参数方程普通方程互化

第2课时参数方程和普通方程的互化第二讲一曲线的参考方程学习目标1.了解参数方程化为普通方程的意义.2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.3.能根据参数方程与普通方程的互化灵活解决问题.2(1)sin3cos,,6(2)sincosyxxxyxx求下面函数的值域：复习回顾(1)2,15(2),14yy齐次函数（化一）非齐次函数（化二）x＝rcosθy＝rsinθx＝a＋rcosθy＝b＋rsinθ圆的参数方程1.运用圆的参数方程，可以将相关问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题.反思与感悟2.代入消元法基本不等式法参数方程法数形结二元函数的合解法法思考2把参数方程化为普通方程的关键是什么？答案答案关键是消参数.(1)曲线的普通方程和参数方程的互相转化①曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过_________而从参数方程得到普通方程；②如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系，那么梳理x＝ft，y＝gt就是曲线的参数方程.消去参数x＝f(t)y＝g(t)(2)参数方程化为普通方程的三种常用方法①代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；②三角函数法：利用三角恒等式消去参数；③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去.特别提醒：化参数方程为普通方程F(x，y)＝0，在消参过程中注意变量x，y的取值范围，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)的值域得x，y的取值范围.例1将下列参数方程化为普通方程，并判断曲线的形状.类型一参数方程化为普通方程(1)x＝t＋1，y＝1－2t(t为参数)；(2)x＝5cosθ，y＝4sinθ－1(θ为参数)；(3)x＝1－t1＋t，y＝2t1＋t(t≠－1，t为参数).(2)由x＝5cosθ，y＝4sinθ－1，得cosθ＝x5，①sinθ＝y＋14，②①2＋②2，得x225＋y＋1216＝1，这是椭圆.得y＝－2x＋3(x≥1)，这是以(1,1)为端点的一条射线.解(1)由x＝t＋1≥1，得t＝x－1，代入y＝1－2t，(3)方法一x＋y＝1－t1＋t＋2t1＋t＝1＋t1＋t＝1，又x＝1－t1＋t＝21＋t－1，故x≠－1，y＝2t1＋t＝＋t－21＋t＝2－21＋t，故y≠2，所以所求的方程为x＋y＝1(x≠－1，y≠2).方程表示直线(去掉一点(－1,2)).方法二由x＝1－t1＋t，所以x＋xt＝1－t，所以(x＋1)t＝1－x，即t＝1－x1＋x，代入y中得，y＝2t1＋t＝2×1－x1＋x1＋1－x1＋x＝21－x1＋x＋1－x＝1－x，所以x＋y＝1(x≠－1，y≠2).方程表示直线(去掉一点(－1,2)).消去参数方程中参数的技巧(1)加减消参数法：如果参数方程中参数的符号相等或相反，常常利用两式相减或相加的方法消去参数.(2)代入消参数法：利用方程思想，解出参数的值，代入另一个方程消去参数的方法，称为代入消参法，这是非常重要的消参方法.(3)三角函数式消参数法：利用三角函数基本关系式sin2θ＋cos2θ＝1消去参数θ.反思与感悟跟踪训练1将下列参数方程化为普通方程.(1)x＝1＋cosθ，y＝sin2θ(θ为参数)；解(1)由x＝1＋cosθ，y＝sin2θ，得x－1＝cosθ，y＝sin2θ，∴(x－1)2＋y＝cos2θ＋sin2θ＝1，即y＝－(x－1)2＋1(0≤y≤1)，∴普通方程为y＝－x2＋1(0≤y≤1).(2)x＝sinθ－cosθ，y＝sin2θ(θ为参数).(2)由x＝sinθ－cosθ，得x2＝1－2sinθcosθ＝1－sin2θ，∴x2＋y＝1，∴普通方程为y＝－x2＋1(0≤y≤1).例2根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程.类型二普通方程化为参数方程(1)x－123＋y－225＝1，x＝3cosθ＋1；(θ为参数)解(1)将x＝3cosθ＋1代入x－123＋y－225＝1，得y＝2±5sinθ.∴x＝3cosθ＋1，y＝±5sinθ＋2.(θ为参数)这就是所求的参数方程.(2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1.(t为参数)∴x＝t＋1，y＝t2＋3t＋1.(t为参数)这就是所求的参数方程.(2)将x＝t＋1代入x2－y＋x－1＝0，得y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1＝t2＋3t＋1，(1)普通方程化为参数方程时，选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价.(2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的.反思与感悟跟踪训练2已知曲线的普通方程为4x2＋y2＝16.