解三角形--公开课一等奖课件

第一章解三角形第一章1．1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理第一章课前自主预习课堂典例讲练名师辨误做答课后强化作业课前自主预习在初中，我们学习过直角三角形中的边角关系，那么在Rt△ABC中(如图)，有________、________、________.温故知新[答案]ac＝sinAbc＝sinBccsinC“无限风光在险峰”，在充满象征色彩的诗意里，对险峰的慨叹跃然纸上，成为千古之佳句．对于难以到达的险峰应如何测出其海拔高度呢？能通过在水平飞行的飞机上测量飞机下方的险峰海拔高度吗？在本节中，我们将学习正弦定理，借助已学的三角形的边角关系解决类似于上述问题的实际问题.新课引入1.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即_____________________.自主预习asinA＝bsinB＝csinC对正弦定理的理解：(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化．有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于钝角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；④在△ABC中，sinABC＝abc.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正确．故选B.2．正弦定理的变形公式(1)a＝bsinAsinB＝______，b＝asinBsinA＝______，c＝asinCsinA＝______.csinAsinCcsinBsinCbsinCsinB(2)sinA＝asinBb＝______，sinB＝bsinAa＝_______，sinC＝csinAa＝______.(3)a:b:c＝__________________.asinCcbsinCccsinBbsinA:sinB:sinC(4)边化角公式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.(5)角化边公式：sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.(6)asinA＝bsinB＝csinC＝___________________＝2R.其中，R为△ABC外接圆的半径．a＋b＋csinA＋sinB＋sinC在△ABC中，B＝30°，C＝45°，c＝1，求边b的长及△ABC外接圆的半径R.[解析]已知B＝30°，C＝45°，c＝1.由正弦定理，得bsinB＝csinC＝2R，所以b＝csinBsinC＝1×sin30°sin45°＝22，2R＝csinC＝1sin45°＝2，得R＝22.所以，b＝22，△ABC外接圆的半径R＝22.3．解三角形(1)定义：一般地，把三角形三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做_________．(2)利用正弦定理可以解决的两类解三角形问题：①已知任意两角与一边，求其他两边和一角．②已知任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．解三角形(3)已知两边及其中一边对角，判断三角形解的个数的方法：①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数．②在△ABC中，已知a、b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数，解的个数见下表：A为钝角A为直角A为锐角ab一解一解一解a＝b无解无解一解absinA两解a＝bsinA一解ab无解无解absinA无解图示已知a、b、A，△ABC解的情况．(ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下：(ⅱ)A为锐角时，解的情况如下：不解三角形，判断下列三角形解的个数．(1)a＝5，b＝4，A＝120°；(2)a＝7，b＝14，A＝150°；(3)a＝9，b＝10，A＝60°；(4)c＝50，b＝72，C＝135°.[解析](1)sinB＝bsin120°a＝45×3232，∴△ABC有一解．(2)sinB＝bsin150°a＝1，∴△ABC无解．(3)sinB＝bsin60°a＝109×32＝539，而325391，∴当B为锐角时，满足sinB＝539的B的取值范围为60°B90°.∴对应的钝角B有90°B120°，也满足A＋B180°，所以△ABC有两解．(4)sinB＝bsinCc＝72sinC50sinC＝22，∴B45°，∴B＋C180°，∴△ABC无解．课堂典例讲练在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，则b＝()A．42B．43C．46D.223已知两角和一边解三角形思路方法技巧[分析]已知两角，由三角形内角和定理第三角可求，已知一边可由正弦定理求其它两边．[答案]C[解析]在△ABC中，A＝180°－(B＋C)＝45°，由正弦定理asinA＝bsinB得，b＝asinBsinA＝8·sin60°sin45°＝46.∴选C.在△ABC中，AB＝3，A＝45°，C＝75°，则BC等于()A．3－3B.2C．2D．3＋3[答案]A[解析]由ABsinC＝BCsinA得，BC＝3－3.已知在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，解这个三角形．[分析]在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，可运用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定．已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形[解析]由正弦定理及已知条件有3sinA＝2sin45°，得sinA＝32，asinB＝3sin45°＝622.