同济大学期末考试试题

1数学分析（上）期末试题得分_________姓名_________1.计算(每小题6分，共36分)学号_________(1)xxttdt1)1(lim(2)dxxex11||(3)121limppppnnn(4)00,01)(2xytyxdteyexyy求满足设(5)hxfhxfxfh2)()3(lim,1)(0000则(6)dxxx2coscosln2写出下列命题的分析表述(8分)(1)f(x)在x0的极限不是A.(2){an}是基本数列.3(8分)指出下列命题之间的关系：(1)f(x)在点0x局部有界；(2)f(x)在点0x极限存在；(3)f(x)在点0x可导；(4)f(x)在点0x连续；(5)f(x)在点0x有定义.4.(8分)讨论函数0cos10,20,1)1(2sin)(2022xtdtxxxeexfxxx的连续性,若有间断点,是哪种间断点?给出函数的连续区间.5.(12分)设x10,xn+1=ln(1+xn)(n=1,2,),证明).(2~)(;0lim)(nnxiixinnn6.(8分)设函数f(x),g(x)在闭区间[a,b]上连续,证明存在(a,b),2使abdxxfgdxxgf)()()()(=.7.(8分)用闭区间套定理证明零点存在定理.8.(10分)设D1,D2为曲线y=x2与直线y=tx围成的图形,问当t为何值时,D1,D2绕x轴旋转所得旋转体体积之和达到最小值?数学分析（上）期末试题得分_________姓名_________2.计算(每小题6分，共36分)学号_________(1))1ln(arctanlim30xxxx(2))1(2xxdx(3),1022ttutdxdydueyex求设(4)设011011)(xexxxfx,求20)1(dxxf.(5)已知)(xf连续,且满足方程xdxxfxxxdttf01024)()(,试求)(xf的表达式.(6)求心形线)20()cos1(ar的弧长3写出下列命题的分析表述(8分)(1)f(x)在x0的极限不是A.(2)f(x)在区间I上一致连续..4(8分)指出下列命题之间的关系：(1)f(x)在点0x局部有界；(2)f(x)在点0x极限存在；(3)f(x)在点0x可导；(4)f(x)在点0x连续；(5)f(x)在点0x有定义.34.(10分)讨论函数0cos10,20,1)1(2sin)(2022xtdtxxxeexfxxx的连续性,若有间断点,是哪种间断点?给出函数的连续区间.5(12分)设201x,xn+1=sinxn(n=1,2,),证明).(3~)(;0lim}{)(2nnxiixxinnnn收敛且6(8分)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在(a,b)上可微,且f(a)=0,()0bafxdx.证明存在(a,b),使()0f.7(8分)用闭区间套定理证明零点存在定理.8（8分）求抛物线)(axxy与直线xy所围平面图形的面积)0(a.《数学分析（中）》期终试卷（A卷）2004，7一选择填空（每小题4分，共28分）1.函数01110)(xxxxxf的Fourier级数在点x=2处收敛于____________________________.2.若1nna收敛，则级数1)1(nnna______；级数1)1(nnna_____.A一定收敛B一定发散C不能确定3.设函数)(xf在],[连续，则下列一定正确的是___________.A)(xf的Fourier级数点态收敛于)(xf.4B)(xf的Fourier级数平方收敛于)(xf.C)(xf的Fourier级数一致收敛于)(xf.D)(xf的Fourier级数在],[],[dc上可逐项积分并收敛于dcdxxf)(.4.集合nSR是紧集当且仅当________________________________.5.函数yxxf2)(2在点(1,2)处沿方向______________的方向导数取最大值,最大值为__________________________.6.nR中点列}{nx是基本点列当且仅当_______________________________________________________________________________.7.空间曲线036222222zyxzyx在点（1，1，2）处的切线方程为_________________________________________________________________.二解答题（每小题10分，共60分）1求幂级数121)1(nnnxn的收敛域与和函数，并求级数022nnn的和。2设F是可微函数，),(yxfz是由0),(bzcyazcxF所确定的隐函数，求yzbxza。3确定函数11)1()(nxnnxf的定义域及其在定义域上的连续性和可微性。4判断反常积分02sindxxxp)(Rp的敛散性（包括发散、绝对收敛与条件收敛）。55讨论函数000)(222222yxyxyxxyxf在点（0，0）的连续性、可偏导性和可微性。6求曲面1222222czbyax在第一卦限的切平面，使得该切平面与三个坐标平面围成的四面体体积最小。三证明(每题6分，共12分)1若函数),(yxf在点),(0baP连续且0),(baf，则),,(),(,00POyx有0),(yxf。2若集合D中存在数列{xn}，使得0)(limnnnxu，则级数0)(nnnxu在D上非一致收敛。补充题（10分）：设10)(1)(ninnixfnxf,其中f为连续函数.证明:)(xfn在任何闭区间[a,b]上一致收敛。