(1)若令y＝4sinθ(θ为参数)，如何求曲线的参数方程？∴4x2＋y2＝16的参数方程是x＝2cosθ，y＝4sinθ和x＝－2cosθ，y＝4sinθ.(θ为参数)解(1)把y＝4sinθ代入方程，得到4x2＋16sin2θ＝16，于是4x2＝16－16sin2θ＝16cos2θ，∴x＝±2cosθ.(2)若令y＝t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x＝2t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？则x2＝16－t24，∴x＝±16－t22.(2)将y＝t代入普通方程4x2＋y2＝16，得4x2＋t2＝16，x＝16－t22，y＝t和x＝－16－t22，y＝t.(t为参数)因此，椭圆4x2＋y2＝16的参数方程是同理将x＝2t代入普通方程4x2＋y2＝16，得参数方程为x＝2t，y＝41－t2和x＝2t，y＝－41－t2.(t为参数)例3已知x，y满足圆C：x2＋(y－1)2＝1的方程，直线l的参数方程为x＝33t，y＝－t＋5.类型三参数方程与普通方程互化的应用(1)求3x＋4y的最大值和最小值；(2)若P(x，y)是圆C上的点，求P到直线l的最小距离，并求此时点P的坐标.∴3x＋4y的最大值为9，最小值为－1.解(1)圆C的参数方程为x＝cosθ，y＝sinθ＋1(θ为参数)，直线l的普通方程为3x＋y－5＝0.3x＋4y＝3cosθ＋4sinθ＋4＝5sin(θ＋φ)＋4，tanφ＝34，∴点P的坐标为(－32，12).此时，x＝cos7π6＝－32，y＝sin7π6＋1＝12，∴当θ＋π3＝3π2，即θ＝7π6时，dmax＝3，(2)P到直线l的距离为d＝|3cosθ＋sinθ－4|2＝|2sinθ＋π3－4|2，当θ＋π3＝π2，即θ＝π6时，dmin＝1，此时，x＝cosπ6＝32，y＝sinπ6＋1＝32，∴点P的坐标为32，32.(1)参普互化有利于问题的解决，根据需要，合理选择用参数方程还是普通方程.(2)解决与圆有关的最大值，最小值时，通常用圆的参数方程，将问题转化为三角函数的最大值，最小值问题.反思与感悟跟踪训练3在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0.以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为.(1)求直线l的极坐标方程，曲线C的直角坐标方程；(2)若点P是曲线C上任意一点，P点的直角坐标为(x，y)，求x＋2y的最大值和最小值.ρ2－42ρcosθ－π4＋6＝0又曲线C的极坐标方程为ρ2－42ρcosθ－π4＋6＝0，解(1)直线l的方程为x－y＋4＝0，因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以l的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ＋4＝0.所以ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0，因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.1.若点P在曲线ρcosθ＋2ρsinθ＝3上，其中0≤θ≤，ρ0，则点P的轨迹是()A.直线x＋2y＝3B.以(3,0)为端点的射线C.圆(x－1)2＋y2＝1D.以(1,1)，(3,0)为端点的线段π4D2.将参数方程(θ为参数)化成普通方程为()A.y＝x－2B.y＝x＋2C.y＝x－2(2≤x≤3)D.y＝x＋2(0≤y≤1)x＝2＋sin2θ，y＝sin2θ解析由x＝2＋sin2θ，得sin2θ＝x－2，代入y＝sin2θ，∴y＝x－2.又sin2θ＝x－2∈[0,1]，∴x∈[2,3].C3.参数方程x＝sin2θ，y＝sinθ＋cosθ(θ为参数)表示的曲线的普通方程是_________________________y2＝x＋1(－1≤x≤1)4.参数方程x＝3cosφ＋4sinφ，y＝4cosφ－3sinφ表示的图形是________.圆解析x2＋y2＝(3cosφ＋4sinφ)2＋(4cosφ－3sinφ)2＝25，表示圆.5.将参数方程x＝t＋1t，y＝t2＋1t2(t为参数)化成普通方程为______________.x2－y＝2(y≥2)解析由x＝t＋1t，得x2＝t2＋1t2＋2，又y＝t2＋1t2，∴x2＝y＋2.∵t2＋1t2≥2，∴y≥2.规律与方法1.参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型，研究曲线的性质.由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M的坐标x，y和参数的关系，根据实际问题的要求，可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数.2.同一问题参数的选择往往不是惟一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率.3.参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性.