∴∠A有两解，∴A＝60°或120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝bsinCsinB＝2sin75°sin45°＝6＋22.当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝bsinCsinB＝2sin15°sin45°＝6－22.综上可知：A＝60°，C＝75°，c＝6＋22或A＝120°，C＝15°，c＝6－22.[点评]已知三角形两边及一边对角解三角形时利用正弦定理求解，但要注意判定解的情况．在利用定理过程中，要注意灵活使用三角公式及正弦定理的变形，如：c＝bsinCsinB＝asinCsinA等．(2012～2013学年度广东东莞市第五高级中学高二期中测试)已知△ABC中，a＝4，b＝43，∠A＝30°，则∠B等于()A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°[答案]D[解析]由正弦定理，得asinA＝bsinB，∴sinB＝bsinAa＝43×sin30°4＝32，又∵ba，∴BA，∴B＝60°或120°.(2012～2013学年度江西九江一中高二期中测试)在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，若acosA＝bcosB，则△ABC一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形三角形形状的判断建模应用引路[答案]D[分析]判断三角形形状通常从三角形内角的关系确定，也可以从三角形三边关系确定．本题由条件式可考虑应用正弦定理把边化为角，寻找三角形角与角之间的关系，然后予以判定．[解析]由正弦定理，得ab＝sinAsinB.又acosA＝bcosB，即ab＝cosBcosA，∴sinAsinB＝cosBcosA，即sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B.∴2A＝2B或2A＝π－2B.∴A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故选D.[点评]已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可考虑使用正弦定理，把关系式中的边化为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式，然后给予判定．在正弦定理的推广中，a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC是化边为角的主要工具．在△ABC中，sinA＝sinB，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形[答案]B[解析]由正弦定理ab＝sinAsinB＝1，∴a＝b.在△ABC中，若sinABC＝kk＋k，则k的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(－∞，0)C．(－12，0)D．(12，＋∞)三角形的边角不等关系探索延拓创新[答案]D[分析]根据正弦定理，将角的正弦之比转化为边的比，再由三角形两边之和大于第三边，建立不等关系进行求解．[解析]由正弦定理知abc＝sinABC＝kk＋k，又因为三角形两边之和大于第三边，∴k＋k＋12kk＋1＋2kkk＋2kk＋1，解得k12，选D.已知三角形的两角分别是45°、60°，它们夹边的长是1，则最小边长为________．[答案]3－1[解析]不妨假定△ABC内角A＝45°，B＝60°，则C＝75°.∵CBA，∴最小边长为a.∵c＝1，∴由正弦定理得，a＝c·sinAsinC＝1×sin45°sin75°＝sin45°sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝2222×32＋22×12＝3－1.∴最小边长为3－1.名师辨误做答在△ABC中，a＝15，b＝12，A＝60°，则cosB＝________.[错解]±135由正弦定理，得15sin60°＝12sinB，∴sinB＝12×sin60°15＝235，∴cosB＝±1－sin2B＝±135.[辨析]∵ab，∴AB，因此cosB0.[正解]135由正弦定理，得15sin60°＝12sinB，∴sinB＝12×sin60°15＝235，∵ab，∴AB，∴B为锐角，∴cosB＝1－sin2B＝135.课后强化作业（点此链接）小魔方站作品盗版必究语文更多精彩内容，微信扫描二维码获取扫描二维码获取更多资源谢谢您下载使用！附赠中高考状元学习方法前言高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。青春风采北京市文科状元阳光女孩--何旋高考总分：692分(含20分加分)语文131分数学145分英语141分文综255分毕业学校：北京二中报考高校：北京大学光华管理学院来自北京二中，高考成绩672分，还有20分加分。“何旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的笑声。”班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。“她是学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成绩应该是692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后，她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。班主任：我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。高考总分:711分毕业学校:北京八中语文139分数学140分英语141分理综291分报考高校：北京大学光华管理学院北京市理科状元杨蕙心