=[(n+1)p]处的概率取得最大值对固定的n、p,P(X=k)的取值呈不对称分布固定p,随着n的增大,其取值的分布趋于对称例1:掷四颗骰子,求“6点”出现的平均次数及“6点”出现的最可能(即概率最大)次数及相应的概率解:掷四颗骰子,记“6点”出现的次数为X,则14,6XB⎛⎞⎜⎟⎝⎠∼()23Exnp==()()51106npXnp⎡⎤+=+=⎣⎦由于,其的最可能值为9{}45625061296Px⎛⎞===⎜⎟⎝⎠相应的概率:例2独立射击5000次,命中率为0.001,k=[(n+1)p]=[(5000+1)0.001]=5求最可能命中次数及相应的概率;解:设射击命中次数为X,则X~B(5000,0.001)0.1756≈()()()5499555000500050.0010.999PC=例3:随机变量,问X取何值时概率最大,其概率值是多少?()2,,0.8,1.28XBnpEXEX==∼()()220.64,0.8DXEXEXEX=−==解:由于0.640.8npqnp=⎧⎨=⎩0.8,0.2,4qpn⇒===110.8,0.2,4qpn⇒()11,X01np+=由于因此取与取的概率最大,()()()4010.80.4096PXPX=====其概率值为:例4:一种竞赛考试成绩X近似服从正态分布,竞赛委员会决定期中15%的成绩优秀者获一等奖,问分数应划在什么地方?如果规定较差的10%没有任何奖励,问这个分数线又该划在何处?N2(76,15)2(76,15)XN∼解:{}{}1767676110.15151515PXxPXxXxxP≥=−−−−⎧⎫⎛⎞=−=−Φ=⎨⎬⎜⎟⎩⎭⎝⎠76⎛⎞7612760.8515x−⎛⎞∴Φ=⎜⎟⎝⎠761.0491.615xx−∴=⇒={}7676760.1151515XyyPXyP−−−⎧⎫⎛⎞≤=≤=Φ=⎨⎬⎜⎟⎩⎭⎝⎠另一方面:7610.115y−⎛⎞∴−Φ=⎜⎟⎝⎠76760.91.2856.81515yyy−−⎛⎞∴Φ=⇒=⇒=⎜⎟⎝⎠•2011-4-13•3[]()()X27X301212例:设随机变量服从区间,上的均匀分布,现对进行次独立重复的观测试求:恰有12次观测值大于4的概率至少有次观测值大于4的概率.()()127,3050xXfxfxY⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩∼解:,表示次独立重复观测中,观测值大于4的次数其它()()()442134141155PXPXfxdxdx−∞=−≤=−=−=∫∫330⎛⎞⎜⎟23030ZYZB⎛⎞⎜⎟则13330,5YB⎛⎞⎜⎟⎝⎠∼(){}121812303211255PYC⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠30,30,5ZYZB⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∼则()1812183023180.99170.97980.011955pZC⎛⎞⎛⎞====−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠()()()()2123012180.9917PYpZpZ≥=−≥=≤=()()()(){}X1X2X;302.xPx≤例:有一批产品共有10个,其中2个是次品,不放回的从这批产品中随机抽3个,设表示取出3个产品中的次品数,求的概率分布;的分布函数F()()38310876710109815CPXC××====××解:()()21128282331010711;21515CCCCPXPXCC======14012771151515XXp的概率分布:012771151515XXp的概率分布:()()2F:0()0;xxFx=求解当时,71();15xFx≤=当0时,142();15xFx≤=当1时,2()1;xFx≥=当时,00x⎧⎪15()7011514121512xFxxx⎪⎪≤⎪∴=⎨⎪≤⎪⎪≥⎩()()()83(02)2015pXFF≤=−=例4:设随机变量X的密度函数为xAexf−=)()(+∞−∞x,求(1)系数A;(2)}10{≤≤XP;(3)分布函数)(xF.(1)()fxdx+∞−∞∫解:由xAedx+∞−−∞=∫02xAedx+∞−=∫21A==0∫12A=得:101(2){01}2xPXedx−≤≤=∫1112e⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠例4:设随机变量X的密度函数为xAexf−=)()(+∞−∞x,求(1)系数A;(2)}10{≤≤XP;(3)分布函数)(xF.