第九章-第部分(弯矩分配法)

StructuralMechanicsChapter9Contents概述弯矩分配法剪力分配法超静定结构受力状态的概念分析超静定结构的影响线及其应用2020/4/8StructuralMechanicsChapter92020/4/8概述什么叫超静定结构的实用计算方法？超静定结构的计算以20世纪50年代（计算机的出现）作为分水岭划分为两个阶段。第一类（渐近法）：利用相关物理量之间内在的数学关系，运用逐次计算逼近的方法求解。该方法属于数学简化方法，如弯矩分配法、叠代法等。结构分析技术手段：手算技术要求：计算尽可能简化结构分析技术手段：电算技术要求：结果尽可能精确1940s~1950s计算机的发明超静定结构实用计算方法主要是指用于手算的超静定结构分析方法。其简化的主要目的是避免求解大型联立方程组。根据简化方法的不同，超静定结构实用计算方法主要有以下两类：第二类（近似法）：通过忽略影响结构内力的某些次要因素，对计算模型采取近似处理，从而达到简化分析的目的。该方法属于物理简化方法，如剪力分配法、分层法等。关于超静定结构的实用计算方法，本章主要介绍弯矩分配法和剪力分配法两种。在计算机应用日益广泛的今天，实用计算方法对理解和强化结构概念仍然具有非常重要的价值和作用。StructuralMechanicsChapter9教材中所谓的“概念分析”2020/4/8概述什么叫概念分析？结构“概念设计”和“概念分析”是现代结构设计思想的一个重要理念，一代宗师林同炎先生的《结构概念与体系》是这一理念的代表作，该书既不教你如何使用计算机，也不教你如何画图，更不教你怎样做配筋计算，但可以告诉你做结构工程师的最基本知识—结构概念，所以该书被尊称为结构界的“红宝书”。现行的结构设计理论与计算理论存在许多缺陷或不可计算性，比如混凝土结构设计中，内力计算是基于弹性理论的计算方法，而截面设计却是基于塑性理论的极限状态设计方法，这一矛盾使计算结果与结构的实际受力状态不尽一致，为了弥补这类设计计算理论的缺陷，或者实现对实际存在的大量无法计算的结构构件的设计，这就需要通过优秀的概念设计与结构措施来满足结构设计的目的。结构概念的重要性主要体现在以下三个方面：电算结果的高精度特点，往往给结构工程技术人员带来对结构工作性能的误解，结构工程师只有加强结构概念的培养，才能比较客观、真实地理解结构的整体工作性能。结构方案设计阶段，设计过程通常是不能借助于计算机来实现的。这就需要结构工程师必须熟练而准确地综合运用结构概念，选择最优的的结构方案。基本概念与方法内力和变形定量分析内力和变形定性分析StructuralMechanicsChapter92020/4/8弯矩分配法弯矩分配法的历史背景求解超静定结构的力法是19世纪末建立的，之后到20世纪初，本笛克森（AxelBendixen）在1914年提出了位移法。由于人工求解大型线性联立方程组困难，通常其人工求解時間与未知量的数目成三次方的比例递增，故早期超静定结构分析仅限于简单的桁架和刚架，或跨数不多的连续梁。1930年美國伊利诺大学的HardyCross教授发明了弯矩分配法，一时突破了求解高阶联立方程组的瓶颈。由于其收敛速度快，运算量少，顿时成为当时结构分析的不二法宝，结构分析进入了一个斩新而实用的阶段，从此，弯矩分配法独領结构分析风骚五十年。在建筑工程英文专用词汇中，弯矩分配法又称为hardycrossmethod。弯矩分配法后来引出了应用较广的松弛法，最后导致了有限元法的建立。对弯矩分配法作出重要贡献的学者还有：林同炎（T.Y.LIN）：1933年，以《直接弯矩分配法》发表论文获得美国加州大学伯克利分校土木工程硕士学位，该论文引起学术界及工程界热烈的讨论，他所阐述的方法被命名为“林氏法”而广泛应用。其方法对H.Cross的逐次渐近法进行了改进。德列斯（CharlesDerleth）：最早以弯矩分配法分析桥塔大型结构，代替原设计需数千人时的分析工作。（林同炎就读伯克利期间，德氏是伯克利分校工学院院长，时任金门大桥顾问）StructuralMechanicsChapter92020/4/8弯矩分配法弯矩分配法的本质及其适用范围弯矩分配法属于位移法的范畴，是基于位移法的逐次逼近精确解的近似方法。弯矩分配法的适用范围：单独使用时，只能用于只有结点角位移而无结点线位移的结构。弯矩分配法与位移法联合应用，可求解有结点线位移的结构。弯矩分配法的基本概念以图示结构为例说明，所有杆件的线刚度均为，杆长均为，不计杆件轴向变形。il根据位移法原理，原结构分解为(a)(b)两种受力状态。只有一个位移法未知量—A结点的角位移。弯矩分配法中，把具有待求角位移的结点称为分配单元。qABCD原结构qABCD(a)状态uAMABCD(b)状态uAM•(a)状态：只承受外荷载，不发生节结点位移——固定状态•(b)状态：只发生结点位移，无外荷载——放松状态相当于原结构“先固定、后放松”StructuralMechanicsChapter92020/4/8弯矩分配法固定状态下，由荷载引起的杆端弯矩称为固端弯矩。正负号规定：绕杆端顺时针为正。qABCD原结构qABCD(a)固定状态uAMABCD(b)放松状态uAM固定状态内力分析弯矩分配法是一种数值算法，正负号规定非常重要！•固端弯矩根据第7章位移法表7-1计算，其本质就是位移法Mp图的计算。•21,0;8ggABBAMqlM0,0;ggACCAMM0,0;ggADDAMM结点附加刚臂上的约束力矩称为结点不平衡力矩。正负号规定：顺时针为正。•结点不平衡力矩的计算：根据固端弯矩，利用结点力矩平衡条件计算。