2018数学中考专题--5-角平分线问题专题

2018年数学中考角平分线专题下面就以五种情况进行专题研究1.如图1，角平分线遇平行必有等腰三角形；2.如图2，垂直角平分线的直线与该角两边交成等腰三角形，并且垂足F是GH的中点(三线合一)；3.如图3，角平分线定理；4.补半角成倍角，或分倍角为半角；5.角平分线与圆.DCEBAOHFGOCBAKNMQPOACB图1图2图3一、角平分线遇平行找等腰三角形1.探究1如图①，AD为等边△ABC的内角平分线，显然有ACCDABDB.探究2如图②，若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角平分线，ACCDABDB一定成立吗？证明你的判断.应用：如图③，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=24，AB=40，E为AB上一点且AE=15，CE交其内角平分线AD于F.试求DFFA的值.CABDABDCAEBCDF①②③2.如图1，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，则（）A.EFAEBFB.EFAEBFC.EFAEBFD.EFAEBFFEOABCEDABC图1图23.如图2，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=5，连接BD，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD，则AD的长为.4.如图3，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，P在射线EF上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP.设BP=y，PE=x.（1）当13CQCE时，求y与x之间的函数关系式；（2）当1CQCEn（n为不小于2的常数）时，直接写出y与x之间的函数关系式.QPFEABCD图35.（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与CD相交于F点.试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论；ABEFCDDCFEBA图①图②（2）如图②，当F在DC的延长线上时（其他条件不变），请你直接写出线段AB与AF、CF之间的数量关系.二、遇垂直角平分线找等腰三角形(角平分线遇垂直，补全成三线合一)6.在△ABC中，点D是BC边的中点，AM是△ABC的角平分线，CE⊥AM，垂足为E，连接DE.（1）当ABAC时（如图①），求证：2ABACDE；MABCDEMABCDEABDMEC图①图②图③（2）当ABAC时（如图②），请你写出AB、AC与DE之间的数量关系：；（3）如果改AM为△ABC的外角平分线，其他条件不变（如图③），请写出AB、AC与DE之间的数量关系：.7.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BE平分∠ABC交AC于D，过C作BE的垂线交BE于E，求证：BD=2CE.ABDCE8.（1）如图①，已知BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD于F，AG⊥CE于G，连接FG，延长AF、AG与直线BC相交于M、N.则FG与△ABC三边具有的数量关系是：.NMGABCDEFFADBCGE图①图②（2）如图②，若BD为△ABC的内角平分线，其他条件不变，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请证明你的猜想.三、遇倍角或半角见半角补成倍角或等分倍角；见倍角等分之或造半角的等腰三角形14.在△ABC中，∠A=90°，点D在线段BC上，∠C=2∠EDB，BE⊥DE于E，DE交AB于点F.（1）如图①，当AB=AC时，1）∠EBF=；2）探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；（2）如图②，当AB=kAC时，求BEFD的值（用含k的式子表示）.ABCDEFEABCDF图①图②15.阅读材料：如图①，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°.小明通过以下计算：由题意知∠B=30°，∠C=90°，2cb，3ab，得：22222()23abbbbbc，即22abbc.于是小明猜想：对于任意的△ABC，当∠A=2∠B时，关系式22abbc都成立.bcabcacbaABCABCABC图①图②图③（1）如图②，请你用等腰Rt△进行验证，判断小明的猜测是否正确，并写出验证过程；（2）如图③，你认为小明的猜想是否正确，若认为正确，请你证明；否则，请说明理由；（3）若某三角形的三边长恰为三个连续偶数，且∠A=2∠B，请直接写出这个三角形三边的长.四、见角平分线用性质(角关于角平分线所在直线对称，依角的对称性找（或造）全等)16.如图1，在△ABC中，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E.（1）当∠B=47°，则∠AEC=；（2）当∠B=α时，∠AEC=.ACBEFDEDCBAMFNA2A1ABCD图1图2图317.如图2，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N.有下列四个结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF=3S△DEF.其中，结论正确的是（填序号）18.如图3，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An-1BC的平分线与∠An-1CD的平分线交于点An.设∠A=θ.则（1）∠A1=；（2）∠An=.19.已知，直线MA∥NB，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E.（1）如图①，当直线l与直线MA垂直时，线段AD、BE、AB满足怎样的数量关系，请证明之；NMlBACDEEDCABlMN图①图②（2）如图②，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.五、两角平分线相交用内切圆三角形内切圆是其三个内角平分线的交点，在Rt△中，内切圆半径r与三边a、b、c（abc）的关系为1()2rabc.20.如图1，已知Rt△ABC中，AC=24，斜边AB=25，半径为1的⊙P在△ABC内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P一直保持与△ABC的边相切，当P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是（）A.563B.25C.1123D.56PABCABCDEF图1图221.如图2，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F.求证：12EFACAB