北京理工大学2017-2018学年工数上期末试题A及答案

第页（共6页）1课程编号：H0172103北京理工大学2017-2018学年第一学期工科数学分析（上）期末试题(A卷)座号_______班级_____________学号_____________姓名_____________(试卷共6页,十个大题.解答题必须有过程.试卷后面空白纸撕下做草稿纸.试卷不得拆散.)题号一二三四五六七八九十总分得分签名一、填空（每小题4分，共20分）1．若exxkxx1)2(lim，则k.2．已知,arctan2111ln41xxxy则dxdy.3.dxxexexx102)1()1(.4.xdxxsin2.5.设xyycos，则y.二、计算题（每小题5分，共20分）1.求极限).2sin211(sinlim3nnnn第页（共6页）22.设xxyx2sinsin，求dy.3.计算dxxxxx112211cos2-.4.求)cos(yxdxdy的通解.第页（共6页）3三、（8分）已知0)-1(lim2baxxxx，试确定常数a和b的值.四、（6分）已知,...).2,1)((21,0,011nbbbbbbnnn证明:数列nb极限存在；并求此极限.第页（共6页）4五、（8分）求函数2)1(42xxy的单调区间和极值，凹凸区间和拐点，渐近线.六、（8分）设曲线2xy，xy围成一平面图形D.(1)求平面图形D的面积；(2)求平面图形D绕y轴旋转所得旋转体的体积.第页（共6页）5七、（8分）设一长为l的均匀细杆，线密度为,在杆的一端的延长线上有一质量为m的质点，质点与该端的距离为a.（1）求细杆与质点间的引力；（2）分别求如果将质点由距离杆端a处移到b处(ba)与无穷远处时克服引力所做的功.八、（8分）设)(xf在]1,1[上具有三阶连续导数，且,0)0(,1)1(,0)1('fff证明在开区间)1,1(内至少存在一点，使3)()3(f.第页（共6页）6九、（8分）设xxdttftxxexf0)()()(,其中)(xf连续，求)(xf的表达式.十、（6分）已知)(xf在闭区间6,1上连续，在开区间)6,1(内可导，且，5)1(f，1)5(f.12)6(f证明：存在)6,1(，使22)()(ff成立.第页（共6页）7北京理工大学2017-2018学年第一学期《工科数学分析》（上）期末试题(A卷)标准答案及评分标准2018年1月12日一、填空（每小题4分，共20分）1．212．421xx3.)(，不收敛4.Cxxxxxcos2sin2cos25.xcexxy)cos(sin21二、计算题（每小题5分，共20分）1.解：)2sin211(sinlim3xxxx312sin211sinlimxxxxxt1令30)2sin(21sinlimtttt………….2分20cos1sinlimttttt21………….4分21)2sin211(sinlim3nnnn………….5分注：此题也可以用泰勒公式。2.解：xxedxdyxxcossin2)('lnsin………….2分xxxexx2sin)ln(sin'lnsinxxxxxxx2sin)ln(cossinsin………….4分因此，dxxxxxdyxxx)2sin)ln(cos(sinsin.………….5分3.解：原式112112211cos112dxxxxdxxxdxxx1022114………….2分第页（共6页）8dxxxx10222)1(1)114（dxx1021444………….5分4.解:令yxu，则1dxdudxdy………….2分代入原方程，得：2cos2cos12uudxdu分离变量法得：cxu2tan………….4分将yxu代入上式，得通解为：cxyx2tan.………….5分三、解:由条件知：01lim2xbaxxxx得111-1lim1lim22xxxxxaxx………….4分)1(lim2xxxbx………….6分)11(lim2xxxxx21)111111-(lim2xxxx………….8分四、解:,)(211111bbbbbbbbnnnnn………….2分.1)1(21)1(2121bbbbbbnnn所以数列nb单调递减有下界，nnblim存在.………….4分设,limabnn则有),(21abaa得,ba.ba（舍去）所以，.limbbnn………….6分第页（共6页）9五、解:定义域0x3)24xxy（，201xy得；438xxy）（，302xy得.………….2分列表：x）（3,3）（2,32)0,2(0),0(y--0+不存在-y-0+++y拐点极小值间断点)926-,3（)3,2(2)2)1(4(lim2xxx,有水平渐近线：.2y)2)1(4(lim20xxx,有垂直渐近线：.0x………….8分六、解：（1）画草图，解交点),0,0()1,1(102)(dxxxA………….2分31………….4分（2）104102)(dyydyyV………….6分103………….8分七、解:建立坐标系,使细杆位于区间[0,]l上,质点位于la处.(1)2()mdxdFGalx………….2分2011().()()lGmGmlFdxGmalxaalaal………….4分(2)当质点向右移至距杆端()xxa处时，细杆与质点间的引力为().()GmlFxxxl将质点由a处移到b处与无穷远处时克服引力所做的功分别记作bW和W.(),()GmldxdWFxdxdxxxl………….6分积分得11()()()ln,()()bbbbaaaGmlbalWFxdxdxGmdxGmxxlxxlabl()limlimlnln.()bbbbalalWWGmGmuabla………….8分2xy)1,1(xyxy第页（共6页）10八、解：由麦克劳林公式,,!3)(!2)0()0()0()(3)3(2'''xfxfxffxf…………….2分其中在0与x之间，从而,01,!3)(!2)0()0()1(011)3(''ffff,10,!3)(!2)0()0()1(122)3(''ffff两式相减，得.6)()(2)3(1)3(ff…………….5分)(3xf）（在)1,1(],[21上连续，所以)()3(xf在],[21上必有最小值m和最大值,M从而,2)()(2)3(1)3(Mffm…………….7分由介值定理，至少存在一点，)1,1(],[21使得.32)()()(2)3(1)3()3(fff…………….8分九、解：xxxxxdtttfdttfxxedttftxxexf000)()()()()(上式两端对x求导，得：xxdttfexxf0)()1()(…………….2分再对x求导得：)()2()(xfexxfx，则)(xf满足初值问题：1)0(,0)0()2()()(ffexxfxfx…………….4分对应齐次方程的通解为：xxeCeCxY21)(设非齐次方程的特解为：xebaxxy)(*,代入原方程，得：2224xbaax解得：.)3(41,43,412*xexxyba…………….6分通解为：xxxexxeCeCxy)3(41)(221由初始条件，得：.81,8121CC所以.)3(418181)(2xxxexxeexf…………….8分十、证明:构造辅助函数)2)(()(xxfexFx…………….2分有,03)2)1(()1(efeF.09)10)5(()5(55efeF)(xF在5,1上连续,由零点定理可知,至少存在一点),5,1(使得.0)(F…………….4分又因为)(xF在6,上连续,在），（6内可导,且),(0)126(()6(6FfeF）由罗尔定理可知,存在，)6,1()6,(使0)(F，即22)()(ff…………….6分第页（共6页）11