()()(3)FxPXx=≤解:0x当时,()11()22xtxFxPXxedte−∞=≤==∫()1,0211,02xxexFxex−⎧⎪⎪=⎨⎪−≥⎪⎩()()()01102211111222xttoxxxFxPXxedtedtee−−∞−−≥=≤=+=+−=−∫∫当时,[]223(2),(2),(2)XEXDXDX例5:设随机变量服从,上的均匀分布,计算51,212EXDX==解:()()52225,2EXEX==×=()()11244,123DXDX==×=()()2224221616DXDXEXEX⎡⎤⎡⎤==−⎣⎦⎢⎥18()()21616DXDXEXEX⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎣⎦()()22215191223EXDXEX⎛⎞=+=+=⎜⎟⎝⎠()34422115EXxdx==∫22111915045945⎛⎞×−=⎜⎟⎝⎠=16•2011-4-13•4例6:已知随机变量X的密度为=)(xf⎩⎨⎧+其它,010,xbax,且8/5}5.0{=XP,则=a________=b________()1,fxdx+∞−∞=∫解:由()1012aaxbdxb+=+=∫得135b121()10.535{0.5},828abPXaxbdx=+=+=∫又11,2ab==解得:例7:设随机变量X服从参数为(2,p)的二项分布,随机变量Y服从参数(3,p)的二项分布,若.____}1{,95}1{=≥=≥YPXP则2719()()()2541111199PXPXp=−≥=−==−解:13p⇒=203119(1)1(1)1(0)11327pYpYpY⎛⎞≥=−=−==−−=⎜⎟⎝⎠()(){}{}2212,4,,5,4,5,NYNpPXpPYμμμμ=≤−=≥+∼∼例8:设随机变量X记则()12121212,AppBppppDpp=C的关系无法确定{}()()141111,XpPXPμμ⎧⎫=≤−≤−ΦΦ⎨⎬⎩⎭-解:==-=-A21{}()()1,4pμ⎨⎬⎩⎭解:12pp∴={}()25111,5YpPYPμμ⎧⎫=≥+≥Φ⎨⎬⎩⎭-==-例:设),2(~2σNX,且3.0}42{=XP,则=}0{XP_________{2}0.5,PX=解:由对称性得{02}0.3,PX={0}PX所以{2}{02}PXPX=−022.00.2=•·•·︱︱24例:设X服从参数为2的指数分布,求Y=(X-1)2的分布密度函数以及EY。)(yfY()22000xexfxx−⎧=⎨≤⎩解:()2{}{(1)}YFyPYyPXy=≤=−≤()()00Yyy≤=当时,F当0时23()2{}{(1)}{11}YFyPYyPXyPyXy=≤=−≤=−≤≤+y当0时,2(1)2(1)2(1)1101yyyeyeey−+−−−+⎧−≥⎪=⎨−⎪⎩12011220021{1}{1}2201yxyyxxedxyPXyPXyedxedxy+−+−−−⎧≥⎪=≤+−−=⎨⎪−⎩∫∫∫()2(1)2(1)2(1)110100yyyYeyFyeeyy−+−−−+⎧−≥⎪⎪=−⎨⎪≤⎪⎩12(1)2112(1)2(1)221()+01yyyyeyfxyeyey−−+−−−+−−⎧≥⎪⎪⎪=⎨⎪故:2400y⎪≤⎪⎪⎩()()2222(1)211112111442EYEXEXEXEXDXEX=−=−+=+−+=+−+=•2011-4-13•5例:一房间有3扇同样大小的窗子,其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间,它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去,试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的,鸟飞向各扇窗子是随机的。(1)以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数,求X的分布律。(2)户主声称,他养的一只鸟,是有记忆的,它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数,如户主所说是确实的,试求Y的分布律。25如户主所说是确实的,试求的分布律(3)求试飞次数X小于Y的概率;求试飞次数Y小于X的概率。解:(1)X的可能取值为1,2,3,…,n,…P{X=n}=P{前n-1次飞向了另2扇窗子,第n次飞了出去}121()33n−•=,n=1,2,……(2)Y的可能取值为1,2,3P{Y=1}=P{第1次飞了出去}=13P{Y=2}=P{第1次飞向另2扇窗子中的一扇,第2次飞了出去}21126=211323×=P{Y=3}=P{第1,2次飞向了另2扇窗子,第3次飞了出去}=2!13!3=3132(3){}{}{|}{}{|}kkPXYPYkPXYYkPYkPXYYk========∑∑{|1}0PXYY⎛⎞⎜⎟==⎝⎠全概率公式并注意到32{}{}111121827333333kPYkPXk===⎡⎤=×+×+×=⎢⎥⎣⎦∑,{|}{}XYPXYYkPXk==注意到独立即3271{}{}{|}kPXYPYkPXYYk======∑同上3111121419{}{}333932781kPYkPXk=====×+×+×=∑{}{}1381{}{)81PYXPYXPXYPXY=≥=−−==故-XYmin(X,2)()例10:假设随机变量服从指数分布,则随机变量=的分布函数ABCD是连续函数至少有两个间断点是阶梯函数恰好有一个间断点()(){}01,0,,()000,xxexexXfxfxFxPXxxλλλ−−⎧⎧−==≤=⎨⎨≤≤⎩⎩∼解:x0{}min,2YX={}()YFyPYy=≤0()0,YyFy≤=当时,2()1F≥当时282()1,YyFy≥=当时,{}{}(){}{}{}{}()2()min,21min,21,211YyXyFypXypXypXyypXypXyFyeλ−=≤=−=−