ch4-4双线性变换法-北京交通大学陈后金教授信号处理课件

近代数字信号处理(AdvancedDigitalSignalProcessing)电子信息工程学院信号与图像处理研究室IIR数字滤波器设计的基本思想模拟低通滤波器设计模拟域频率变换脉冲响应不变法双线性变换法IIR数字滤波器的基本结构利用MATLAB设计IIRDF双线性变换法问题的提出双线性变换法的基本原理双线性变换法设计DF的步骤双线性变换法双线性变换法问题的提出如何将模拟滤波器转变为数字滤波器?1.脉冲响应不变法2.双线性变换法Wp,Wswp,wsH(s)H(z)频率变换设计模拟滤波器AF到DF的转换双线性变换法问题的提出采用脉冲响应不变法DF的频谱有混叠解决方法采用双线性变换法上节例题利用AF-BWfilter及脉冲响应不变法设计一DF，满足Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap2dB,As15dB。00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-18-16-14-12-10-8-6-4-20NormalizedfrequencyGain,dBAs=14.2dB双线性变换法双线性变换法的基本原理基本思想：将非带限的模拟滤波器映射为最高频率为的带限模拟滤波器)(sH)'(sH)(zHw'wW]π/,π/[TT)2arctan(2'TTwwT'wW],[ww'p/Tp/T)2tan(2WwT模拟频率与数字频率的关系为双线性变换法s域到z域的映射关系双线性变换法的基本原理)2tan(2WwT)2cos()2sin(2j)2tan(2jjwjsWjez11112zzTssTsTz/2/22j2j2j2jeeee2TWWjje1e12TT双线性变换双线性变换法双线性变换法的基本原理稳定性分析11112zzTssTsTz222222)/2()/2(wwTTz令s=+jw，则有双线性变换法双线性变换法的基本原理稳定性分析1)0,|z|1S域左半平面映射到z域单位元内2222)/2()/2(wwTTz2)0,|z|=13)0,|z|1S域虚轴映射到z域单位圆上S域右半平面映射到z域单位圆外因果、稳定的AF系统映射为因果、稳定的DF系统双线性变换法双线性变换法的基本原理W和w的关系)2/tan(2WTwWp)(WjeH)(wjHpWsWWpwsww)2(tan2ΩTw双线性变换法双线性变换法的基本原理双线性变换法的优缺点缺点：幅度响应不是常数时会产生幅度失真优点：无混叠双线性变换法双线性变换法设计DF的步骤1.将数字滤波器的频率指标{Wk}转换为模拟滤波器的频率指标{wk}2.由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。3.利用双线性变换法，将H(s)转换H(z)。)2tan(2kkTWw11112)()(zzTssHzH双线性变换法双线性变换法设计DF的步骤Wp,Wswp,wsH(s)H(z)设计模拟滤波器双线性变换[numd,dend]=bilinear(num,den,Fs)num,den：AF分子、分母多项式的系数向量Fs：抽样频率numd,dend：DF分子、分母多项式的系数向量利用MATLAB)2tan(2WwT11112)()(zzTssHzH例:利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。解：设双线性变换中的参数为T(1)将DF的频率指标转换为AF的频率指标)2tan(2ppWwT(2)设计3dB截频为wp的一阶BW型模拟低通滤波器，即N=1,wc=wp1/1)(cwssH1/1pws故1)2/tan(21pWsT例:利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。解：设双线性变换中的参数为T(3)用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器结论：参数T的取值和最终的设计结果无关。为简单起见，一般取T=21)2/tan(21)(pWsTsH1pp1p)1)2(tan()2tan(1)1)(2tan()(z//z/zHzzTs112697.01366.0366.0zz例:利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。解：双线性变换法设计的DF的系统函数为112697.01)366.0366.0)(zzzH双脉冲响应不变法设计的DF的系统函数为1ppe1e1)(zzHWW脉令z=ejW，可分别获得两者的幅度响应。1π/3e1π/3z01/3100.71NormalizedfrequencyAmplitude例:利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。脉冲响应不变法双线性变换法脉冲响应不变法存在频谱混叠，所设计的DF不满足给定指标。而双线性变换法不存在频谱混叠，所设计的DF满足给定指标。3dB例:利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。H双(z)和H脉(z)幅度响应比较的MATLAB实现Wp=pi/3;b=[1-exp(-Wp)];b1=tan(Wp/2)*[11];a=[1-exp(-Wp)];a1=[1+tan(Wp/2)tan(Wp/2)-1];w=linspace(0,pi,512);h=freqz(b,a,w);h1=freqz(b1,a1,w);plot(w/pi,(abs(h)),w/pi,(abs(h1)));xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Amplitude');set(gca,'ytick',[00.71]);set(gca,'xtick',[0Wp/pi1]);grid;例：利用AF-BWfilter及双线性变换法设计一DF，满足Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap2dB,As15dB解：(1)将数字低通指标转换成模拟低通指标，取T=2Ap2db,As15db(2)设计模拟低通滤波器（BW型）)/lg(2)110110(lgps1.01.0pswwAAN=2)2/(11.0sc)110(sNAww=0.585112)(1)(c2cLwwsssH9324.0)2tan(2ppWwT4376.1)2tan(2ssWwT3342.05827.03342.02ss例：利用AF-BWfilter及双线性变换法设计一DF，满足Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap2dB,As15dB解：(3)用双线性变换法将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器11112)()(zzTssHzH21213237.02606.018157.05315.08157.0zzzz例：利用AF-BWfilter及双线性变换法设计一DF，满足Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap2dB,As15dB%DesignDFBWlow-passfilterusingimpulseinvariance%DFBWLPspecficationWp=0.2*pi;Ws=0.6*pi;Ap=2;As=15;T=2;Fs=1/T;%Samplingfrequency(Hz)%AnalogButterworthspecficationwp=2*tan(Wp/2)/T;ws=2*tan(Ws/2)/T;%determinetheorderofAFfilterandthe3-dBcutofffrequency[N,wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s')%determinetheAF-BWfilter[numa,dena]=butter(N,wc,'s')例：利用AF-BWfilter及双线性变换法设计一DF，满足Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap2dB,As15dB%determinetheDFfilter[numd,dend]=bilinear(numa,dena,Fs)%plotthefrequencyresponsew=linspace(0,pi,1024);h=freqz(numd,dend,w);plot(w/pi,20*log10(abs(h)));axis([01-500]);grid;xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Gain,dB');%computerApAsofthedesignedfilterw=[WpWs];h=freqz(numd,dend,w);fprintf('Ap=%.4f\n',-20*log10(abs(h(1))));fprintf('As=%.4f\n',-20*log10(abs(h(2))));例：利用AF-BWfilter及双线性变换法设计一DF，满足Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap2dB,As15dB00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-50-45-40-35-30-25-20-15-10-50NormalizedfrequencyGain,dbAp=0.3945As=15.0000例：利用AF-BWfilter及双线性变换法设计一DF，满足Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap2dB,As15dB00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-50-45-40-35-30-25-20-15-10-50NormalizedfrequencyGain,dB将双线性变换法与脉冲响应不变法所设计DF的结果比较。双线性变换Ap=0.3945As=15.0000脉冲响应不变法双线性变换法脉冲响应不变Ap=1.1187As=12.3628双线性变换法非低通IIR数字滤波器的设计Wp,Wswp,wsH(z)w=W/T脉冲响应不变法双线性变换法H(s)模拟频率变换设计原型低通滤波器sp,ww)(LsH复频率变换)2tan(2ΩTw注意：脉冲响应不变法不能设计高通和带阻数字滤波器1e111zpsTpll11112zzTs方法一双线性变换法非低通IIR数字滤波器的设计方法二Wp,WsH(z)w=W/T脉冲响应不变法双线性变换法数字频率变换设计原型低通滤波器sp,ww)(LsH)2tan(2WwT1e111zpsTpll11112zzTssp,WW)(LzHz域变换例：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器Wp1=2.8113rad/s,Wp2=2.9880rad/s,Ap1dB,Ws1=2.9203rad/s,Ws2=2.9603rad/s,As10dB。解:脉冲响应不变法不适合设计数字带阻滤波器，因此采用双线性变换法设计。(1)将数字带阻滤波器指标转换成模拟带阻滤波器指标)2tan(2WwT取T=2，利用得模拟带阻指标为wp1=6rad,wp2=13rad,ws1=9rad,ws2=1rad1,Ap1dB,As10dB例：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器Wp1=2.8113rad/s,Wp2=2.9880rad/s,Ap1dB,Ws1=2.9203rad/s,Ws2=2.9603rad/s,As10dB。解:(2)将模拟带阻滤波器指标转换成模拟低通滤波器指标21s2swwB9499.92s1s0},max{202p2p2202p1p1p1dB,As10dB1swwp1=6rad,w