•在上述正负号规定条件下，结点不平衡力矩就是与该结点相连的所有杆件该端固端弯矩的代数和。•218ugggAABACADMMMMqlStructuralMechanicsChapter92020/4/8弯矩分配法放松状态就是原结构承受结点不平衡力矩的反向力矩（相当于解除约束）。qABCD原结构qABCD(a)固定状态uAMABCD(b)放松状态uAM放松状态内力分析放松状态的内力可借助转动刚度、分配系数、传递系数等概念计算。转动刚度：AB杆件A端（又称近端）发生单位转角时，A端产生的弯矩值，称为AB杆A端的转动刚度，记为。ABS•转动刚度不仅与杆件的弯曲线刚度有关，而且与杆件另一端（又称远端）的支承条件有关。iEIli4ABSi2BAMiAB1A•远端为固定支座：4ABSii3ABSi0BAMAB1AiABSiBAMiAB1A•远端为铰支座：3ABSi•远端为定向滑动支座：ABSiStructuralMechanicsChapter9•弯矩分配法中，结点转动在远端产生的弯矩可通过近端弯矩乘以传递系数得到。2020/4/8弯矩分配法ABCD(b)放松状态uAM放松状态内力分析传递系数：AB杆件仅A端发生转角时，B端弯矩与A端弯矩之比，称为从A到B的弯矩传递系数，记为。ABCi4ABSi2BAMiAB1A•远端为固定支座：12ABCi3ABSi0BAMAB1AiABSiBAMiAB1A•远端为铰支座：0ABC•远端为定向滑动支座：1ABC放松状态内力（分配系数）AA结点力矩uAMfABMfADMfACMA结点力矩平衡方程：fffuABACADAMMMM而，;fABABAMS;fACACAMSfADADAMS所以，uABACADAASSSM得，uAAABACADMSSS从而，fuuABABAABAAjSMMMSfuuACACAACAAjSMMMSfuuADADAADAAjSMMMS称为力矩分配系数，表示杆件刚度在结点刚度中占的比例。每个分配单元上，力矩分配系数之和恒等于1，即。1Why?物理含义：结点力矩平衡StructuralMechanicsChapter92020/4/8弯矩分配法qABCD原结构qABCD(a)固定状态uAMABCD(b)放松状态uAM计算过程小结固定状态，计算固端弯矩和结点不平衡力矩。•固端弯矩21,0;8ggABBAMqlM0,0;ggACCAMM0,0;ggADDAMM218ugggAABACADMMMMql•结点不平衡力弯矩放松状态，计算分配力矩和传递力矩。•杆件转动刚度：•分配系数：•近端分配力矩：3;;4ABACADSiSiSi38;18;12ABACADCCC222311;;646416fffABACADMqlMqlMql•远端传递力矩：22110;;6432cccBACADAMMqlMql杆端最终弯矩＝固端弯矩＋分配力矩＋传递力矩StructuralMechanicsChapter92020/4/8弯矩分配法qABCD原结构计算过程小结固定状态，计算固端弯矩和结点不平衡力矩。•固端弯矩21,0;8ggABBAMqlM0,0;ggACCAMM0,0;ggADDAMM218ugggAABACADMMMMql•结点不平衡力弯矩放松状态，计算分配力矩和传递力矩。•杆件转动刚度：•分配系数：•近端分配力矩：3;;4ABACADSiSiSi38;18;12ABACAD222311;;646416fffABACADMqlMqlMql•远端传递力矩：22110;;6432cccBACADAMMqlMql杆端最终弯矩＝固端弯矩＋分配力矩＋传递力矩弯矩分配法通常列表计算结点杆端BACDBAABADACCADAgM分配传递M终备注381812182ql36416411601641320564164116164132分配力矩下划线，以示与传递力矩区分StructuralMechanicsChapter92020/4/8弯矩分配法qABCD原结构弯矩分配法的物理含义：弯矩分配法实质，是在原结构上施加约束、再解除约束的过程。结点杆端BACDBAABADACCADAgM分配传递M终备注381812182ql36416411601641320564164116164132ABCDM图(xql2)56418164116132施加约束(固定)解除约束(放松)注意问题：弯矩分配法是数值计算方法，弯矩的方向用正负号表示，故，必须牢记正负号规定，计算过程中切勿混淆和遗漏正负号。结点不平衡力矩必须反号后才能进行分配和传递。弯矩分配法计算步骤：计算各杆的分配系数和传递系数。计算荷载作用下的固端弯矩。将结点不平衡力矩反号后，进行力矩分配和传递。按叠加原理计算最终杆端弯矩。StructuralMechanicsChapter9M终02.41.8056.44.851.62.470.22020/4/8弯矩分配法单结点弯矩分配法【例1】试用弯矩分配法作图示刚架的弯矩图。【解】236,248,1.566ABACADSSS6860.3,0.4,0.3202020ABACAD21304608gABMkNm2210032485gADMkNm2210032725gDAMkNm⑴计算分配系数：4m3m2m30/kNmABDC100kN4m2i2i1.5i杆端BAABADACCADA结点BACD0.30.40.3分配传递3.64.83.6⑵计算固端弯矩：gM60487256.44.851.62.470.212060ABDCM图(kNm)StructuralMechanicsChapter92020/4/8弯矩分配法单结点弯矩分配法【例2】试用弯矩分配法作图示连续