2.1.2参数方程与普通方程的互化

参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数(),().xftygt（2）并且对于t的每一个允许值,由方程组(2)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。复习1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:cos(sinxryr为参数）2.圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程:cos(sinxarybr为参数）圆的参数方程复习1.已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0，将它化为参数方程。解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，（x+1）2+（y-3）2=1，∴参数方程为sin3cos1yx(θ为参数)径，并化为普通方程。表示圆的圆心坐标、半所为参数、指出参数方程)(sin235cos2{2yx4)3()5(22yx_____________4)0(sin2cos{3，则圆心坐标是是的直径为参数，、圆rrryrrx（2，1）例如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。yoxPMQ)(sin3cos{sin2sin2,3cos26cos2),sin2,cos2(,),(为参数的轨迹的参数方程是所以，点由中点坐标公式得：的坐标是则点，的坐标是解：设点yxMyxPxOPyxM点M的轨迹是什么呢？2.1.3参数方程和普通方程的互化2222cos3,sincos(3)1sinxxyyM由参数方程得：所以点的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。参数方程普通方程消去参数代入参数关系)()1,1()1(32,1132,211111包括端点为端点的一条射线这是以普通方程是所以与参数方程等价的又得到代入有）由解：（xxytxxytyxttx例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？1()12tytx=t(1)为参数yxo(1,1)步骤：先消掉参数，再写出定义域。代入(消参数)法这是抛物线的一部分。普通方程为所以与参数方程等价的所以又得到平方后减去把].2,2[,],2,2[),4sin(2cossin,2sin1cossin)2(22xyxxxyxyx例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？sincos().1sin2yx=(2)为参数xoy22恒等式(消参数)法说明:把参数方程化为普通方程,常用方法有:(1)代入(消参数)法(2)加减(消参数)法(3)借用代数或三角恒等式(消参数)法常见的代数恒等式:22222222222222222211(1)()()42(2)()()12(3)()()1tttttaattatataattata在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，2tytx代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.2224sinABCDsinxtxtxtxtytytytyt、、、、1、曲线y=x2的一种参数方程是（).注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.在y=x2中，x∈R,y≥0，分析:发生了变化，因而与y=x2不等价；在A、B、C中，x,y的范围都而在Ｄ中，且以练习:D为端点的线段和、以、圆为端点的射线、以、直线轨迹是的则点为参数、若曲线)1,0()0,2(,1)1()0,2(,022),(),(sin2cos1{2222DyxCByxAyxyx（）D3、将下列参数方程化为普通方程：sin3cos32yx(1)2cossinyx(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2（2）y=1-2x2（-1≤x≤1）（3）x2-y=2（X≥2或x≤-2）1()2(2)()1()2axtttabbytt为参数，、为常数（4）2222(2)1xyab（4）22(1)(2)9xy如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x=f(t),把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y=g(t)，那么)()({tgytfx这就是曲线的参数方程。二、普通方程参数方程例4(1)设x=3cos，为参数；22194xy求椭圆的参数方程。)(sin2cos3{149,sin2sin2sin4)cos1(4,149cos9cos312222222为参数的参数方程是所以椭圆的任意性，可取由参数即所以代入椭圆方程，得到）把解：（yxyxyyyyx例4(1)设x=3cos，为参数；22194xy求椭圆的参数方程。还有其它方法吗？例4(1)设x=3cos，为参数；22194xy求椭圆的参数方程。22cossin1cos,sin3cos2sinxyxy令32为参数法二：2.tt(2)设y=，为参数tytxttytxyxtxtxtxty213{)(213{14913),1(9144922222222222和为参数的参数方程是所以，椭圆于是代入椭圆方程，得）把（思考：为什么(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？2.tt(2)设y=，为参数分别对应了椭圆在y轴的右，左两部分。作业：P264,52254,_________xyxy、若则的最大值是222cos4{(2sin)xxyy解：的参数方程为为参数2cos2sin22cos()422xy最大值为的最大值为则意一点上任为参数是曲线、22)4()5(,)(sincos2{),(4yxyxyxPA、36B、6C、26D、25（）A2425{()242222cos{()222sinxtltCytxlCyABCD、已知直线为参数和圆为参数，则直线与圆的位置关系是、相交但不过圆心，、相交且过圆心、相离，、相切()D2216{()224199xttytxyABAB、设直线的参数方程为为参数它与椭圆的交点为和，求线段的长度。2108744414)(187,207168)2()1()2.........(..........094)1...(..........42,0422122122121222xxxxkdxxxxxxyxxyyx由弦长公式得得代入将椭圆化为得到化为普通方程得解：将直线的参数方程